數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題

1、數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題章建躍章建躍010-58758320010-58758320一、一、“新理念新理念”是全新的嗎是全新的嗎? ? 核心：以學(xué)生的全面、和諧與可持續(xù)發(fā)展核心：以學(xué)生的全面、和諧與可持續(xù)發(fā)展為本為本教育中的教育中的“科學(xué)發(fā)展觀科學(xué)發(fā)展觀” 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知、能力全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知、能力和理性精神，以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為定向，和理性精神，以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展數(shù)數(shù)學(xué)育人。學(xué)育人。如何落實(shí)？如何落實(shí)？高立意高立意, ,低起點(diǎn)低起點(diǎn) 許多教師的許多教師的“匠氣匠氣”太濃，課堂上題型、太濃，課堂上

2、題型、技巧太多，彌漫著技巧太多，彌漫著“功利功利”，缺少思想、，缺少思想、精神的追求。精神的追求。 數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的“育人育人”功能如何體現(xiàn)？功能如何體現(xiàn)？挖掘挖掘數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，在教學(xué)中將數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，在教學(xué)中將知識教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體。知識教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體。 關(guān)鍵：提高思想性。關(guān)鍵：提高思想性。 “技術(shù)技術(shù)”：加強(qiáng)：加強(qiáng)“先行組織者先行組織者”的使用。的使用。例例1 1 不等式基本性質(zhì)不等式基本性質(zhì)“立意立意”比較比較 以往做法：數(shù)軸上點(diǎn)的順序定義數(shù)的大小以往做法：數(shù)軸上點(diǎn)的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到關(guān)系，再到“基本事實(shí)基本事實(shí)”（考察兩個(gè)實(shí)數(shù)（考察兩個(gè)實(shí)數(shù)的

3、大小，只要考察它們的差），再由的大小，只要考察它們的差），再由“利利用比較實(shí)數(shù)大小的方法，可以推出下列不用比較實(shí)數(shù)大小的方法，可以推出下列不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)”。人教人教A A版的教學(xué)設(shè)計(jì)版的教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)軸上點(diǎn)的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到數(shù)軸上點(diǎn)的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到“基本事實(shí)基本事實(shí)”（考察兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小統(tǒng)一（考察兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小統(tǒng)一化歸為比較它們的差與化歸為比較它們的差與0 0的大?。坏拇笮。?； 從從“數(shù)及其運(yùn)算數(shù)及其運(yùn)算”的高度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生的高度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生類比等式的基本性質(zhì)，在類比等式的基本性質(zhì)，在“運(yùn)算中的不變運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)性、規(guī)律性就是性質(zhì)”的思想指導(dǎo)下

4、，猜的思想指導(dǎo)下，猜想不等式的基本性質(zhì)；想不等式的基本性質(zhì)； 回到從回到從“基本事實(shí)基本事實(shí)”到到“基本性質(zhì)基本性質(zhì)”的的推理過程，得出性質(zhì)，給出證明；推理過程，得出性質(zhì)，給出證明； 引導(dǎo)學(xué)生用不同語言表述引導(dǎo)學(xué)生用不同語言表述“基本性質(zhì)基本性質(zhì)”（學(xué)習(xí)心理的考慮）；（學(xué)習(xí)心理的考慮）； 從實(shí)例中概括基本不等式的作用從實(shí)例中概括基本不等式的作用明明確概括出思想方法。確概括出思想方法。 核心：核心：將等式與不等式納入到數(shù)及其運(yùn)將等式與不等式納入到數(shù)及其運(yùn)算的系統(tǒng)中，成為用運(yùn)算律推導(dǎo)出的算的系統(tǒng)中，成為用運(yùn)算律推導(dǎo)出的“性質(zhì)性質(zhì)”為什么這樣設(shè)計(jì)為什么這樣設(shè)計(jì) 既要講邏輯，更要講思想既要講邏輯，更要

5、講思想加快學(xué)生領(lǐng)加快學(xué)生領(lǐng)悟思想的進(jìn)程（在沒有引領(lǐng)的情況下很難悟思想的進(jìn)程（在沒有引領(lǐng)的情況下很難“悟悟”出思想）；出思想）； 要正確理解要正確理解“給學(xué)生留出思維空間給學(xué)生留出思維空間”以往教學(xué)在技能方面空間太小，思想方面以往教學(xué)在技能方面空間太小，思想方面空間太大?？臻g太大。 教學(xué)要求教學(xué)要求個(gè)性差異與統(tǒng)一要求的辯證個(gè)性差異與統(tǒng)一要求的辯證統(tǒng)一，但以個(gè)性差異為出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ)統(tǒng)一，但以個(gè)性差異為出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ) 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)不僅從內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)不僅從內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問、講授、訓(xùn)練等，而且特別強(qiáng)調(diào)課堂提問、講授、訓(xùn)練等，而且特別強(qiáng)調(diào)課堂“生成生成”，預(yù)設(shè)能引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、自，預(yù)設(shè)能引發(fā)

6、學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的主探究的“開放性問題開放性問題”，乃至強(qiáng)調(diào)，乃至強(qiáng)調(diào)“看看過問題三百個(gè)，不會解題也會問過問題三百個(gè)，不會解題也會問” 教學(xué)方法教學(xué)方法講授、問答、訓(xùn)練的綜合，講授、問答、訓(xùn)練的綜合，不再是單一的講授或活動(dòng)，是教師主導(dǎo)取不再是單一的講授或活動(dòng)，是教師主導(dǎo)取向的講授式和學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的融向的講授式和學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的融合，強(qiáng)調(diào)合，強(qiáng)調(diào)“啟發(fā)式講授啟發(fā)式講授”的重要性的重要性 學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí)方式接受與探究的融合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)接受與探究的融合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、積極性，獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)的結(jié)習(xí)主動(dòng)性、積極性，獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)的結(jié)合合 教學(xué)過程教學(xué)過程知識發(fā)生發(fā)展過程（

7、自然、水到知識發(fā)生發(fā)展過程（自然、水到渠成）為載體的學(xué)生認(rèn)知過程，以學(xué)生為主體渠成）為載體的學(xué)生認(rèn)知過程，以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開、的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開、深度參與（教學(xué)的有效性）深度參與（教學(xué)的有效性） 教學(xué)評價(jià)教學(xué)評價(jià)教師根據(jù)教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行教學(xué)反饋、教師根據(jù)教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行教學(xué)反饋、調(diào)節(jié)，學(xué)生通過自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)進(jìn)程，重視調(diào)節(jié)，學(xué)生通過自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)進(jìn)程，重視形成性評價(jià)形成性評價(jià)發(fā)展的眼光發(fā)展的眼光 教學(xué)媒體教學(xué)媒體追求追求“必要性必要性”“”“平衡性平衡性”“”“廣廣泛性泛性”“”“實(shí)踐性實(shí)踐性”“”“有效性有效性”，服務(wù)于數(shù)學(xué)概，服務(wù)于數(shù)學(xué)概念、原

8、理的實(shí)質(zhì)理解念、原理的實(shí)質(zhì)理解 教育領(lǐng)域中，教育領(lǐng)域中，“全新理念全新理念”是不能用來指是不能用來指導(dǎo)教改實(shí)踐的，因?yàn)槿瞬诺某砷L沒有重復(fù)導(dǎo)教改實(shí)踐的，因?yàn)槿瞬诺某砷L沒有重復(fù)機(jī)會，教育要絕對避免機(jī)會，教育要絕對避免“折騰折騰”。 “新理念新理念”新在對學(xué)生的全面關(guān)注上。新在對學(xué)生的全面關(guān)注上。二、為什么二、為什么“內(nèi)容多課時(shí)少內(nèi)容多課時(shí)少”但又但又能騰出至少一年時(shí)間高考復(fù)習(xí)能騰出至少一年時(shí)間高考復(fù)習(xí)內(nèi)容內(nèi)容大綱大綱課標(biāo)課標(biāo)課標(biāo)大綱課標(biāo)大綱集合642簡易邏輯880函數(shù)概念682指數(shù)函數(shù)761對數(shù)函數(shù)761解三角形880冪函數(shù)冪函數(shù)11函數(shù)的應(yīng)用484數(shù)列15105三角函數(shù)22157三角恒等變換10

9、82平面向量15123不等式1486直線和圓的方程 13185線性規(guī)劃線性規(guī)劃752曲線和方程321圓錐曲線16142立體幾何36306計(jì)數(shù)原理15141概率42420統(tǒng)計(jì)92213數(shù)學(xué)歸納法624極限極限77導(dǎo)數(shù)16248（定積分）復(fù)數(shù)743算法1212推理與證明66大綱總課時(shí)數(shù)必修280，選修104，共計(jì)384（含復(fù)習(xí)時(shí)間）課標(biāo)總課時(shí)數(shù)必修180，必選108，系列三36，系列四36，復(fù)習(xí)24學(xué)時(shí)，共計(jì)384 立體幾何、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、極立體幾何、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、極限等傳統(tǒng)內(nèi)容的課時(shí)量減少；增加了新的限等傳統(tǒng)內(nèi)容的課時(shí)量減少；增加了新的內(nèi)容，算法內(nèi)容，算法1212課時(shí)，推理與

10、證明課時(shí)，推理與證明6 6課時(shí)；概課時(shí)；概率統(tǒng)計(jì)大量增加，概率增加率統(tǒng)計(jì)大量增加，概率增加5 5倍，統(tǒng)計(jì)倍，統(tǒng)計(jì)2.52.5倍，課時(shí)增加倍，課時(shí)增加3333。 總課時(shí)量保持不變?？傉n時(shí)量保持不變。騰出時(shí)間的騰出時(shí)間的“智慧智慧”在那里？在那里？ 增加課時(shí)（每周增增加課時(shí)（每周增1 1課時(shí)，兩年至少可以增課時(shí)，兩年至少可以增7272課時(shí)）；課時(shí)）； 壓縮概念、原理的教學(xué)時(shí)間。壓縮概念、原理的教學(xué)時(shí)間。 有人說，這都是有人說，這都是“高考要求與課標(biāo)要求脫高考要求與課標(biāo)要求脫節(jié)節(jié)”惹的禍。真是這樣的嗎？惹的禍。真是這樣的嗎？ “夾生飯夾生飯”再回鍋就做不成可口香米飯了。再回鍋就做不成可口香米飯了。

11、欲速則不達(dá)。欲速則不達(dá)。 “忙忙”= =“心亡心亡”。三、怎樣才算三、怎樣才算“教完了教完了”？ 讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生發(fā)展過程讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生發(fā)展過程“這這樣能教完嗎？樣能教完嗎？” 給學(xué)生吃給學(xué)生吃“壓縮餅干壓縮餅干”： 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”； 解題教學(xué)解題教學(xué)“題型教學(xué)題型教學(xué)”，解題技巧大，解題技巧大雜燴，雜燴，“一步到位一步到位”。問題在那里？問題在那里？ 不不“準(zhǔn)準(zhǔn)”或者是沒有圍繞概念的核心，或者是沒有圍繞概念的核心，或者教錯(cuò)了；或者教錯(cuò)了； 不不“簡簡”在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡單問題復(fù)雜化了；單問題復(fù)雜化了； 不不“精

12、精”讓學(xué)生在知識的外圍重復(fù)訓(xùn)讓學(xué)生在知識的外圍重復(fù)訓(xùn)練，耗費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間、精力卻達(dá)不到對練，耗費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間、精力卻達(dá)不到對知識的深入理解。知識的深入理解。例例2 2 函數(shù)概念的函數(shù)概念的“注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)” 集合集合A，B都是數(shù)集；都是數(shù)集； 任意性；任意性； 唯一性；唯一性； 可以一對一、多對一，但不能一對多；可以一對一、多對一，但不能一對多； yf(x)是一個(gè)整體，不是是一個(gè)整體，不是f與與x的乘積；的乘積； 值域值域C=f(x)|xA是集合是集合B的子集；的子集； 函數(shù)的三要素三者缺一不可，值域可由定函數(shù)的三要素三者缺一不可，值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定。義域和對應(yīng)法則唯一確定。

13、在不適當(dāng)?shù)臅r(shí)候、用不適當(dāng)?shù)姆椒◤?qiáng)調(diào)細(xì)在不適當(dāng)?shù)臅r(shí)候、用不適當(dāng)?shù)姆椒◤?qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，把學(xué)生節(jié)，把學(xué)生“教糊涂了教糊涂了”。 “教完了教完了”應(yīng)該以學(xué)生是否理解為準(zhǔn)，以應(yīng)該以學(xué)生是否理解為準(zhǔn)，以學(xué)生是否達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為準(zhǔn)，特別是學(xué)生學(xué)生是否達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為準(zhǔn)，特別是學(xué)生達(dá)到的數(shù)學(xué)雙基的理解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到的數(shù)學(xué)雙基的理解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)（注意，雙基包括由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想（注意，雙基包括由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法），而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)方法），而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容容“講完講完”。 廣種薄收是懶漢的做法。廣種薄收是懶漢的做法。四、怎樣才是抓四、怎樣才是抓“基礎(chǔ)基礎(chǔ)” 我國我國“雙基雙基”的

14、優(yōu)勢正在喪失；的優(yōu)勢正在喪失； 現(xiàn)象現(xiàn)象：（：（1 1）數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)= =題型教學(xué)題型教學(xué)= =刺激刺激反反應(yīng)（記憶、模范型學(xué)習(xí)）；（應(yīng)（記憶、模范型學(xué)習(xí)）；（2 2）缺少概念）缺少概念的概括過程，以訓(xùn)練代替概念教學(xué)的概括過程，以訓(xùn)練代替概念教學(xué)應(yīng)應(yīng)用可以促進(jìn)理解，但沒有理解的應(yīng)用是盲用可以促進(jìn)理解，但沒有理解的應(yīng)用是盲目的；（目的；（3 3）過分關(guān)注）過分關(guān)注“題型題型”與與“題題型型”對應(yīng)的技巧是雕蟲小技，無法窮盡，對應(yīng)的技巧是雕蟲小技，無法窮盡，結(jié)果是結(jié)果是“講過練過的不一定會，沒講沒練講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會的一定不會”；等。；等。如何改變？如何改變？ 要強(qiáng)調(diào)知識及其

15、蘊(yùn)含的思想方法教學(xué)的重要強(qiáng)調(diào)知識及其蘊(yùn)含的思想方法教學(xué)的重要性要性無知者無能；無知者無能； 不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)思考問不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題；題、解決問題； 加強(qiáng)概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找加強(qiáng)概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路。解決問題的新思路。 應(yīng)追求解決問題的應(yīng)追求解決問題的“根本大法根本大法”基本基本概念所蘊(yùn)含的思想方法，強(qiáng)調(diào)思想指導(dǎo)下概念所蘊(yùn)含的思想方法，強(qiáng)調(diào)思想指導(dǎo)下的操作。的操作。例例3 3 向量加法運(yùn)算及其幾何意義的教學(xué)設(shè)計(jì)向量加法運(yùn)算及其幾何意義的教學(xué)設(shè)計(jì) 先行組織者：類比數(shù)及其運(yùn)算，引進(jìn)一個(gè)先行組織者：類比數(shù)及其運(yùn)算，引

16、進(jìn)一個(gè)量就要研究運(yùn)算，引進(jìn)一種運(yùn)算就要研究量就要研究運(yùn)算，引進(jìn)一種運(yùn)算就要研究運(yùn)算律。運(yùn)算律。 回顧力的合成、速度的合成等物理原理。回顧力的合成、速度的合成等物理原理。 學(xué)生看書，匯報(bào)對定義和三角形法則、平學(xué)生看書，匯報(bào)對定義和三角形法則、平行四邊形法則的理解，其中特別要注意對行四邊形法則的理解，其中特別要注意對“關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞”的理解，要求用自己的語言描的理解，要求用自己的語言描述。述。 已知向量已知向量a，b不共線，作出不共線，作出a+b，并說明作，并說明作法。法。 如果向量如果向量a，b共線，如何作共線，如何作a+b？ 與實(shí)數(shù)加法運(yùn)算有什么關(guān)系？與實(shí)數(shù)加法運(yùn)算有什么關(guān)系？五、探究式教學(xué)的天

17、時(shí)地利人和五、探究式教學(xué)的天時(shí)地利人和 天時(shí)：建設(shè)創(chuàng)新型社會，教育天時(shí)：建設(shè)創(chuàng)新型社會，教育“以培養(yǎng)學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)”； 地利：教學(xué)內(nèi)容是否適合于地利：教學(xué)內(nèi)容是否適合于“探究探究”有的內(nèi)容不適宜，如公理、定義名稱、規(guī)有的內(nèi)容不適宜，如公理、定義名稱、規(guī)定等；但更多的內(nèi)容可采用探究式教學(xué)；定等；但更多的內(nèi)容可采用探究式教學(xué)；例例4 4 直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 先讓學(xué)生先讓學(xué)生“直觀感受直觀感受”這種位置關(guān)系，給這種位置關(guān)系，給出定義，把主要精力放在對出定義，把主要精力放在對“合理性合理性”的的認(rèn)識上，通過正、反例理解定義的關(guān)鍵

18、詞。認(rèn)識上，通過正、反例理解定義的關(guān)鍵詞。 必須向?qū)W生交待清楚：用必須向?qū)W生交待清楚：用“說得清道得明說得清道得明”的幾何關(guān)系（即的幾何關(guān)系（即“直線與直線垂直直線與直線垂直”）來）來定義定義“無法說清無法說清”的幾何關(guān)系（即的幾何關(guān)系（即“直線直線與平面垂直與平面垂直”）是一種公理化思想，學(xué)生）是一種公理化思想，學(xué)生則只要采用接受式學(xué)習(xí)方式即可。則只要采用接受式學(xué)習(xí)方式即可。例例5 5 適宜探究的內(nèi)容舉例適宜探究的內(nèi)容舉例 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式從具體數(shù)列求和中從具體數(shù)列求和中提煉概括思想方法：不相同的數(shù)求和化歸為相提煉概括思想方法：不相同的數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，實(shí)現(xiàn)化

19、歸的依據(jù)是等差數(shù)列的性質(zhì)；同數(shù)求和，實(shí)現(xiàn)化歸的依據(jù)是等差數(shù)列的性質(zhì)； 平面向量基本定理平面向量基本定理在在“用向量及其運(yùn)算表用向量及其運(yùn)算表示幾何元素示幾何元素”的思想下，聯(lián)系建立直角坐標(biāo)系的思想下，聯(lián)系建立直角坐標(biāo)系的方法、兩條相交直線確定一個(gè)平面等經(jīng)驗(yàn)，的方法、兩條相交直線確定一個(gè)平面等經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生探究而獲得結(jié)論；讓學(xué)生探究而獲得結(jié)論； 誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式在在“三角函數(shù)是（單位）圓的幾三角函數(shù)是（單位）圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)表示何性質(zhì)的代數(shù)表示”的思想下，探究終邊關(guān)于的思想下，探究終邊關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)以及直線坐標(biāo)軸、原點(diǎn)以及直線y y= =x x對稱的兩個(gè)角的關(guān)對稱的兩個(gè)角的關(guān)系，而得到所有公式

20、。系，而得到所有公式。 人和：師生共同營造的人和：師生共同營造的“探究氛圍探究氛圍”，有，有賴于學(xué)生賴于學(xué)生“探究式學(xué)習(xí)的心向探究式學(xué)習(xí)的心向”，也有賴，也有賴于教師的于教師的“探究型教學(xué)的意識探究型教學(xué)的意識”。 數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)注意使用注意使用“先行先行組織者組織者”。 探究性學(xué)習(xí)要融入日常學(xué)習(xí)，成為探究性學(xué)習(xí)要融入日常學(xué)習(xí)，成為“常態(tài)常態(tài)化化”的學(xué)習(xí)方式。的學(xué)習(xí)方式。例例6 6 在在“聯(lián)系與綜合聯(lián)系與綜合”思想指導(dǎo)下思想指導(dǎo)下的探究性學(xué)習(xí)的探究性學(xué)習(xí) 直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程： 平面直角坐標(biāo)

21、系中，確定直線的幾何要素平面直角坐標(biāo)系中，確定直線的幾何要素；參數(shù)的思想；參數(shù)的思想點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)由參數(shù)的坐標(biāo)由參數(shù)t唯一唯一確定；有向線段；方向向量；三角函數(shù)；確定；有向線段；方向向量；三角函數(shù)；比例；比例；不同聯(lián)系方式下的教學(xué)設(shè)計(jì)不同聯(lián)系方式下的教學(xué)設(shè)計(jì) 參數(shù)方程：坐標(biāo)參數(shù)方程：坐標(biāo)x，y作為參數(shù)作為參數(shù)t的函數(shù)的函數(shù)以確定曲線的幾何要素為基點(diǎn)，考察坐標(biāo)以確定曲線的幾何要素為基點(diǎn)，考察坐標(biāo)隨哪一要素的變化而變化。隨哪一要素的變化而變化。 找一座找一座“橋橋”，把任意一點(diǎn)，把任意一點(diǎn)P(x，y) 與確定與確定直線的幾何要素（傾斜角直線的幾何要素（傾斜角、點(diǎn)、點(diǎn)P(x0，y0)）聯(lián)系起來。聯(lián)系起

22、來。與幾何、三角的聯(lián)系與幾何、三角的聯(lián)系 將將P(x，y) 、 yP(x0，y0)在直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo) P系中表示出來，可以系中表示出來，可以 P0 M看到看到P0P的橋梁作用。的橋梁作用。 O x與向量的聯(lián)系與向量的聯(lián)系 向量代數(shù)是坐標(biāo)幾何的返璞歸真精益求精向量代數(shù)是坐標(biāo)幾何的返璞歸真精益求精 數(shù)軸：原點(diǎn)、方向、長度單位數(shù)軸：原點(diǎn)、方向、長度單位 數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算 直角坐標(biāo)系中的直線直角坐標(biāo)系中的直線與數(shù)軸沒有本質(zhì)區(qū)與數(shù)軸沒有本質(zhì)區(qū)別：別： 點(diǎn)點(diǎn)P(x0，y0)原點(diǎn)原點(diǎn) 傾斜角傾斜角方向方向方向向量方向向量長度單位長度單位 直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)

23、數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算純粹的代數(shù)、三角變換純粹的代數(shù)、三角變換 由直線方程由直線方程yy0 =tan（xx0）出發(fā)的代數(shù)）出發(fā)的代數(shù)變換：變換：這一過程無法這一過程無法反映參數(shù)的幾反映參數(shù)的幾何意義何意義sin,coscossin0000tyytxxtxxyy “我校生源差，反復(fù)講還記不住，怎能讓我校生源差，反復(fù)講還記不住，怎能讓學(xué)生自主探究？學(xué)生自主探究？”學(xué)習(xí)是知與行的統(tǒng)學(xué)習(xí)是知與行的統(tǒng)一，只一，只“講講”肯定不會；探究是深層次的肯定不會；探究是深層次的思維活動(dòng)，是思維活動(dòng)，是“心動(dòng)心動(dòng)”與與“行動(dòng)行動(dòng)”的融合的融合。生源越差越要精心組織學(xué)生的探究活動(dòng)。生源越差越要精心組織學(xué)生的探究活動(dòng)，如何鋪

24、設(shè)探究的臺階是對教師的考驗(yàn)。，如何鋪設(shè)探究的臺階是對教師的考驗(yàn)。例如，誘導(dǎo)公式的探究，可以從探究具體例如，誘導(dǎo)公式的探究，可以從探究具體角（角（如如/3和和/3）的三角函數(shù)的關(guān)系開始）的三角函數(shù)的關(guān)系開始。六、概念教學(xué)的要義是什么？六、概念教學(xué)的要義是什么？ 概念教學(xué)的核心概念教學(xué)的核心概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念；歸納得出數(shù)學(xué)概念； 先先“舉三反一舉三反一

25、”，再，再“舉一反三舉一反三”：先用：先用典型、豐富的具體事例，分析、綜合、比典型、豐富的具體事例，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性；再把共同本質(zhì)較而概括出共同本質(zhì)屬性；再把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中。屬性推廣到同類事物中。概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié) 典型豐富的具體例證典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、屬性的分析、比較、綜合；綜合； 概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性； 下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述）；下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述）； 概念的辨析概念的辨析以實(shí)例（正例、反例）為載體以實(shí)例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義；分析關(guān)鍵詞的含義；

26、用概念作判斷的具體事例用概念作判斷的具體事例形成用概念作判形成用概念作判斷的具體步驟；斷的具體步驟； 概念的概念的“精致精致”建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。例例7 7 函數(shù)奇偶性的教學(xué)函數(shù)奇偶性的教學(xué) 急功近利的做法急功近利的做法（1）給出函數(shù)）給出函數(shù)y=x2和和y=x的圖像，并提出問的圖像，并提出問題：如果從圖象的對稱性觀察，兩個(gè)圖像題：如果從圖象的對稱性觀察，兩個(gè)圖像各有什么特點(diǎn)？各有什么特點(diǎn)？（2）給表格并提問：數(shù)量關(guān)系上有啥特征？）給表格并提問：數(shù)量關(guān)系上有啥特征？（3）能否描述一下函數(shù)）能否描述一下函數(shù)y=x2的特征？的特征？ 學(xué)生的回答：對于學(xué)生的回答：對于y=x2

27、，當(dāng)，當(dāng)x取任意數(shù)時(shí)取任意數(shù)時(shí)y都都取正數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于取正數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；自變量取軸對稱；自變量取一對相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等；一對相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等；（4）對于定義域內(nèi)任意一個(gè)）對于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，是否都有，是否都有 f(x)f(x)？（5）能否描述一下偶函數(shù)的定義？）能否描述一下偶函數(shù)的定義？“一個(gè)函數(shù)打天下一個(gè)函數(shù)打天下”，缺乏概括的基礎(chǔ)。，缺乏概括的基礎(chǔ)。注重概括過程的做法注重概括過程的做法 典型、豐富的例證典型、豐富的例證不止一個(gè)：不止一個(gè)：y=x2，y=|x|， y=x22； 從觀察圖像、概括共同特征入手；從觀察圖像、概括共同特征入手； 列表，從數(shù)的角度描述特征；列表

28、，從數(shù)的角度描述特征； 形、數(shù)對照形、數(shù)對照從形到數(shù)從形到數(shù)用函數(shù)符號語言用函數(shù)符號語言描述特征；描述特征； 概念的精致：內(nèi)涵、外延的深加工，概念要素概念的精致：內(nèi)涵、外延的深加工，概念要素的具體界定；組織的具體界定；組織建立相關(guān)知識的聯(lián)系。建立相關(guān)知識的聯(lián)系。七、如何理解螺旋上升、循序漸進(jìn)？七、如何理解螺旋上升、循序漸進(jìn)？ “模塊化模塊化”體系下，立體幾何、解析幾何、體系下，立體幾何、解析幾何、概率、統(tǒng)計(jì)等都采用概率、統(tǒng)計(jì)等都采用“螺旋上升螺旋上升”式，怎式，怎么看？么看？ 螺旋上升既有數(shù)學(xué)概念發(fā)展史的依據(jù)，也螺旋上升既有數(shù)學(xué)概念發(fā)展史的依據(jù)，也有學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的依據(jù)；有學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的

29、依據(jù)； 螺旋上升應(yīng)該體現(xiàn)螺旋上升應(yīng)該體現(xiàn)“必要性必要性”，如函數(shù)概，如函數(shù)概念必須螺旋式學(xué)習(xí)，但解析幾何不必搞三念必須螺旋式學(xué)習(xí)，但解析幾何不必搞三個(gè)螺旋；個(gè)螺旋； “螺旋式螺旋式”可能產(chǎn)生的問題是重復(fù)學(xué)習(xí)可能產(chǎn)生的問題是重復(fù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的問題；統(tǒng)計(jì)與概率的問題； 重要的數(shù)學(xué)思想方法必須得到重要的數(shù)學(xué)思想方法必須得到“螺旋上升螺旋上升地重復(fù)地重復(fù)”“隱性知識隱性知識”，“可以意會可以意會不可言傳不可言傳”，要經(jīng)歷，要經(jīng)歷“滲透滲透概括概括應(yīng)用應(yīng)用”的學(xué)習(xí)階段。的學(xué)習(xí)階段。例例8 8 概念多元聯(lián)系表示體現(xiàn)的螺旋上升概念多元聯(lián)系表示體現(xiàn)的螺旋上升 比例關(guān)系：比例關(guān)系： 算術(shù)算術(shù)比和比例、百分?jǐn)?shù)、

30、比例尺；比和比例、百分?jǐn)?shù)、比例尺； 平面幾何平面幾何線段比和比例、相似形等；線段比和比例、相似形等； 解析幾何解析幾何斜率、線性方程；斜率、線性方程； 統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率。統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率。 當(dāng)利用基本的幾何概念（如相似）和代數(shù)當(dāng)利用基本的幾何概念（如相似）和代數(shù)概念（如線性關(guān)系）引入比例概念時(shí)，學(xué)概念（如線性關(guān)系）引入比例概念時(shí)，學(xué)生對比例關(guān)系的理解就會更深刻。生對比例關(guān)系的理解就會更深刻。八、如何理解八、如何理解“不是教教材，是用教材不是教教材，是用教材教教”？ 現(xiàn)象：脫離教材，大量使用教輔；現(xiàn)象：脫離教材，大量使用教輔； 原因：教材內(nèi)容原因：教材內(nèi)容“簡單簡單”

31、，不足以應(yīng)付高，不足以應(yīng)付高考；對考；對“不是教教材，而是用教材教不是教教材，而是用教材教”、“創(chuàng)造性使用教材創(chuàng)造性使用教材”的意圖有誤解；有的的意圖有誤解；有的教師不善于或不愿意花大力氣研究教材。教師不善于或不愿意花大力氣研究教材。我的看法我的看法 “不是教教材，而是用教材教不是教教材，而是用教材教”“”“脫離脫離教材教材”，是針對，是針對“照本宣科照本宣科”的；的； 教材的教材的“基礎(chǔ)性基礎(chǔ)性”與高考的與高考的“選拔性選拔性”有有目標(biāo)差異，但學(xué)好教材一定是高考取得好目標(biāo)差異，但學(xué)好教材一定是高考取得好成績的前提，教師的主要精力應(yīng)當(dāng)放在幫成績的前提，教師的主要精力應(yīng)當(dāng)放在幫助學(xué)生熟練掌握教材

32、內(nèi)容上。助學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容上。 理解教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提，而理解教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提，而“理理解教材解教材”的第一要義是的第一要義是“理解數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)”：了：了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識所理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程和價(jià)值觀蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程和價(jià)值觀資源，區(qū)分核心知識和非核心知識等。資源，區(qū)分核心知識和非核心知識等。 課本、課本，一科之本。課堂教學(xué)應(yīng)課本、課本，一科之本。課堂教學(xué)應(yīng)“以以課本為本課本為本”。例例9 9 函數(shù)概念概括過程的設(shè)計(jì)函數(shù)概念概括過

33、程的設(shè)計(jì) 目的：反映函數(shù)概念本質(zhì)，形成正確的函目的：反映函數(shù)概念本質(zhì)，形成正確的函數(shù)概念數(shù)概念 “對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系”的理解，的理解，y=f(x)中，符號中，符號f、x、y的含義，的含義，f的表現(xiàn)形式的多樣性、本質(zhì)的一的表現(xiàn)形式的多樣性、本質(zhì)的一致性（三要素）致性（三要素）既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，特別重視用表格、圖象表示的對應(yīng)關(guān)系的特別重視用表格、圖象表示的對應(yīng)關(guān)系的使用，目的是幫助學(xué)生從使用，目的是幫助學(xué)生從“多元聯(lián)系表示多元聯(lián)系表示”上深入思考，為突破難點(diǎn)奠定基礎(chǔ)；上深入思考，為突破難點(diǎn)奠定基礎(chǔ)；（1 1）從典型實(shí)例出發(fā)引出函數(shù)概念）從典型實(shí)例出發(fā)引出函數(shù)概念目的：目的： 加強(qiáng)背

34、景，體現(xiàn)加強(qiáng)背景，體現(xiàn)“函數(shù)模型函數(shù)模型”思想；思想； 加強(qiáng)概念形成過程；加強(qiáng)概念形成過程； 在學(xué)生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證。在學(xué)生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證。 抽象概念的學(xué)習(xí)要從具體例證開始抽象概念的學(xué)習(xí)要從具體例證開始 理解抽象概念需要具體例證的支持理解抽象概念需要具體例證的支持用用“歸納式歸納式”構(gòu)建教學(xué)過程構(gòu)建教學(xué)過程（2）精心選擇實(shí)例）精心選擇實(shí)例 解析式、圖象、表格解析式、圖象、表格目的目的形成正確的函數(shù)概念：形成正確的函數(shù)概念： 函數(shù)是刻畫變量間依賴關(guān)系的法則；函數(shù)是刻畫變量間依賴關(guān)系的法則； 不一定都有解析式，即對應(yīng)關(guān)系不一定都有解析式，即對應(yīng)關(guān)系f可以是解析可以是解析式，也可以

35、是圖，還可以是表格；式，也可以是圖，還可以是表格； 加強(qiáng)用集合與對應(yīng)的語言描述兩個(gè)變量之間加強(qiáng)用集合與對應(yīng)的語言描述兩個(gè)變量之間對應(yīng)關(guān)系的引導(dǎo)；對應(yīng)關(guān)系的引導(dǎo)； 不在細(xì)節(jié)上過分糾纏。不在細(xì)節(jié)上過分糾纏。（3 3）讓學(xué)生構(gòu)造具體背景解釋抽象的解析式）讓學(xué)生構(gòu)造具體背景解釋抽象的解析式 函數(shù)函數(shù)y=x2，xR的對應(yīng)關(guān)系是什么？請構(gòu)造一的對應(yīng)關(guān)系是什么？請構(gòu)造一個(gè)具體背景，解釋這個(gè)對應(yīng)關(guān)系。個(gè)具體背景，解釋這個(gè)對應(yīng)關(guān)系。 構(gòu)造一個(gè)實(shí)際背景，解釋函數(shù)構(gòu)造一個(gè)實(shí)際背景，解釋函數(shù)y= 的對應(yīng)關(guān)的對應(yīng)關(guān)系。系。x九、重結(jié)果輕過程的危害是什么？九、重結(jié)果輕過程的危害是什么？ 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法孕育

36、于數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識的發(fā)生發(fā)展過程中。知識的發(fā)生發(fā)展過程中?！八枷胨枷搿笔歉拍钍歉拍畹撵`魂，是的靈魂，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的源泉，是從技的源泉，是從技能到能力的橋梁；能到能力的橋梁；“過程過程”是是“思想思想”的的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺，是思維訓(xùn)載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺，是思維訓(xùn)練的通道，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤。練的通道，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤。 沒有過程沒有過程= =沒有思想；沒有思想； 沒有思想就難以理解概念的實(shí)質(zhì)；沒有思想就難以理解概念的實(shí)質(zhì)； 缺乏數(shù)學(xué)思想方法的紐帶，概念間的關(guān)系缺乏數(shù)學(xué)思想方法的紐帶，概念間的關(guān)系無法認(rèn)識、聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的無法認(rèn)識、

37、聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等可辨別性和穩(wěn)定性等“功能指標(biāo)功能指標(biāo)”都會大都會大打折扣。打折扣。 沒有沒有“過程過程”的教學(xué)把的教學(xué)把“思維的體操思維的體操”降降格為格為“刺激刺激反應(yīng)反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中表現(xiàn)。例例10“10“遞推數(shù)列遞推數(shù)列”的教學(xué)的教學(xué) 常見做法常見做法歸納題型，總結(jié)技巧：歸納題型，總結(jié)技巧： 1利用利用a1=S1，an=SnSn-1 2an+1 =k an+b型，分型，分k=1和和k1討論，討論， k1 時(shí)，時(shí)，設(shè)設(shè)an+1

38、+m=k（an +m），）， 3an+1=kan +f(n)型，分型，分k=1、f(n)是否可求和，是否可求和，k1、f(n)=an+b， f(n)=qn(q 0，1)，等；，等； 4an+1 =f(n)an型；型； 5. an+2=pan+1+qan(p、q為常數(shù)為常數(shù))型；型； 題型套題型，題型何其多，沒有思想方法作為題型套題型，題型何其多，沒有思想方法作為主線，雜亂無章。主線，雜亂無章。an+1=p an +q型通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)型通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì) 求求an+1=p an +q型數(shù)列通項(xiàng)公式問題，一般型數(shù)列通項(xiàng)公式問題，一般地，抽象問題具體化、一般問題特殊化是地，抽象問題具體化、一般問

39、題特殊化是研究問題的基本策略。研究問題的基本策略。 問題問題1 已知已知a1=1，an+1=2an+1（n1），求），求通項(xiàng)公式。通項(xiàng)公式。 問題問題2 已知已知a1=1，an+1=2an+3（n1），求），求通項(xiàng)公式。通項(xiàng)公式。 問題問題3 已知已知a1=1，an+1=3an+1（n1），求），求通項(xiàng)公式。通項(xiàng)公式。 問題問題1、2可以可以“湊湊”，但問題，但問題3不能，怎么不能，怎么辦？注意觀察前兩個(gè)問題的解決過程，轉(zhuǎn)辦？注意觀察前兩個(gè)問題的解決過程，轉(zhuǎn)化得到的結(jié)構(gòu)有什么共性？對解決問題化得到的結(jié)構(gòu)有什么共性？對解決問題3有有什么啟發(fā)？什么啟發(fā)？ 結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為an+1+t=

40、k(an+t)的形式。的形式。 問題問題4 一般地，對于一般地，對于a1=a，an+1=pan+1 +q，如何求通項(xiàng)公式？如何求通項(xiàng)公式？因?yàn)橥茝V到了因?yàn)橥茝V到了“同同類事物類事物”，所以要注意，所以要注意“完備性完備性”，細(xì)節(jié)、，細(xì)節(jié)、特例的追究。特例的追究。十、什么才是十、什么才是“數(shù)學(xué)思維的教學(xué)數(shù)學(xué)思維的教學(xué)” 比較流行的教學(xué)有兩種：一是數(shù)學(xué)教學(xué)比較流行的教學(xué)有兩種：一是數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)；解題教學(xué)；二是辛勤挖掘二是辛勤挖掘“細(xì)枝末節(jié)細(xì)枝末節(jié)”，并在細(xì)枝末節(jié)上對學(xué)，并在細(xì)枝末節(jié)上對學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，認(rèn)為這是對思維嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練，生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，認(rèn)為這是對思維嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練，例如，對零向量的例

41、如，對零向量的“辛勤耕耘辛勤耕耘”： 怎樣表示怎樣表示0向量？向量？ 0向量的長度為什么為向量的長度為什么為0，方向任意？，方向任意？ ab，bc，那么，那么ac嗎？嗎？ 零向量與零向量相等嗎？零向量與零向量相等嗎？ a=b 則則ab，對嗎？，對嗎？ ab，則，則a與與b方向相同或相反，對嗎？方向相同或相反，對嗎？例例1111“柯西不等式柯西不等式”的教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)設(shè)計(jì) 引入：均值不等式的推廣方法為引子，指引入：均值不等式的推廣方法為引子，指出探究的方向可以是出探究的方向可以是“指數(shù)的推廣指數(shù)的推廣”、“元數(shù)的推廣元數(shù)的推廣”等。這些做完了，還能不能等。這些做完了，還能不能有其他方向的探究。有

42、其他方向的探究。 問題問題1 1：比較：比較( (a2 +b2)(c2 +d2)與與(ac +bd) 2的大的大小關(guān)系。小關(guān)系。 追問：還有別的方法嗎？追問：還有別的方法嗎？( (a2 +b2)(c2 +d2) (ac +bd) 2的結(jié)構(gòu)能給我們什么聯(lián)想和啟的結(jié)構(gòu)能給我們什么聯(lián)想和啟發(fā)？發(fā)？構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)y=( (a2 +b2)x2 +2(ac +bd)x + (c2 +d2)。問題問題2：你能對這一不等式作出幾何解釋嗎？：你能對這一不等式作出幾何解釋嗎？問題問題3：將這一不等式作出推廣，給出證明和：將這一不等式作出推廣，給出證明和相應(yīng)的幾何解釋，并說明你在推廣不等式相應(yīng)的幾何解釋，并說明你在推廣不等式時(shí)的思路。時(shí)的思路。問題問題4：你認(rèn)為柯西不等式有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？：你認(rèn)為柯西不等式有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？設(shè)計(jì)思路設(shè)計(jì)思路 可以想像，柯西在發(fā)現(xiàn)這一不等式可能有一定的可以想像，柯西在發(fā)現(xiàn)這一不等式可能有一定的偶然性，可能經(jīng)過一定的偶然性，可能經(jīng)過一定的“嘗試嘗試錯(cuò)誤錯(cuò)誤”。引。引入時(shí)給一定的合情推理的引導(dǎo)，使探究成為一種入時(shí)給一定的合情推理的引導(dǎo)，使探究成為一種“定向探究定向探究”。 比較比較(a2 +b2)(c2 +d2)與與(ac +bd) 2的大小關(guān)系，是在的大小關(guān)系，是在學(xué)生定向探究后的學(xué)習(xí)任務(wù)，主要考慮學(xué)習(xí)效率學(xué)生定向探究后的學(xué)習(xí)任務(wù)，主要考慮學(xué)習(xí)