概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)JA(48,37-38)

1、第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理1 1 大數(shù)定律大數(shù)定律2 2 中心極限定理中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理1 1 大數(shù)定律大數(shù)定律大數(shù)定律的定義大數(shù)定律的定義切比曉夫大數(shù)定律切比曉夫大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律1 大數(shù)定律第五章 大數(shù)定律及中心極限定理問題：?jiǎn)栴}：測(cè)量一個(gè)工件時(shí)，由于測(cè)量具有誤差，測(cè)量一個(gè)工件時(shí)，由于測(cè)量具有誤差，為什么為什么以各次的平均值來作為測(cè)量的結(jié)果？而且只要測(cè)量的以各次的平均值來作為測(cè)量的結(jié)果？而且只要測(cè)量的次數(shù)足夠多，總可以達(dá)到要求的精度？次數(shù)足夠多，總可以達(dá)到要求的精度？我們把這問題給出數(shù)學(xué)表達(dá)：

2、我們把這問題給出數(shù)學(xué)表達(dá)：,nn 次次測(cè)測(cè)量量誤誤差差為為第第 就就是是一一個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布，則則n 的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列。均均值值為為 0,nnaXn 次次測(cè)測(cè)量量值值就就是是第第 的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列。就就是是均均值值為為 aXn這里反映了什么樣的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律呢？這里反映了什么樣的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律呢？, a如果工件的真值為如果工件的真值為1 大數(shù)定律第五章 大數(shù)定律及中心極限定理即大量測(cè)量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。即大量測(cè)量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。這就是大數(shù)定律所闡述的。這就是大數(shù)定律所闡述的。次次的的平平均均測(cè)測(cè)量量值值充充分分大大時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)nn)(11nXXnX

3、很很接接近近。應(yīng)應(yīng)該該和和真真值值 a測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)就是：測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)就是：1 大數(shù)定律第五章 大數(shù)定律及中心極限定理定義定義1, 1|lim aYPnn若對(duì)任意若對(duì)任意是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)；是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列，設(shè)設(shè)aYYn,1，有有0 , 0|lim aYPnn或或記記為為依依概概率率收收斂斂于于則則稱稱,1aYYn. aYPn想想：想想：數(shù)列的收斂性定義，比較數(shù)列與隨機(jī)變量序列數(shù)列的收斂性定義，比較數(shù)列與隨機(jī)變量序列 收斂性的區(qū)別。收斂性的區(qū)別。一、定義一、定義第五章 大數(shù)定律及中心極限定理服服從從大大數(shù)數(shù)定定律律。則則稱稱nX, 011 PnnkkaXn即即,11 nkknEXna其

4、其中中, 111lim11 nkknkknEXnXnP定義定義2是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列，設(shè)設(shè)nXX ,1對(duì)任意對(duì)任意有有,0 , 011lim11 nkknkknEXnXnP或或1 大數(shù)定律1 大數(shù)定律第五章 大數(shù)定律及中心極限定理).,(),(bagYXgPnn則則定理定理1，若若aXPn. bYPn連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)),(),(bayxg回憶數(shù)列的性質(zhì)，比較它們的相似和不同性。回憶數(shù)列的性質(zhì)，比較它們的相似和不同性。1 大數(shù)定律第五章 大數(shù)定律及中心極限定理定理定理2 2（契比雪夫契比雪夫大數(shù)大數(shù)定律定律） 返回主目錄且具有相同的數(shù)學(xué)且具有相同的數(shù)學(xué)期望及方差，期望及方差，相

5、相互互獨(dú)獨(dú)立立，設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量nXX ,1, 2 , 1,2 kDXEXkk 有有即即對(duì)對(duì)任任意意的的0 , 1|1|lim1 nkknXnP. 0|1|lim1 nkknXnP或或,服服從從大大數(shù)數(shù)定定律律則則nX)(大大數(shù)數(shù)定定律律Chebyshev1 大數(shù)定律第五章 大數(shù)定律及中心極限定理由切比曉夫不等式得：由切比曉夫不等式得：|1|1 nkkXnP0|1|1 nkkXnPn時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)證：證： nkkEXn1)(1 nkkXnE1)1( nkn1)(1 nkkDXn12)(1 nkkXnD1)1( nkn122)(1 n2 22 n 22/| XP思考：思考：能否把定理中獨(dú)立性條件

6、減弱？能否把定理中獨(dú)立性條件減弱？第五章 大數(shù)定律及中心極限定理定理定理3（貝努里大數(shù)定律）（貝努里大數(shù)定律）(Bernoulli大數(shù)定律大數(shù)定律)發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)，重重貝貝努努里里試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件為為設(shè)設(shè)AnnA發(fā)發(fā)生生的的概概率率，是是事事件件Ap, 1|lim pnnPAn. 0|lim pnnPAn或或證：證：令令., 2 , 1,0, 1nkAkAkXk 不不發(fā)發(fā)生生次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中，第第發(fā)發(fā)生生，次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中第第有有則則：對(duì)對(duì)任任意意的的0 1 大數(shù)定律第五章 大數(shù)定律及中心極限定理由定理由定理2有有, 1|1|lim1 pXnPniin. 1|lim pnnPAn即即

7、該定理給出了頻率的穩(wěn)定性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義。該定理給出了頻率的穩(wěn)定性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義。，則則： nkkAXn1.,1分分布布相相互互獨(dú)獨(dú)立立同同服服從從于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)nXX, 2 , 1)1(nkppDXpEXkk ，且且1 大數(shù)定律1 大數(shù)定律第五章 大數(shù)定律及中心極限定理注：注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。, 2 , 1nkEXk ， 定理定理4（辛欽大數(shù)定律）（辛欽大數(shù)定律）. 1|1|lim1 niinXnP相相互互獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布，設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量nXX ,1且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望有有則則：對(duì)對(duì)任任意意的的0 思考：思考：

8、比較辛欽大數(shù)定律與比較辛欽大數(shù)定律與切比曉夫切比曉夫大數(shù)定律條件的大數(shù)定律條件的 差別及強(qiáng)弱。差別及強(qiáng)弱。第五章 大數(shù)定律及中心極限定理2 2 中心極限定理中心極限定理定義定義獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理德莫佛德莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理一、定義一、定義返回主目錄)(21lim22xdtexZPxtnn 有有若對(duì)任意若對(duì)任意1Rx 且且獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，設(shè)設(shè),1nXX存存在在，令令：kkDXEX,/ )(111 nkkn

9、kknkknDXEXXZ服服從從中中心心極極限限定定理理。則則稱稱nX.)1 , 0(,分布分布近似服從近似服從較大時(shí)較大時(shí)即當(dāng)即當(dāng)NZnn2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理定理定理1 （獨(dú)立同分布的中心極限定理）（獨(dú)立同分布的中心極限定理）), 2 , 1( , 02 kDXEXkk ，lim1xnnXPnkkn ).(2122xdtext 中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也是統(tǒng)計(jì)學(xué)中處理大樣本時(shí)的重要工具。是統(tǒng)計(jì)學(xué)中處理大樣本時(shí)的重要工具。二、中心極限定理二、中心極限定理序序列列，且且獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)

10、,1nXX即即：服服從從中中心心極極限限定定理理則則,nX2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理定理定理2 （李雅普諾夫定理）（李雅普諾夫定理），相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且設(shè)設(shè)), 2 , 1( , 0,21 kDXEXXXkkkkn 0|1 122 nkkknXEBn 時(shí)，時(shí)，使得當(dāng)使得當(dāng)(Liapunov定理定理)返回主目錄，若存在正數(shù)若存在正數(shù)設(shè)設(shè) ,122 nkknB則則 服從中心極限定理，即：服從中心極限定理，即：nX/ )(lim121xXPnkkknkkn xtdte2221 ).(x 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理由定理由定理1有結(jié)論成立。有結(jié)論成立。定理定理3（德莫佛（

11、德莫佛-拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）),10(), 2 , 1)(,( pnpnBn 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 xtnkkndtexnnXP21221lim (De Moivre-Laplace)limxnpqnpPnn 證明：證明：由二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系知由二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系知 nkknX1, 其中其中 相互獨(dú)立且都服從于兩點(diǎn)分布，且相互獨(dú)立且都服從于兩點(diǎn)分布，且nXX,1pqDXpEXkk ，).(x xtdte2221 2 中心極限定理有有若對(duì)任意若對(duì)任意1Rx 2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理推論：推論：baPn 說明：說明：這個(gè)公式給出了這個(gè)公式給出了n 較大時(shí)二

12、項(xiàng)分布的概率較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率 計(jì)算方法。計(jì)算方法。 返回主目錄npqnpbnpqnpnpqnpaPn )()(npqnpanpqnpb )(limxxnpqnpPnn ),10(), 2 , 1)(,( pnpnBn 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量充充分分大大時(shí)時(shí)，有有則則當(dāng)當(dāng)n2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理例例1 車間有車間有200臺(tái)車床，它們獨(dú)立地工作著，開臺(tái)車床，它們獨(dú)立地工作著，開工率為工率為0.6,開工時(shí)耗電各為開工時(shí)耗電各為1千瓦，問供電所至少千瓦，問供電所至少要供給這個(gè)車間多少電力才能以要供給這個(gè)車間多少電力才能以99.9%的概率保的概率保證這個(gè)車間正常生產(chǎn)。證這個(gè)車間

13、正常生產(chǎn)。設(shè)至少要供給這個(gè)車間設(shè)至少要供給這個(gè)車間 r 千瓦電才能以千瓦電才能以99.9%的概的概率保證這個(gè)車間正常生產(chǎn)。由題意有率保證這個(gè)車間正常生產(chǎn)。由題意有解：解： 記某時(shí)刻工作著的車床數(shù)為記某時(shí)刻工作著的車床數(shù)為 X， 則則 X B(200,0.6).999. 0 rXP第五章 大數(shù)定律及中心極限定理)32.17()48120( r即供給即供給141千瓦電就能以千瓦電就能以99.9%的概率保證這個(gè)車的概率保證這個(gè)車間正常生產(chǎn)。間正常生產(chǎn)。返回主目錄, 1 . 348120-r 查表得查表得141.r 所所以以rXP 而而baPn )()(npqnpanpqnpb )4 . 06 . 0

14、2006 . 0200()4 . 06 . 02006 . 0200( r)48120( r ,999. 0 2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)：用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)：由上面的定理知由上面的定理知 nnpPn pnPn pqnnpqnppqnPn 用這個(gè)關(guān)系式可解決許多計(jì)算問題。用這個(gè)關(guān)系式可解決許多計(jì)算問題。返回主目錄 pqnpqn )(limxxnpqnpPnn 12 pqn 2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理第一類問題是第一類問題是，求求概概率率已已知知 , pn; pnPn第二類問題第二類問題是是的的概概率率的的差差異異不不大大于

15、于定定數(shù)數(shù)與與要要使使 pnn, 不不小小于于預(yù)預(yù)先先給給定定的的數(shù)數(shù)問最少應(yīng)做多少次試驗(yàn)？問最少應(yīng)做多少次試驗(yàn)？這時(shí)只需求滿足下式的最小的這時(shí)只需求滿足下式的最小的 n, 12pqn第三類問題第三類問題是是., 求求，及及已已知知pn返回主目錄 pnPn12 pqn 2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理例例2 今從良種率為今從良種率為1/6的種子中任取的種子中任取6000粒，問能粒，問能以以0.99的概率保證在這的概率保證在這6000粒種子中良種所占的粒種子中良種所占的比例與比例與1/6的差的絕對(duì)值不超過多少？相應(yīng)的良種的差的絕對(duì)值不超過多少？相應(yīng)的良種粒數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)？粒數(shù)在哪個(gè)

16、范圍內(nèi)？解：解：，設(shè)設(shè)良良種種數(shù)數(shù)為為 X，則則應(yīng)應(yīng)有有：設(shè)設(shè)不不超超過過的的界界限限為為 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理返回主目錄),(pnBX則則99. 061-6000P X. 6/1,6000 pn其其中中第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 61-6000P X故近似地有故近似地有,99. 016/56/1600060002 .6/1,6000 pn)(limxxnpqnpPnn 6/56/1600060006/56/160006/16000P X 6/56/1600060006/56/160006000 返回主目錄16/56/1600060002 2 中心極限定理第五章 大數(shù)

17、定律及中心極限定理,995. 06/56/160006000 即即,58. 26/56/160006000 查查表表得得.0124. 0 解解得得良種粒數(shù)良種粒數(shù)X的范圍為的范圍為,6000)0124. 06/1(6000)0124. 06/1( X.1075925 X即即 61-6000X返回主目錄2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律及中心極限定理例例3 系統(tǒng)由系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的損壞率為個(gè)部件的損壞率為0.1。系統(tǒng)要正常工作，至少有。系統(tǒng)要正常工作，至少有85個(gè)部件正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率。個(gè)部件正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率。

18、解：解：由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有 15XP.952. 0359 . 01 . 01001 . 010015 9 . 01 . 01001 . 0100159 . 01 . 01001 . 0100XP.15 X則則 XB(100,0.1)。則整個(gè)系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)則整個(gè)系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)設(shè)設(shè)X是損壞的部件數(shù)，是損壞的部件數(shù)，第五章 大數(shù)定律及中心極限定理例例4 一加法器同時(shí)收到一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓，個(gè)噪聲電壓，)20, 2 , 1( kVk 201kkVV105 VP 387. 0)12/10(20100-VP返回主目錄348. 0)387. 0(1 解

19、：解： 12/1020520-10512/1020520-22VP設(shè)它們是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間設(shè)它們是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上上服從均勻分布，記服從均勻分布，記 的近似值。的近似值。求求105 VP2 中心極限定理, 5 kEV),20, 2 , 1( k,12/102 kDV 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的。假設(shè)每箱平均重是隨機(jī)的。假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千千克。若用最大載重量為克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥袊嵉钠嚦羞\(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于障不超載的概率大于0.977。例例5解：解： 設(shè)最多可裝設(shè)最多可裝 n 箱，保障不超載的概率大于箱，保障不超載的概率大于0.977。., 1niXii 千千克克，箱箱重重量量為為第第977. 050001 niiXP且且niDXEXii, 1,25,50