一次函數(shù)圖象的平移變換問題探究

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一次函數(shù)圖象的平移變換問題的探究所謂平移變換就是在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形整體沿某一個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)就稱為平移 .經(jīng)過平移后的圖形與原來的圖形相比大小、 形狀不變， 只是位置發(fā)生了變化 .簡(jiǎn)單的點(diǎn) P（ x， y）平移規(guī)律如下：（ 1）將點(diǎn) P（ x，y）向左平移 a 個(gè)單位，得到 P1（ x a， y）（ 2）將點(diǎn) P（ x，y）向右平移 a 個(gè)單位，得到 P2（ x+a， y）（ 3）將點(diǎn) P（ x，y）向下平移 a 個(gè)單位，得到 P3（ x， y a）（ 4）將點(diǎn) P（ x，y）向上平移 a 個(gè)單位，得到 P4（ x， y+a）反之也成立 .下面我們來探索直

2、線的平移問題.【引例 1】探究一次函數(shù) l ： y= 2x 與 l1 ： y=2x+2 ， l 2 ： y=2x 2 的關(guān)系 .333【探究 】我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線在同一平面直角坐l1l標(biāo)系中畫出 3 個(gè)函數(shù)的圖象（如圖1），觀察這 3 個(gè)函數(shù)的圖象：從位置上看，它們是 3 條平行的直線（.這是因?yàn)樗鼈兊膋 值相同）；1l 2從數(shù)量上看，對(duì)于同一自變量 的取值（不妨取 x=0 即直線與 y 軸-11的交點(diǎn)） ，可以看出直線 l1 在直線 l 的上方 2 個(gè)單位處， 直線 l2 在-1圖 1直線 l 的下方 2 個(gè)單位處，因此，一次函數(shù)l1 ： y=2x+2 的圖象3可以看作是由正比例函

3、數(shù)l ：y= 2x 的圖象沿 y 軸向上平移 2 個(gè)單位得到的； 一次函數(shù) l2：322x 的圖象沿 y 軸向下平移2 個(gè)單位得到y(tǒng)= x 2 的圖象可以看作是由正比例函數(shù)l ：y=33的 .【拓廣】：一般地，一次函數(shù)y=kx+b 的圖象是由正比例函數(shù)y=kx 的圖象沿 y 軸向上（ b>0 ）或向下（ b<0）平移b 個(gè)單位長(zhǎng)度得到的一條直線.【應(yīng)用 】： 例 1、（ 08 上海市）在圖2 中，將直線OA 向上平移 1 個(gè)單位，得到一個(gè)一次函數(shù)的圖像，那么這個(gè)一次函數(shù)的解析式是學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析：觀察圖像發(fā)現(xiàn)直線OA 是正比例函數(shù)的圖象，可設(shè)y直線 OA 的解析式為 y=kx

4、，又點(diǎn) A （ 2， 4）在函數(shù)圖像上，所以A44=2 k 即 k=2，又一次函數(shù)的圖像是由直線OA 向上平移1個(gè)單位32得到，故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=2x+1.1【引例 2】探究一次函數(shù) l：y= 2x 與 l1 ：y=2（ x+3）， l 2 ： O1 2x2 （ x 3）的關(guān)系 .33圖 2y=3【探究 】觀察引例1 與引例 2 中的 3 個(gè)函數(shù)的解析式，經(jīng)過變形我們可以發(fā)現(xiàn)他們是完全相同的， 因而， 畫出 3 個(gè)函數(shù)的圖象仍然是圖1 的情況 .從位置上看， 它們是 3條平行的直線 .（這是因?yàn)樗鼈兊膋 值相同） ；從數(shù)量上看，對(duì)于同一 因變量 的取值（不妨取 y=0，即直線與 x

5、軸的交點(diǎn)），可以看出直線l 1 在直線 l的左方 3 個(gè)單位處，直線 l2 在直線 l 的右方 3 個(gè)單位處，因此，一次函數(shù) l1： y=2 （ x+3 ）的圖象可以看作是由正比例函數(shù)l ：232 （ x 3）的圖象可以看y=x 的圖象沿 x 軸向左平移 3 個(gè)單位得到的；一次函數(shù)l 2 ：y=33作是由正比例函數(shù) l ： y= 2x 的圖象沿 x 軸向右平移 3個(gè)單位得到的 .3【拓廣 】：一般地由正比例函數(shù)y=kx 的圖象沿 x 軸向左平移 m（ m>0）個(gè)單位，得到的一次函數(shù)解析式為y=k （ x+m ） =kx+km ；沿 x 軸向右平移 m（ m>0）個(gè)單位，得到的一次函

6、數(shù)解析式為y=k （ x m）=kx km；綜合上述歸納推廣可以發(fā)現(xiàn)，直線上下平移時(shí)，影響的y 值的變化，直線左右平移時(shí)影響 x 值的變化 .【應(yīng)用 】：（ 08 年武漢市）點(diǎn)（0，1）向下平移 2y個(gè)單位后的坐標(biāo)是，直線 y2 x 1向下平移A2 個(gè)單位后的解析式是；C直線 y 2x 1向右平移2 個(gè)單位后的解析式BOx是；學(xué)習(xí)必備歡迎下載如圖，已知點(diǎn)C 為直線 yx 上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線y2x1交 y 軸于點(diǎn) A，交 x 軸于 B，將直線 AB 沿射線 OC 方向平移 3 2 個(gè)單位，求平移后的直線的解析式分析： 點(diǎn)（0，1）向下平移 2 個(gè)單位， 橫坐標(biāo)不變， 縱坐標(biāo)減去 2，故為（

7、0， 1）.根據(jù)上面拓廣的規(guī)律直線 y2x 1向下平移 2 個(gè)單位后的解析式應(yīng)為 y2x12，即y 2 x 1；直線 y 2x 1向右平移2 個(gè)單位后的解析式應(yīng)為y=2(x-2)+1 即 y2x3 ；解法 1：點(diǎn) C 為直線 yx 上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)， OC= 32 可知點(diǎn) C（ 3，3），將直線 AB 沿射線 OC 方向平移 32 個(gè)單位，相當(dāng)于向右平移3 個(gè)單位，再向上平移 3 個(gè)單位，根據(jù)拓廣規(guī)律，解析式變?yōu)閥=2(x-3)+1+3 即 y2x2 ；解法 2：點(diǎn) C 為直線 yx 上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，OC=3 2可知點(diǎn) C（ 3， 3），將直線 AB 沿射線 OC 方向平移 32 個(gè)單位

8、，相當(dāng)于向右平移3 個(gè)單位，再向上平移3 個(gè)單位，從而點(diǎn) A （ 0， 1）平移到（ 3， 4），設(shè)平移后的直線的解析式為y=2x+b ，則有 4=6+b 所以 b=-2 ，所以所求直線的解析式為y=2x-2.學(xué)習(xí)必備歡迎下載賞析一道函數(shù)圖象探究題函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,其圖象是一種直觀形象的交流語(yǔ)言,含有大量的豐富的有價(jià)值的信息.為考查同學(xué)們獲取和應(yīng)用圖象信息的能力,函數(shù)圖象探究題便成了近年來各地中考的新亮點(diǎn),解答這類題的關(guān)鍵是從圖象中獲取信息,正確地進(jìn)行 “形 ”和 “數(shù) ”的轉(zhuǎn)換 .現(xiàn)就08 年中考有關(guān)一次函數(shù)圖象探究題精選一例,淺析如下,供同學(xué)們鑒賞：例 (2008 江蘇南京 )

9、一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x(h) ，兩車之間的距離為 y(km) ，圖中的折線表示y與 x 之間的函數(shù)關(guān)系根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：信息讀?。?1）甲、乙兩地之間的距離為km；（ 2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn) B 的實(shí)際意義；圖象理解（ 3）求慢車和快車的速度；（ 4）求線段 BC 所表示的y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x 的取值范圍；問題解決（ 5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同在第一列快車與慢車相遇 30 分鐘后，第二列快車與慢車相遇求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí)？分析(1) 圖中折線表示兩車之間距離與慢車

10、行駛時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,從折線中可以看出 ,當(dāng) x =0,即兩車即將出發(fā)時(shí) , y =900( km ),這說明甲、乙兩地之間的距離為900km ；(2)當(dāng) x=4,即慢車行駛4小時(shí)這說明兩車之間的距離為0,即兩車相遇;, y =0( km ),(3)兩車相遇后繼續(xù)行駛,快車至乙地停止行駛 ( 折線上為點(diǎn)C),慢車?yán)^續(xù)向甲地行駛,直至 x =12,即慢車行駛了 12小時(shí)到達(dá)甲地 (折線上為點(diǎn) D). 點(diǎn) D的縱坐標(biāo)為 900( km ),這說明學(xué)習(xí)必備歡迎下載慢車 12 小時(shí)行駛的路程為900 km ,從而可求得慢車的速度,再由兩車4 小時(shí)相遇 ,即 4 小時(shí)共走了900 km ,則快車速度可

11、求.(4) 求線段由圖象可知 ,點(diǎn)車行駛速度可得BC 所表示的 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是要確定B 的坐標(biāo)為 (4,0),點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為快車到達(dá)乙地的時(shí)間,而縱坐標(biāo)則為此時(shí)兩車之間的距離,可由慢車行駛時(shí)間B 、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo) ,由快車行駛路程÷快×慢車行駛速度求得 ,再用待定系數(shù)法可求得線段BC 所表示的y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式.(5) 慢車與第一列快車相遇30 分鐘后與第二列快車相遇,此時(shí) , 慢車行駛的時(shí)間是4.5h代入線段 BC 所表示函數(shù)關(guān)系式 ,可以求得此時(shí)慢車與第一列快車之間的距離, 而這也正是兩列快車之間的距離,再由快車行駛速度,則可求得兩列

12、快車發(fā)車的間隔時(shí)間,從而問題可解 .解： （ 1） 900；（ 2）圖中點(diǎn) B 的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車行駛4h 時(shí)，慢車和快車相遇（ 3）由圖象可知，慢車12h 行駛的路程為900km ，所以慢車的速度為90075(km / h) ；12當(dāng)慢車行駛 4h時(shí)，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km ，所以慢車和快車行駛的速度之和為900225(km / h) ，所以快車的速度為150km/h 4（ 4）根據(jù)題意，快車行駛 900km 到達(dá)乙地，所以快車行駛9006(h) 到達(dá)乙地，此150時(shí)兩車之間的距離為6 75450(km) ，所以點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (6，450) 設(shè)線段 BC 所表示的 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y kxb ，把 (4，0) ， (6，450) 代入得0 4k，k，b2254506k b.解得900.b所以，線段 BC 所表示的 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為y225 x900 自變量 x 的取值范圍是4 x 6 學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 5）慢車與第一列快車相遇30 分鐘后與第二列快車相遇，此時(shí)，慢車的行駛時(shí)間是4.5h把 x 4.5 代入 y225x 900 ，得 y 112.5 此時(shí)，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離是112.5km，所以兩列快車出發(fā)的間隔時(shí)間是112.515