矩陣典型習(xí)題解析

1、2 矩陣矩陣是學(xué)好線性代數(shù)這門課程的基礎(chǔ)，而對(duì)于初學(xué)者來講，對(duì)于矩陣的理解是尤為的重要；許多學(xué)生在最初的學(xué)習(xí)過程中感覺矩陣很難，這也是因?yàn)閷?duì)矩陣所表示的內(nèi)涵模糊的緣故。其實(shí)當(dāng)我們把矩陣與我們的實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相聯(lián)系的時(shí)候，我們才會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來用矩陣來表示這些“繁瑣”的事物來是多么的奇妙！于是當(dāng)我們對(duì)矩陣產(chǎn)生無比的興奮時(shí)，那么一切問題都會(huì)變得那么的簡單! 2.1 知識(shí)要點(diǎn)解析2.1.1 矩陣的概念1矩陣的定義由m×n個(gè)數(shù)組成的m行n列的矩形數(shù)表 稱為m×n矩陣，記為2特殊矩陣（1）方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣；（2）上（下）三角陣：主對(duì)角線以下（上）的元素全為零的方陣稱為上（下）

2、三角陣；（3）對(duì)角陣：主對(duì)角線以外的元素全為零的方陣；（4）數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上元素相同的對(duì)角陣；（5）單位矩陣：主對(duì)角線上元素全是1的對(duì)角陣，記為e；（6）零矩陣：元素全為零的矩陣。3矩陣的相等設(shè)若 ，則稱a與b相等，記為a=b。2.1.2 矩陣的運(yùn)算1加法（1）定義：設(shè)，則（2）運(yùn)算規(guī)律 a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c） a+o=a a+（-a）=0， a是a的負(fù)矩陣2數(shù)與矩陣的乘法（1）定義：設(shè)k為常數(shù)，則（2）運(yùn)算規(guī)律  k (a+b) =ka+kb,  (k+l)a=ka+la,  (kl)

3、 a= k (la)3矩陣的乘法（1）定義：設(shè)則其中（2）運(yùn)算規(guī)律；（3）方陣的冪定義：a，則運(yùn)算規(guī)律：；（4）矩陣乘法與冪運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算不同之處。 4矩陣的轉(zhuǎn)置（1）定義：設(shè)矩陣a=，將a的行與列的元素位置交換，稱為矩陣a的轉(zhuǎn)置，記為，（2）運(yùn)算規(guī)律；。（3）對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣若則稱a為對(duì)稱陣；，則稱a為反對(duì)稱陣。5逆矩陣（1）定義：設(shè)a為n階方陣，若存在一個(gè)n階方陣b，使得ab=ba=e，則稱a為可逆陣，b為a的逆矩陣，記作。（2）a可逆的元素條件：a可逆（3）可逆陣的性質(zhì)若a可逆，則a-1也可逆，且(a-1)-1 =a；若a可逆，k0，則ka可逆

4、，且；若a可逆，則at也可逆，且；若a，b均可逆，則ab也可逆，且。（4）伴隨矩陣定義：，其中為的代數(shù)余子式，性質(zhì)：i）； ii）；iii）；iv）若a可逆，則也可逆，且用伴隨矩陣求逆矩陣公式：2.1.3 方陣的行列式1定義：由n階方陣a的元素構(gòu)成的n階行列式（各元素的位置不變）叫做方陣a的行列式，記為或deta。2性質(zhì)：（1），（2），（3），（4）3特殊矩陣的行列式及逆矩陣(1) 單位陣e：；(2) 數(shù)量矩陣ke：當(dāng)(3)對(duì)角陣：若，則4 上（下）三角陣設(shè)若，則仍為上（下）三角陣2.1.4 矩陣的初等變換與初等矩陣1矩陣的初等變換（1）定義：以下三種變換交換兩行（列）；某行（列）乘一個(gè)不為

5、零的常數(shù)k；某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，稱為矩陣的初等變換。2初等矩陣（1）定義：將n階單位陣e進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣；交換i ,j兩行（列），記為e(i, j)；第i行（列）乘以不為零的常數(shù)k記為e(i(k)；第j行的k倍加到第i行上去，記為e(j(k)i；（2）初等矩陣的性質(zhì)初等陣是可逆陣，且逆陣仍為同型的初等陣；而（3）方陣a可逆與初等陣的關(guān)系若方陣a可逆，則存在有限個(gè)初等陣，使，（4）初等陣的行列式（5）初等陣的作用：對(duì)矩陣a進(jìn)行一次初等行（列）變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的初等陣左（右）乘矩陣a，且3矩陣的等價(jià)（1）定義：若矩陣a經(jīng)過有限次初等變換變到矩陣b，則稱a與

6、b等價(jià)，（2）a與b等價(jià)的三種等價(jià)說法，a經(jīng)過一系列初等變換變到b；存在一些初等陣，使得存在可逆陣p，q，使得paq=b2.1.5 分塊矩陣1分塊矩陣的定義以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。2分塊矩陣的運(yùn)算（1）設(shè)a，b為同型矩陣，采用相同的分法有 則（2）（3）設(shè)分塊成 其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，則，其中3準(zhǔn)對(duì)角陣（1）定義：形如 ai為ni階方陣的矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角陣。（2）準(zhǔn)對(duì)角陣的行列式及逆矩陣設(shè)，則；若每個(gè)ai可逆，則a可逆，且（3）特殊的準(zhǔn)對(duì)角陣（i），若a1, a2可逆，則（ii），若a1, a2可逆，則（iii）是且（iv），則2.2 經(jīng)典題型解析2.2.1 矩陣的運(yùn)算1、若

7、則c= 解：由得=0, =4 而-1+2b+6=-1得b=-3, =-7 從而 c 提示：對(duì)于最基本的矩陣的四則運(yùn)算我們一定要爛熟于心。2、設(shè)a為三階矩陣，且則 解：易錯(cuò)提示：本題是道特別基本的有關(guān)矩陣基本性質(zhì)的類型題，考生易犯的錯(cuò)誤就是對(duì)矩陣進(jìn)行行列式計(jì)算時(shí)，把的階數(shù)給忘記計(jì)算。3、設(shè)a為33矩陣，b為44，且則解：易錯(cuò)題示：本題同上，但還應(yīng)值得我們注意的是，在計(jì)算時(shí)是我們常犯的錯(cuò)誤。4、設(shè)則解： 易錯(cuò)提示：本題關(guān)鍵是要求我們注意到是矩陣，但卻是數(shù)，倘若先計(jì)算然后再求，則計(jì)算式相當(dāng)繁瑣的。5、設(shè)，求.解：方法一：數(shù)學(xué)歸納法. 因?yàn)椋?一般的，設(shè)，則.所以，有歸納法知。方法二：因?yàn)閍是初等矩陣

8、，相當(dāng)于對(duì)單位矩陣，施行了n次初等列變換（把第一列加到第三列），故。方法三：利用對(duì)角矩陣和主對(duì)角線上為零的上三角矩陣冪的特點(diǎn)來進(jìn)行計(jì)算。 令 ，其中，又因?yàn)?，所以。故?.提示：除上述方法外，本題還可以與后面的特征值聯(lián)系起來計(jì)算，方法也算不少，讀者只需選擇一種或幾種適合自己的且快捷簡便的方法為宜。6、設(shè)矩陣，求。解：a的特征多項(xiàng)式，則有根1，-1（二重）。若設(shè)，那么所求，而，由代數(shù)學(xué)中的整除性質(zhì)，解之得：。所以，從而。點(diǎn)評(píng)：本題可謂是到綜合性極強(qiáng)的一道題，對(duì)于解這種類型題時(shí)，讀者除需要掌握牢固扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還應(yīng)具備真正能夠做到各知識(shí)點(diǎn)前后相連，融會(huì)貫通的能力。所以，我們平時(shí)學(xué)習(xí)是應(yīng)該養(yǎng)成多

9、動(dòng)腦，勤思考，?？偨Y(jié)得好習(xí)慣。7、設(shè)，求。解：由分塊矩陣知，其中， 又 而的秩為1，有從而2.2.2 矩陣的逆（逆矩陣）及其運(yùn)用1、設(shè)a為三階方陣，為a的伴隨矩陣，計(jì)算解：因?yàn)椋?。易錯(cuò)提示：切記將2提出時(shí)應(yīng)為，其中k為該矩陣的階數(shù)。2、已知矩陣a滿足關(guān)系式，求。解：因?yàn)?， 思路提示：遇到有關(guān)此類問題時(shí)，我們首先應(yīng)想到的是把所求問題的因式給分解出來，那么問題就會(huì)變得容易多了。3、設(shè)n階可逆矩陣，為n維列向量（i=1,2,n）, 為n維非零列向量，且與均正交， 則可逆。解：要證明矩陣b可逆，我們這里只需要證明向量組線性無關(guān)即可。 為此，我們令： ， 兩邊同乘以，即 ， ，（i=1,2,n-1

10、）且我們可以得出，那么即得：，又a是可逆矩陣， 線性無關(guān)。從而我們有=0，即證明了線性無關(guān)，同時(shí)也就說明了矩陣是可逆矩陣。思路提示：對(duì)于這某矩陣時(shí)可逆矩陣的方法也算不少，這里我們不妨預(yù)先前所熟悉的線性方程組來建立聯(lián)系。這就要求我們對(duì)與矩陣與線性方程組建的關(guān)系要特別的熟悉與掌握，這對(duì)于今后解線性方程組也會(huì)只很有幫助的。事實(shí)上，對(duì)于mn矩陣a，我們可以把其每一列看作一列向量（記為），則a=（），這就很形象的轉(zhuǎn)化為線性方程組問題了，而a=（）可逆向量組線性無關(guān)。4、設(shè)a為n階實(shí)矩陣，若a+為正定矩陣，則a為可逆矩陣。證明：用反證法 假設(shè)a為不可逆矩陣， 則n維列向量，使得， 而對(duì)于 ， 從而我們知存

11、在，使得， 但這與a+為正定矩陣相矛盾，從而假設(shè)不成立，這也就說明了a為可逆矩陣。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一些證明題，當(dāng)我們感覺無處下手之時(shí)，不妨嘗試一下反證法，很多時(shí)候反證法也未嘗不是條光明道路。對(duì)于如何說明矩陣a是正定矩陣，我們應(yīng)掌握以下幾個(gè)等價(jià)定理：(1)定義法（最基本，也較常用，本題就是利用次方法來證明出矛盾來的的）；(2)來說明a的所有特征值全部都大于零；(3)來說明a的所有順序主子式都大于零（這種方法再給出具體的矩陣表達(dá)形式時(shí)較常用）;(4)存在可逆矩陣，使得a=;(5)存在正交矩陣，使得a=;(6)存在正交矩陣，使得，。5、已知二次型， (1)寫出該二次型的矩陣表達(dá)式；(2)用正交矩陣的方法把

12、該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)性，并寫出對(duì)應(yīng)的正交矩陣。解：（1）f的矩陣表達(dá)式為 ；（2）由（1）得知該二次型的矩陣為 ， a的特征方程為 ，由此可得出a的特征值：，對(duì)應(yīng)的特征向量為 。對(duì)應(yīng)的單位特征向量為： 。因此可得正交矩陣 ，那么對(duì)二次型f做正交變換，則該二次型就可以化為標(biāo)準(zhǔn)型 。點(diǎn)評(píng)：化二次行為標(biāo)準(zhǔn)形式二次型矩陣最常見的一種題型 ，在研究生入學(xué)考試中也是個(gè)重要的考察知識(shí)點(diǎn)，但題目一般難度不大，解答事業(yè)都有固定的模式，但它卻要求我們必須仔細(xì)對(duì)待，切不可有所懈怠。6、二次曲面s在空間直角坐標(biāo)系中的方程為 ，做直角坐標(biāo)變換，把它化成標(biāo)準(zhǔn)方程，并且指出s是什么樣的二次曲面？解：首先把方程左端的二次項(xiàng)部分 經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型。而二次型矩陣a為 ，同時(shí)，根據(jù)上題知，我們可以找