數(shù)學(xué)分布及應(yīng)用

1、問題？問題？l假設(shè)對假設(shè)對1000名報考某高名報考某高中的學(xué)生進行分班考試，中的學(xué)生進行分班考試，若要按能力將這些學(xué)生若要按能力將這些學(xué)生分為分為A、B、C、D、E五個組（或等級），且五個組（或等級），且每組能力組距相等。根每組能力組距相等。根據(jù)正態(tài)分布的理論，每據(jù)正態(tài)分布的理論，每一等級應(yīng)分布多少學(xué)一等級應(yīng)分布多少學(xué)生生? ?？ l某套測驗中有某套測驗中有10道正道正誤判斷題，若要了解誤判斷題，若要了解學(xué)生對所測內(nèi)容在什學(xué)生對所測內(nèi)容在什么情況下是真正領(lǐng)會么情況下是真正領(lǐng)會了，或什么情況下屬了，或什么情況下屬猜測的成分多猜測的成分多 ，應(yīng)如，應(yīng)如何分析？何分析？正態(tài)分布及應(yīng)用正態(tài)分布及應(yīng)用二

2、項分布及應(yīng)用二項分布及應(yīng)用抽樣分布抽樣分布第一節(jié)第一節(jié) 正態(tài)分布及應(yīng)用正態(tài)分布及應(yīng)用l正態(tài)分布的理論正態(tài)分布的理論l正態(tài)曲線表的使用正態(tài)曲線表的使用l正態(tài)分布在心理教育研究中的應(yīng)用正態(tài)分布在心理教育研究中的應(yīng)用一、正態(tài)分布的理論一、正態(tài)分布的理論l服從正態(tài)分布的隨機變量，在取值區(qū)間中部取服從正態(tài)分布的隨機變量，在取值區(qū)間中部取值概率最高，從中間到兩側(cè)，取值概率逐漸下值概率最高，從中間到兩側(cè)，取值概率逐漸下降，接近取值區(qū)間上、下限時，取值概率越來降，接近取值區(qū)間上、下限時，取值概率越來越小，且兩側(cè)取值概率是對稱的。越小，且兩側(cè)取值概率是對稱的。 即高斯分布即高斯分布（一）定義與方程（一）定義與方

3、程1、定義：、定義：22221XeY2、公式、公式 一簇分布一簇分布 中央點最高，雙側(cè)對稱：中央點最高，雙側(cè)對稱： 面積：面積：p=1 形狀，形狀，3、特點、特點 位置位置（二）標準正態(tài)分布及特征（二）標準正態(tài)分布及特征2221ZeY1、方程、方程2、特點：、特點： =1， =0 一條分布一條分布 Y=0.398922221XeY二、標準正態(tài)分布曲線的使用二、標準正態(tài)分布曲線的使用（一）正態(tài)曲線表（一）正態(tài)曲線表l正態(tài)曲線表：以正態(tài)曲線表：以為測量面積的單位，用積分為測量面積的單位，用積分法則算出法則算出Z所對應(yīng)的各個部分的面積（所對應(yīng)的各個部分的面積（P）及）及 y 值，制成的曲線表。值，制

4、成的曲線表。 正態(tài)曲線表的三個數(shù)值正態(tài)曲線表的三個數(shù)值面積值：面積值：p高度值：高度值：y刻度值：刻度值：Z（二）三個值的求解（二）三個值的求解1、ZPl求均數(shù)與某個求均數(shù)與某個 Z 值間的值間的 P 值：查表法。值：查表法。 例例7-3：Z=0Z=1 Z=0Z=-1 1 2 3-3 - 2 -1 P=0.34134P=0.34134結(jié)果結(jié)果l求某個求某個Z值以上或以下的面積值以上或以下的面積. 例例7-5: Z=2.4以上以上P. Z=-1.2以下以下P. 1151. 00082. 0pp 求任何兩個求任何兩個 Z 值間的值間的 P值值 例例7-4: -1.22.4 0.61.520744.

5、08767.0pp2、PZl查表法：近似結(jié)果查表法：近似結(jié)果 例例7-5： P=0.30，Z=? 85.,30234.84.,29955.ZpZp 內(nèi)插法：精確結(jié)果內(nèi)插法：精確結(jié)果 例例7-5： P=0.30，Z=? 52. 0Z112121PPPPZZZZX公式：公式：85.,30234.84.,29955.2211ZpZp29955.30.29995.30234.84.85.84.XZ8416.0016.84.3、PYl查表法：近似結(jié)果查表法：近似結(jié)果l例例7-5： P=0.30，Y=?27798.,30234.28034.,29955.YpYp 內(nèi)插法：精確結(jié)果。內(nèi)插法：精確結(jié)果。 34

6、894.Yl公式：公式：112121PPPPYYYYX27798.,30234.28034.,29955.2211YpYp29955.30.29955.30234.28034.27798.28034.XY28072.00038.28034.（三）幾個（三）幾個常用值常用值11： 22：33：6827.234134.p9545.247725.p9973.24986.p41.96：52.58：95.2475.p99.249506.p（四）（四）PR與與Z的關(guān)系的關(guān)系l例例7-6：在一正態(tài)分布中，若某人的標準分數(shù)：在一正態(tài)分布中，若某人的標準分數(shù)為為1，則他在該團體中的百分等級應(yīng)當為，則他在該團體中

7、的百分等級應(yīng)當為 a. 34 b. 68 c. 84 d. 75-3 - 2 -1 1 2 3 .34.50三、正態(tài)理論的應(yīng)用三、正態(tài)理論的應(yīng)用例例7-7：假設(shè)：假設(shè)500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分布符名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分布符合正態(tài)分布。且已知平均分合正態(tài)分布。且已知平均分70，標準差，標準差5分。試問分。試問60分以下，分以下，6080分，分，80分以上，分以上，這三個分數(shù)段中，學(xué)生的人數(shù)分布各為這三個分數(shù)段中，學(xué)生的人數(shù)分布各為多少？多少？（一）求分布中特定分數(shù)間個體數(shù)量（一）求分布中特定分數(shù)間個體數(shù)量已知：已知：N=500，M=70，SD=5PZ M，SD，X X Z ： Z P： 2570606

8、0Z25708080Z47725.p 求各段的求各段的 P60以下以下:02275.47725.50.p分析步驟分析步驟6080：9545.247725.p80以上：以上：02275.p 求各區(qū)間的人數(shù)：求各區(qū)間的人數(shù)： iNpn 60以下以下:6080：80以上：以上：11375.1102275.5001n47847725.4779545.5002n1113 nn例例7-8：假設(shè)對：假設(shè)對100名報考大學(xué)的學(xué)生進行名報考大學(xué)的學(xué)生進行分班考試，要按能力將這些學(xué)生分為分班考試，要按能力將這些學(xué)生分為A、B、C、D、E五個小組（或等級），每五個小組（或等級），每組能力組距相等，若考試成績所測得的

9、組能力組距相等，若考試成績所測得的分數(shù)是正態(tài)的，問分數(shù)是正態(tài)的，問A、B、C、D、E各各組應(yīng)當分布幾名學(xué)生？組應(yīng)當分布幾名學(xué)生？ （二）確定能力分組或等級評定人數(shù)（二）確定能力分組或等級評定人數(shù) 確定確定 Z 值的范圍值的范圍 2.156iZ8 . 13:A6 . 08 . 1:B6 . 06 . 0:C8 . 16 . 0:D38 . 1:E以上或8 . 1以下或8 .1分析步驟分析步驟A=0.498650.46407=0.03458B=0.4640170.22575=0.23832C=0.225752=0.4515D=B=0.23832E=A=0.03458（或（或0.03593） Z P

10、 求各組人數(shù)：求各組人數(shù)： 3;24;45;24;4EDCBAiNpn （三）分析試題的相對難度（三）分析試題的相對難度 例例7-9：在一次共有四個試題的考試中，學(xué)生答：在一次共有四個試題的考試中，學(xué)生答對每題的人數(shù)百分比分別為：對每題的人數(shù)百分比分別為：70%，50%，30%，10%。試問各題的難度如何？各題間的。試問各題的難度如何？各題間的難度差一樣嗎？為什么？難度差一樣嗎？為什么？分析步驟分析步驟 P Z： 試題試題 P P Z 1 .70 .7.5=.2 -0.52 2 .50 .5.5=0 0.00 3 .30 .3.5=.2 0.52 4 .10 .1.5=.4 1.28表表7-1

11、 試題難度分析表試題難度分析表 線性轉(zhuǎn)換線性轉(zhuǎn)換:5Z134 Z試題試題 P Q P Z DP 1 .70 .30 .20 0.52 .52 4.48 11 2 .50 .50 .00 0.00 .52 5.00 13 3 .30 .70 .20 -0.52 .76 5.52 15 4 .10 .90 .40 1.28 6.28 18 求難度差求難度差表表7-2 試題相對難度比較結(jié)果試題相對難度比較結(jié)果（四）品質(zhì)評定數(shù)量化（四）品質(zhì)評定數(shù)量化例例7-10： 三位教三位教師對師對100名學(xué)生名學(xué)生的學(xué)習(xí)能力進的學(xué)習(xí)能力進行了等級評價行了等級評價 如表。如表。等級等級 甲甲 乙乙 丙丙 A 5 1

12、0 20 B 25 20 25 C 40 40 35 D 25 20 15 E 5 10 5 100 100 100 表表7-2 教師對學(xué)生的評定教師對學(xué)生的評定 試比較其中三位學(xué)生學(xué)習(xí)能力的高低是否試比較其中三位學(xué)生學(xué)習(xí)能力的高低是否一樣？一樣？ 學(xué)生學(xué)生 教師甲教師甲 教師乙教師乙 教師丙教師丙 1 B A A 2 A B A 3 D C C 表表7-3 3名學(xué)生的所獲得的評定等級名學(xué)生的所獲得的評定等級 是否等值？是否等值？ 能否轉(zhuǎn)化？能否轉(zhuǎn)化？ 1、問題分析、問題分析等級等級 甲甲 乙乙 丙丙 A 5 10 20 B 25 20 25 C 40 40 35 D 25 20 15 E 5

13、 10 5 100 100 100R nA 5B 25C 40D 25E 5 100 表表7-3 甲教師評定結(jié)果甲教師評定結(jié)果P 0.05 0. 25 0.40 0.25 0.05100.002、分析過程、分析過程 n p： Nnpi 確定位置確定位置 求各等級比率的中間值求各等級比率的中間值 確定中間值確定中間值 確定查表值確定查表值 -3 - 2 -1 1 2 3 .05.25.4.25.05CABEDA：P=.05/2+.45=.475B：P=.25/2+.2=.325C：P=（.4/2）=.2=0PF=.05/2+.95=.975PF=.25/2+.7=.825C：PF=.4/2+.5

14、=.5R nA 5B 25C 40D 25E 5 100 表表7-4 甲教師評定的相對結(jié)果甲教師評定的相對結(jié)果P 0.05 0.25 0.40 0.25 0.05100.00cump中值中值 0.975 0.825 0.500 0.175 0.025 P 0.475 0.325 0.000 0.325 0.475 Z 1.96 0.93 0.00 -0.93 -1.96 P Z： 確定查表值確定查表值 R nA 10B 20C 40D 20E 10 100 表表7-5 乙教師評定的相對結(jié)果乙教師評定的相對結(jié)果P 0.10 0.20 0.40 0.20 0.10100.00cump中值中值 0.

15、95 0.80 0.50 0.20 0.05 P 0.45 0.30 0.00 0.30 0.45 Z 1.64 0.84 0.00 -0.84 -1.64 R nA 20B 25C 35D 15E 5 100 表表7-6 丙教師評定的相對結(jié)果丙教師評定的相對結(jié)果P 0.20 0.25 0.35 0.15 0.05100.00cump中值中值 0.900 0.675 0.375 0.125 0.025 P 0.400 0.175 0.125 0.375 0.475 Z 1.28 0.45 -0.32 -1.15 -1.96 比較學(xué)生的能力高低比較學(xué)生的能力高低學(xué)學(xué)生生 1 2 3甲教師甲教師R

16、 ZB 0.93A 1.96D -0.93乙教師乙教師R ZA 1.64B 0.84C 0.00乙教師乙教師R ZA 1.28A 1.28C -0.32 平均平均 成績成績 1.28 1.36 -0.42表表7-7 三名學(xué)生的等級比較結(jié)果三名學(xué)生的等級比較結(jié)果l某區(qū)要在某區(qū)要在2500名初三學(xué)生中選名初三學(xué)生中選50名學(xué)生參加名學(xué)生參加全市初中物理競賽。已知該區(qū)初三上學(xué)期物理全市初中物理競賽。已知該區(qū)初三上學(xué)期物理考試成績近似正態(tài)分布，且平均數(shù)考試成績近似正態(tài)分布，且平均數(shù)57分，標準分，標準差差16分。若以這次考試為準來選拔參加競賽的分。若以這次考試為準來選拔參加競賽的學(xué)生，分數(shù)線應(yīng)定為多少

17、？學(xué)生，分數(shù)線應(yīng)定為多少？分析結(jié)果分析結(jié)果 求入選率：求入選率： P Z： 確定確定P：02. 0250050p48. 002. 050. 0p05. 2Z Z X：ZX908 .891605. 257一、二項分布的理論一、二項分布的理論（一）定義（一）定義l定義：離散型隨機變量的概率分布。定義：離散型隨機變量的概率分布。nqp 數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：第三節(jié)第三節(jié) 二項分布二項分布（二）特點（二）特點1n3,2項數(shù)為例如qp l項數(shù)：項數(shù)： 方次：方次： 系數(shù)：各項系數(shù)是成、敗總?cè)藬?shù)的組合數(shù)系數(shù)：各項系數(shù)是成、敗總?cè)藬?shù)的組合數(shù)nq0:升冥0:np 降冥 項數(shù)為奇數(shù)時：中間系數(shù)最大；項數(shù)為奇數(shù)時：

18、中間系數(shù)最大； 項數(shù)為偶數(shù)時：中間兩項系數(shù)相等且最大。項數(shù)為偶數(shù)時：中間兩項系數(shù)相等且最大。 二、二項式概率分布二、二項式概率分布rnrrnrqpCP組合數(shù)組合數(shù)rnrrqprnrnP!（一）二項式概率分布函數(shù)（一）二項式概率分布函數(shù)（二）二項分布曲線（二）二項分布曲線l形成形成l以成功次數(shù)為以成功次數(shù)為X X，組合數(shù)為，組合數(shù)為Y Y繪制的多邊圖。繪制的多邊圖。l特點特點l當當p=q=1/2p=q=1/2時，不論時，不論n n有多大，二項分布曲線都總是有多大，二項分布曲線都總是對稱的；對稱的；l當當p p q q時，且時，且n n相當小，圖形呈偏態(tài)；相當小，圖形呈偏態(tài)；l當當n n相當大（相

19、當大（30）時，圖形逐漸接近正態(tài)分布。）時，圖形逐漸接近正態(tài)分布。 三、二項分布的應(yīng)用三、二項分布的應(yīng)用l二項分布的均數(shù)與標準差；二項分布的均數(shù)與標準差；l應(yīng)用前提應(yīng)用前提l應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例（一）均數(shù)與標準差（一）均數(shù)與標準差l平均數(shù)平均數(shù)npnpq 標準差標準差三、二項分布的應(yīng)用三、二項分布的應(yīng)用（二）應(yīng)用前提（二）應(yīng)用前提,qp ,qp ;5np5nq（三）應(yīng)用（三）應(yīng)用猜測性猜測性例例7-1：某測驗中有：某測驗中有10道正誤選擇題，試道正誤選擇題，試分析學(xué)生的掌握情況或猜測的可能性。分析學(xué)生的掌握情況或猜測的可能性。 條件分析條件分析21,10:qpn已知5,:npqp滿足 求均數(shù)和標準

20、差求均數(shù)和標準差52110 np58.1212110npq 確定一定可信度時的掌握程度確定一定可信度時的掌握程度:%95D645.1k:%99D33.2k858.1645.1505.0k958.133.2501.0k 結(jié)果解釋：結(jié)果解釋：l1、某測驗有、某測驗有30個正誤題，試問學(xué)生要做對多個正誤題，試問學(xué)生要做對多少題，才屬掌握了所學(xué)的內(nèi)容。少題，才屬掌握了所學(xué)的內(nèi)容。5152130,21npqp74. 2212130,152074. 2645. 115k2、設(shè)有設(shè)有10個正誤判斷題和個正誤判斷題和10個選擇題（每題個選擇題（每題4個備選答案中只有一個正確），試比較兩套試個備選答案中只有一個

21、正確），試比較兩套試題的優(yōu)劣（題的優(yōu)劣（假設(shè)學(xué)生答對了假設(shè)學(xué)生答對了8題）。題）。55.241104341npqp1）條件分析）條件分析2）正誤題的概率）正誤題的概率00039. 010485764054341!810! 8!10288P4）解釋）解釋044. 01024452121!810! 8!10288P3）選擇題的概率）選擇題的概率3、有、有20道四擇一題呢？道四擇一題呢？55,npqp1194. 133. 2501. 0k（一）概率分布（一）概率分布 離散分布：二項分布、多項分布、普離散分布：二項分布、多項分布、普 阿松分布、超幾何分布阿松分布、超幾何分布 連續(xù)分布：正態(tài)分布、連續(xù)分

22、布：正態(tài)分布、t分布、負指分布、負指 數(shù)分布、威布爾分布等數(shù)分布、威布爾分布等l定義：描述隨機變量所有可能取值及相應(yīng)定義：描述隨機變量所有可能取值及相應(yīng) 概率變化規(guī)律的函數(shù)。概率變化規(guī)律的函數(shù)。 類型類型連續(xù)性連續(xù)性第三節(jié)第三節(jié) 抽樣分布抽樣分布 經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布 理論分布理論分布 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 按數(shù)學(xué)模型算出的總體分布按數(shù)學(xué)模型算出的總體分布分布函數(shù)分布函數(shù) 來源來源數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)特征特征 基本隨機變量分布：基本隨機變量分布： 理論分布理論分布總體總體 分布（正態(tài)分布、二項分布等分布（正態(tài)分布、二項分布等 ） 抽樣分布：樣本統(tǒng)計量的理論分布。抽樣分布：樣本統(tǒng)計量的理論分布。22,SXkXXXX

23、,:321即kSSSS,:321同樣總體：總體：Nn1n221,SXnkkkSX ,l定義：用定義：用極限的方法極限的方法求隨機變量分布的一系求隨機變量分布的一系列列定理定理 。（二）中心極限定理（二）中心極限定理 內(nèi)容：內(nèi)容： 若總體正態(tài)，則從中抽取容量為若總體正態(tài)，則從中抽取容量為n 的的 一切可能樣本的均數(shù)分布也呈正態(tài)；一切可能樣本的均數(shù)分布也呈正態(tài)； 無論總體是否正態(tài)，只要無論總體是否正態(tài)，只要 n 足夠大，足夠大， 樣本均數(shù)的分布接近正態(tài)分布。樣本均數(shù)的分布接近正態(tài)分布。 從總體抽取容量為從總體抽取容量為n的一切可能樣本時：的一切可能樣本時：X 從總體抽取容量為從總體抽取容量為n的一

24、切可能樣本時：的一切可能樣本時：nX 闡明了樣本均數(shù)的分布；闡明了樣本均數(shù)的分布； 意義：意義： 給出樣本均數(shù)分布的兩個重要參數(shù)的給出樣本均數(shù)分布的兩個重要參數(shù)的 計算方法。計算方法。 1、隨機樣本、隨機樣本 抽樣原則：隨機性抽樣原則：隨機性 要求：要求： 機會均等機會均等 彼此獨立彼此獨立 n 足夠大足夠大l隨機樣本：按概率規(guī)律抽取的樣本。隨機樣本：按概率規(guī)律抽取的樣本。（三）統(tǒng)計術(shù)語（三）統(tǒng)計術(shù)語l定義：由定義：由抽樣的隨機性抽樣的隨機性引起的樣本統(tǒng)計量引起的樣本統(tǒng)計量 與總體參數(shù)之間的差異。與總體參數(shù)之間的差異。 2、抽樣誤差、抽樣誤差總體總體 =80M1=78M2=83D1=-2D1=

25、3X3、標準誤、標準誤l定義：統(tǒng)計量在抽樣分布上的標準差。定義：統(tǒng)計量在抽樣分布上的標準差。nXXSE 符號：符號：SE（ Standard Error） 解釋：解釋： SE越小，樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)越小，樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)越接近，樣本對總體的代表性越好，越接近，樣本對總體的代表性越好， 用樣本統(tǒng)計量推斷總體也越可靠。用樣本統(tǒng)計量推斷總體也越可靠。課堂練習(xí)課堂練習(xí)l請問下列標準誤的內(nèi)容是什么？請問下列標準誤的內(nèi)容是什么？ sSEpSErSEXDSE思考題思考題l試比較標準誤與標準差的異同。試比較標準誤與標準差的異同。 同：都是離中趨勢的指標。同：都是離中趨勢的指標。 異：異： S：一般變量值

26、離中趨勢的指標。：一般變量值離中趨勢的指標。 SE：樣本統(tǒng)計量離中趨勢的指標。：樣本統(tǒng)計量離中趨勢的指標。l定義：統(tǒng)計推斷中，變量值獨立自由定義：統(tǒng)計推斷中，變量值獨立自由 變動數(shù)值的數(shù)目。變動數(shù)值的數(shù)目。4、自由度、自由度 符號：符號：df（ degree of freedom） 注意：統(tǒng)計方法不同，自由度算法不同注意：統(tǒng)計方法不同，自由度算法不同l樣本均數(shù)的自由度樣本均數(shù)的自由度,NXXNdf 122NXXS1 Ndf 樣本方差（或標準差）的自由度樣本方差（或標準差）的自由度l假設(shè)有假設(shè)有 5 個測量值如下表，試問個測量值如下表，試問5個數(shù)中可個數(shù)中可任意變動幾個任意變動幾個?為什么為什么? X1 X2 X3 X4 X5 M Sn-1 S 5 7 10 12 16 10 4.30 3.85 8 12 6 ？ 14 10 3.16 2.832 ？ 15 21 8 102 86 12 ？ 1010422二、常用抽樣分布二、常用抽樣分布l正態(tài)分布及