高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義9不等式

1、第九章 不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)不等式的基本性質(zhì)：（1）a>ba-b>0； （2）a>b, b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c； （4）a>b, c>0ac>bc；（5）a>b, c<0ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, nn+an>bn; （8）a>b>0, nn+;（9）a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>ax>a或x<-a;（10）a, br，則|a|-|b|a+

2、b|a|+|b|;（11）a, br，則(a-b)20a2+b22ab;（12）x, y, zr+，則x+y2, x+y+z 前五條是顯然的，以下從第六條開(kāi)始給出證明。（6）因?yàn)閍>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重復(fù)利用性質(zhì)（6），可得性質(zhì)（7）；再證性質(zhì)（8），用反證法，若，由性質(zhì)（7）得，即ab，與a>b矛盾，所以假設(shè)不成立，所以；由絕對(duì)值的意義知（9）成立；-|a|a|a|, -|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再證（10）的左邊，因?yàn)閨a|=

3、|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）顯然成立；下證（12），因?yàn)閤+y-20，所以x+y，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立，再證另一不等式，令，因?yàn)閤3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以a3+b3+c33abc，即x+y+z，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)成立。二、方法與例題1不等式證

4、明的基本方法。（1）比較法，在證明a>b或a<b時(shí)利用a-b與0比較大小，或把（a，b>0）與1比較大小，最后得出結(jié)論。例1 設(shè)a, b, cr+，試證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y, z, 有x2+y2+z2例2 若a<x<1，比較大?。簗loga(1-x)|與|loga(1+x)|.（2）分析法，即從欲證不等式出發(fā)，層層推出使之成立的充分條件，直到已知為止，敘述方式為：要證，只需證。例3 已知a, b, cr+，求證：a+b+c-3a+b（3）數(shù)學(xué)歸納法。例5 對(duì)任意正整數(shù)n(3)，求證：nn+1>(n+1)n.（4）反證法。例6 設(shè)實(shí)數(shù)a0, a1,an滿足a0

5、=an=0，且a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0，求證ak0(k=1, 2, n-1).（5）分類(lèi)討論法。例7 已知x, y, zr+，求證：（6）放縮法，即要證a>b，可證a>c1, c1c2,cn-1cn, cn>b(nn+).例8 求證：例9 已知a, b, c是abc的三條邊長(zhǎng)，m>0，求證：（7）引入?yún)⒆兞糠ā＠?0 已知x, yr+, l, a, b為待定正數(shù)，求f(x, y)=的最小值。例11 設(shè)x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求證：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.（8）局部不等式。例1

6、2 已知x, y, zr+，且x2+y2+z2=1，求證：例13 已知0a, b, c1，求證：2。（9）利用函數(shù)的思想。例14 已知非負(fù)實(shí)數(shù)a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。2幾個(gè)常用的不等式。（1）柯西不等式：若air, bir, i=1, 2, , n，則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在r，使得對(duì)任意i=1, 2, , n, ai=bi, 變式1：若air, bir, i=1, 2, , n，則等號(hào)成立條件為ai=bi,(i=1, 2, , n)。變式2：設(shè)ai, bi同號(hào)且不為0(i=1, 2, , n)，則等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=bn.（2）平均值不等式：

7、設(shè)a1, a2,anr+，記hn=, gn=, an=，則hngnanqn. 即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均。其中等號(hào)成立的條件均為a1=a2=an.【證明】 由柯西不等式得anqn，再由gnan可得hngn，以下僅證gnan. 1）當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；2）設(shè)n=k時(shí)有g(shù)kak，當(dāng)n=k+1時(shí)，記=gk+1.因?yàn)閍1+a2+ak+ak+1+(k-1)gk+12kgk+1, 所以a1+a2+ak+1(k+1)gk+1，即ak+1gk+1.所以由數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立。（3）排序不等式：若兩組實(shí)數(shù)a1a2an且b1b2bn，則對(duì)于b1, b2, , bn的任意排列，有a1bn+a2bn-1+a

8、nb1a1b1+a2b2+anbn.【證明】 引理：記a0=0，ak=，則 =（阿貝爾求和法）。證法一：因?yàn)閎1b2bn，所以b1+b2+bk.記sk=-( b1+b2+bk)，則sk0(k=1, 2, , n)。所以-(a1b1+a2b2+anbn)= +snan0.最后一個(gè)不等式的理由是aj-aj+10(j=1, 2, , n-1, sn=0),所以右側(cè)不等式成立，同理可證左側(cè)不等式。證法二：（調(diào)整法）考察，若，則存在。若(jn-1)，則將與互換。因?yàn)?，所 調(diào)整后，和是不減的，接下來(lái)若，則繼續(xù)同樣的調(diào)整。至多經(jīng)n-1次調(diào)整就可將亂序和調(diào)整為順序和，而且每次調(diào)整后和是不減的，這說(shuō)明右邊不等

9、式成立，同理可得左邊不等式。例15 已知a1, a2,anr+，求證；a1+a2+an.注：本講的每種方法、定理都有極廣泛的應(yīng)用，希望讀者在解題中再加以總結(jié)。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知0<x<1，a, br+，則的最小值是_.2已知xr+，則的最小值是_.3已知a, b, cr，且a2+b2+c2=1, ab+bc+ca的最大值為m，最小值為n，則mn=_.4若不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍是_.5若不等式x+a的解是x>m，則m的最小值是_.6“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是x|-2<x<6”的_條件.7若a, br+，則a+b

10、=1，以下結(jié)論成立是_. a4+b4；a3+b3<1；8已知0<<，若，則=_.9已知，p=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+(xn-a)2, 若，則比較大?。簆_q.10已知a>0, b>0且ab, m=aabb, n=abba, 則比較大?。簃_n.11已知nn+，求證：12已知0<a<1，x2+y=0，求證：loga(ax+ay) loga2+.13已知xr，求證：四、高考水平訓(xùn)練題 1已知a=asin2x+bcos2x, b=acos2x+bsin2x(a, b, xr)，設(shè)m=ab, n=ab,

11、p=a2+b2, q=a2+b2，則下列結(jié)論成立的有_.（1）mn, pq;（2）mn, pq；（3）m+pn+q；（4）m+qn+p. 2已知a, b, c, dr，m=4(a-b)(c-d), n=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，則比較大?。簃_n.3若r+，且，將從小到大排列為_(kāi).4已知abc的三邊長(zhǎng)a, b, c滿足b+c2a, a+c2b，則的取值范圍是_.5若實(shí)數(shù)x, y滿足|x|+|y|1，則z=x2-xy+y2的最大值與最小值的和為_(kāi).6設(shè)函數(shù)f(x)=(x-4,2)，則f(x)的值域是_.7對(duì)x1>x2>0,

12、 1>a>0，記，比較大小：x1x2_y1y2.8已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi).9設(shè)ab<c是直角abc 的三邊長(zhǎng)，若不等式恒成立，則m最大值為_(kāi).10實(shí)系數(shù)方程x2+ax+2b=0的一個(gè)根大于0且小于1，另一個(gè)根大于1且小于2，則的取值范圍是_.11已知a, b, cr+且滿足 a+b+cabc，求證：下列三個(gè)式子中至少有兩個(gè)成立：12已知a, br+且，求證：對(duì)一切nn+，(a+b)n-an-bn22n-2n+1.13已知a, b, c r+，求證：14設(shè)x, y, z是3個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，求的最大值。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1已知a1, a2, b1, b2, c1

13、, cr，a1c1-=a2c2>0, p=(a1-a2)(c1-c2), q=(b1-b2)2，比較大?。簆_q.2 已知x2+y2-xy=1，則|x+y-3|+|x+y+2|=_.3二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b，記m=max|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|，則m的最小值為_(kāi).4設(shè)實(shí)數(shù)a, b, c, d滿足abcd或者abcd，比較大?。?(a+c+d)(a+b+d)_(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5已知xir+, i=1, 2, ,n且，則x1x2xn的最小值為_(kāi)（這里n>1）.6已知x, yr, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+

14、72的最小值為_(kāi).7已知0ak1(k=1, 2, ,2n)，記a2n+1=a1, a2n+2=a2，則的最大值為_(kāi).8已知0x1, 0y1, 0z1，則的最大值為_(kāi).9已知x5，求證：10對(duì)于不全相等的正整數(shù)a, b, c，求證：11已知ai>0(i=1, 2, , n)，且=1。又0<12n，求證：六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)正實(shí)數(shù)x, y, z滿足x+y+z=1，求證：2設(shè)整數(shù)x1, x2, ,xn與y1, y2, , yn滿足1<x1<x2<<xn<y1<y2<<ym, x1+x2+xn>y1+y2+ym，求證：x1x2xn>y1y2ym.3設(shè)f(x)=x2+