變量變換在解常微分方程中的應(yīng)用

1、- 16 -宜賓學(xué)院2011屆畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）yibin university2011屆 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文）題 目 變量變換在解常微分方程的應(yīng)用 系 別 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名 楊孝剛 學(xué) 號(hào) 070201017 年級(jí) 2007級(jí) 指導(dǎo)教師 羅顯康 摘要 變量變換是解常微分方程的一種輔助方法。它能使問(wèn)題簡(jiǎn)化，變量變換思想是解常微分方程的重要思想之一。但是往往不被人們重視，結(jié)合近幾年的學(xué)習(xí)，從變量思想在微分方程中的應(yīng)用出發(fā)，探討變量思想的重要性，以引起廣大學(xué)習(xí)者的重視。在常微分方程中，許多類(lèi)型的常微分方程求解是依靠變量代換這一重要方法來(lái)完成。文章就變量代換在幾類(lèi)

2、微分方程中的應(yīng)用進(jìn)行探究，通過(guò)聯(lián)系實(shí)例給出了變量變換在求解微分方程中的具體應(yīng)用。關(guān)鍵詞：變量代換法； 變量思想； 微分方程； 運(yùn)用 目錄一、 緒論4二、 變量變換的定義4三、 變量變換在解常微分方程的幾種類(lèi)型的應(yīng)用4 3.1齊次方程與可化為齊次方程的微分方程4 3.2一階線性方程7 3.3一些特殊類(lèi)型的一階常微分方程7 3.4伯努利（bernoulli）方程11 3.5黎卡提（riccati）方程11 3.6非齊次線性微分方程12 3.7變系數(shù)齊次方程12 3.8高階微分方程13四、變量變換的優(yōu)越性14結(jié)束語(yǔ)14致謝15參考文獻(xiàn)16一、緒論 變量變換在解常微分方程中起著重要的作用。變量變換的思

3、想在解常微分方程有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)于某些微分方程，直接求解很難進(jìn)行，但如果對(duì)方程進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的變量變換，則很容易求解，從而達(dá)到求解的目的。因此，在求解這些微分方程時(shí)，需要根據(jù)方程的特點(diǎn)，引入適當(dāng)?shù)淖兞?，將方程化為易于求解的?lèi)型。本文就變量變換這種輔助方法進(jìn)行討論，闡述其再求解微分方程中所起的重要作用。二、變量變換的定義 變量分離方程是一階微分方程中最基本方程類(lèi)型，其他各種不同類(lèi)型的一階微分方程都可通過(guò)變量變換變形等方法，最終轉(zhuǎn)換成變量分離方程進(jìn)而求出結(jié)果。 步驟：（1）分離變量 （2）對(duì)方程兩邊同時(shí)積分并整理通解 （3）由初始條件求方程的特解三 變量變換在解常微分方程的幾種類(lèi)型的應(yīng)用 3.1

4、齊次方程與可化為齊次的微分方程形如的微分方程稱(chēng)為變量分離方程，可以利用分離變量的方法將原方程寫(xiě)成，然后借助于積分來(lái)求其通解，這是最基本的簡(jiǎn)單類(lèi)型，以后的許多類(lèi)型均可進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q轉(zhuǎn)化成該種類(lèi)型。 齊次方程：形如 的方程稱(chēng)為齊次方程，可以通過(guò)引入變量（或）代入原方程，得，這是關(guān)于變量u與x的可分離變量的方程，分離變量得，兩端積分后得u，再以代替u即得齊次方程的解。準(zhǔn)齊次方程，可以經(jīng)過(guò)變量代換化為齊次方程，然后再轉(zhuǎn)化為變量分離方程。例如的方程，可分三種情況討論。討論如下：（1）當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)闉辇R次方程，令即可轉(zhuǎn)化為變量分離方程。（2）當(dāng)時(shí)，即二階行列式時(shí)，令，則原方程變?yōu)?，再令，則有代入上式

5、：得即轉(zhuǎn)化為變量分離方程。（3）當(dāng)即二階行列式且、不全為0時(shí)，聯(lián)立方程組，令其解為，因?yàn)?、不全?，所以，再進(jìn)行坐標(biāo)變換，原式化為,這是關(guān)于x、y的齊次方程，從而可以利用分離變量的方法求解。 形如的方程，通過(guò)變量變換，可化為變量分離方程例1解方程解：令，可得代入方程得： 分離變量，再積分，化簡(jiǎn)整理可得 再代回原變量，得方程的通解例2 解方程解：令則方程可變形為: 整理后可得分離變量方程： 分離變量再積分，整理后得： 再代回，可得原方程的通解： 例3 解方程解：解方程組：解得 作坐標(biāo)變換：得 代回方程為： 積分可得： 代回原變量得原方程的通解： 例4 解方程解：這個(gè)方程既不是分離型，也不是線性型

6、。但是可以通過(guò)變形把它化為齊次型： 令， 得到 即 于是 得到 得：， （絕對(duì)值所產(chǎn)生的符號(hào)被任意常數(shù)吸收） 3.2一階線性方程一階線性方程其中，為已知函數(shù)，該方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為作代換以此作為原方程的解，代入原方程得從中解出，進(jìn)而完成原方程求解。例1 求方程的通解 解：原方程不是未知函數(shù)y的線性微分方程，但我們可將它改為 即： 首先求出齊次線性微分方程的通解為： 其次，利用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解，把c看成，微分得到： ，代入得到，積分之，即可求得，通解為：（c為常數(shù)）3.3 一些特殊類(lèi)型的一階常微分方程（1）形如的方程（其中是已知實(shí)數(shù)），作變量代換，可將方程化為分離變量

7、方程，將代入方程，整理后可得：，這已是分離變量方程，形如的方程通常是指標(biāo)為的廣義齊次方程。例1 解方程解： 將，分別看做，次變量時(shí)，要使方程左端是齊次式，則應(yīng)滿(mǎn)足：，解得，因此原方程是指標(biāo)為的廣義方程齊次方程。令，則代入原方程整理得，分離變量，再積分，整理得：代回原變量，得原方程的通解：（c為常數(shù)）（2）一階隱式微分方程 一階隱式微分方程的一般式可表示為，如果能從方程中解出導(dǎo)數(shù)，其表達(dá)式為，則可依靠的具體形狀如何而選擇適當(dāng)?shù)哪骋环椒ㄟM(jìn)行求解。以下我們將討論四種形式： 討論形如的方程的解法，這里假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)引進(jìn)參數(shù)，則變?yōu)椋瑢?duì)兩邊x求導(dǎo)數(shù)并以代入，得到 若求得式通解形如為，將它代入得到

8、這就是的通解。若求得式通解形式為，則得到參數(shù)形式的通解為其中p是參數(shù)，c是任意常數(shù)。若求得式的通解形式為，則得到的參數(shù)形式的通解為：其中p是參數(shù)，c為任意常數(shù)。例1 求方程的解 解：解出y，并令，得到，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到，即 ，當(dāng)時(shí)，上式乘以p得到 ，積分之，注意中間一項(xiàng)，得到： 解出x，得到，將它代入，得： 因此，得到方程的參數(shù)形式的通解：,形如的方程的求解方法與的方法完全類(lèi)似，這里假定函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例2 求解上面的方程 解：解出x，并以代入，得到對(duì)y求導(dǎo)數(shù)得;或：，積分之，即有因而，代入方程，求得，所以方程的通解為：現(xiàn)討論形如的方程的解法 記，從幾何的觀點(diǎn)看，代表oxp平面上的一條曲

9、線，設(shè)把這曲線表為適當(dāng)?shù)膮?shù)形式，這里t為參數(shù)，再注意到，沿方程的任何一條積分曲線上恒滿(mǎn)足基本關(guān)系把代入上式得，兩邊積分得到，于是得到方程的參數(shù)形式的通解為，c 為任意常數(shù)。例3 求方程（這里） 解：令，則由方程得，從而：，于是：，積分之，得到，因此，方程的通解表成參數(shù)形式：，（c為任意常數(shù)） 形如的方程，其求解方法同的求解方法類(lèi)似。 例4求方程解：令，則與原微分方程消去后，有，由此得，并且，這是原微分方程的參數(shù)形式，因此，積分之，得到，于是求得方程的參數(shù)形式的通解為消去t得:(c為任意常數(shù))3.4伯努利（bernoulli）方程形如的方程，其中為x的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)。利用變量變換可將伯努利微

10、分方程化為線性微分方程，事實(shí)上，對(duì)于，用乘方程的兩端得到，引入變量變換： 從而 將代入得到這是線性微分方程，可按上面介紹的方法求解。例1求方程的通解 解：這是時(shí)的伯努利方程，令，算得：，代入原方程得： 這是線性微分方程，求得它的通解為：，代回原來(lái)的變量y，得到：或（c為任意常數(shù)）這就是原方程的通解。方程還有解。3.5 黎卡提（riccati）方程 在一般情形下不能用初等積分法解出，若已知它的一個(gè)特解為，則作變換代入原方程化為以z為未知函數(shù)的bernoulli方程，從而可對(duì)bernoulli形式的方程用初等積分法求解。 例1 求方程的通解。 解： 根據(jù)上述條件取，對(duì)方程作變換，代入得解得，故原方

11、程的通解為：（c為任意常數(shù)）3.6 非齊次線性微分方程 我們討論如下的n階非齊次線性微分方程： 其中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。例1 求方程的通解，已知它的對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的基本解組為 解：令，將它代入方程，則可得決定和的兩個(gè)方程： 及解得：，由此，于是原方程的通解為：（其中為任意常數(shù)）3.7 變系數(shù)齊次方程眾所周知，當(dāng)今高階變系數(shù)線性微分方程仍沒(méi)有一般的解法，獲得解析是很困難的，甚至是不可能的，因此，下面我們只研究二階，三階變系數(shù)線性方程。二階變系數(shù)線性方程：其中是x的連續(xù)函數(shù)，二階變系數(shù)線性方程作變換這里的是待定函數(shù)化為化為常數(shù)方程的條件是（c為常數(shù)） 例1 求方程的通解。 解：將原方程變

12、為則為常數(shù)，故令代入得，可求得其通解為代回原變量y得原方程的通解： 三階變系數(shù)方程：（為常數(shù)），三階變系數(shù)方程作變換化為常系數(shù)方程的條件是 例2 求方程的通解。 解：對(duì)方程作三角變換，根據(jù)上述條件知于是原方程化為常系數(shù)方程可求得方程的通解為：3.8 高階微分方程一般的高階微分方程沒(méi)有普遍的解法，處理問(wèn)題的基本原則是降階，利用變換把高階微分方程的求解問(wèn)題化為較低階的方程來(lái)求解，下面討論二類(lèi)特殊方程的降階問(wèn)題，n階微分方程一般的可寫(xiě)為方程不顯含未知數(shù)x，或更一般地，設(shè)方程不含即方程呈形狀若令則方程即降為關(guān)于y的階方程，如果能夠求得方程的通解：即，再經(jīng)過(guò)k次積分得：其中為任意常數(shù)，可以驗(yàn)證這是方程的

13、通解。例1求方程的解。 解：令，則方程化為，這是一階方程，積分后得即于是其中為任意常數(shù)。不顯含自變量t的方程: 若令，并以它為新未知函數(shù)，而視x為新自變量，則方程就可降低一階。例2 求解方程 解：令，直接計(jì)算可得，于是原方程化為：得或，積分后得，即，所以這就是原方程的解。四、變量變換的優(yōu)越性通過(guò)以上對(duì)幾類(lèi)常微分方程的分析，不難看出，分離變換和變量代換的結(jié)合使用，是求解微分方程的重要方法之一，而恰當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q又可以使方程簡(jiǎn)化，或是將多元一元化，或是將高階低階化，使方程形式變的相對(duì)簡(jiǎn)單，求解相對(duì)容易。因此，我們?cè)谇蠼馕⒎址匠虝r(shí)，應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)，具體問(wèn)題具體分析，將方程化為易于求解的類(lèi)型。結(jié)束語(yǔ)從

14、以上所舉微分方程實(shí)例可以看出，變量變換在求解方程過(guò)程中起著十分重要的作用，不僅對(duì)于一階微分過(guò)程如此，對(duì)于線性微分方程來(lái)說(shuō)，變量變換同樣有著非常廣泛的作用。例如，在研究電路理論和自動(dòng)控制理論時(shí)，所建立的模型多數(shù)是常系數(shù)線性微分方程，為了把復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的計(jì)算，常常采用變換法。它能把微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，能把常系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行處理，從而可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。 綜上，求解某些微分方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)，具體問(wèn)題具體分析，將方程化為易于求解的類(lèi)型參考文獻(xiàn) 1王高雄, 周之銘等.常微分方程m . 北京: 高等教育出版社, 1982. 2 劉瓊 一類(lèi)二階變系數(shù)微分方程的解 j 廣西

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