數(shù)學物理方法1經(jīng)典實用

1、數(shù)學物理方法1數(shù)學物理方法1數(shù)學物理方法1 復變函數(shù)論復變函數(shù)論 微分微分 積分積分 柯西積分定理柯西積分定理 柯西積分公式柯西積分公式 解析函數(shù)的無限次可微性 柯 西不 等式 圓域內(nèi)圓域內(nèi)泰勒泰勒級數(shù)級數(shù) 環(huán)域內(nèi)的環(huán)域內(nèi)的羅朗級數(shù)羅朗級數(shù) 留數(shù)定理留數(shù)定理 留數(shù)和定理留數(shù)和定理 輻角原理 莫勒納定理 劉維爾定理 最大模原理 平 均值 公式 三 類典 型實 積分 的計算 傅里葉積分傅里葉積分變換變換 拉拉普拉斯普拉斯積分積分變換變換 數(shù)學物理方法1數(shù)學物理方法1數(shù)學物理方法1數(shù)學物理方法1數(shù)學物理方法1數(shù)學物理方法1 數(shù)學物理方法是理工科類專業(yè)的一門重要基礎數(shù)學物理方法是理工科類專業(yè)的一門重要

2、基礎課，既是數(shù)學課程，又是物理課程，其教學目的課，既是數(shù)學課程，又是物理課程，其教學目的是進一步系統(tǒng)的提高和培養(yǎng)學生建立數(shù)理模型，是進一步系統(tǒng)的提高和培養(yǎng)學生建立數(shù)理模型，解決物理問題的能力。是用數(shù)學知識解決物理問解決物理問題的能力。是用數(shù)學知識解決物理問題的方法，首先先從數(shù)學知識開始講起題的方法，首先先從數(shù)學知識開始講起。引言引言數(shù)學物理方法1數(shù)學物理方法11-1 復數(shù)基本運算復數(shù)基本運算一、復數(shù)的表示法一、復數(shù)的表示法注意：復數(shù)的虛部是一個實數(shù)注意：復數(shù)的虛部是一個實數(shù)一個復數(shù)的共扼一個復數(shù)的共扼通常記做通常記做*zz或（物理學中常用中常用z z* *表示）表示）數(shù)學物理方法121322(

3、 , )here, 1 1, cre( )im( )|arg 2arg (cos szxiyx yiiiiizxzyzrxyzzzkzzri : ， 顯然 可表示表示二維平面上的一個點，該平面被稱為復平面，一般用 表示 ： 實部和虛部分別相等： | 模 輻角： 輻角的主值：復數(shù)其它表示 ：復數(shù)相等實部虛部定義in )ire2.復數(shù)的幾何表示復數(shù)的幾何表示 實數(shù)組實數(shù)組(x,y)(x,y)與平面直角坐標系上的點與平面直角坐標系上的點 一一對應一一對應. .因此因此, ,復數(shù)復數(shù)z z也與也與平面直角坐標系上的點一一對應平面直角坐標系上的點一一對應, ,這樣的平面叫做復平面。兩個坐標這樣的平面叫做

4、復平面。兩個坐標軸分別叫做實軸和虛軸。軸分別叫做實軸和虛軸。 （具體圖示參看課本具體圖示參看課本）數(shù)學物理方法1主值主值argz的范圍的范圍(z=x+iy)：argz=arctg,0,00,arctg0arctgarctg0,0(yyyxxyyyxx當x（z在第一象限）;y 或者2 ，當xz在第四象限）,0,02y 當x（在坐標軸上）arctg,0,00,0yyxy當x（z在第二象限） 當x（z在第三象限）,0,0y當x其中arg22ytgx補充內(nèi)容補充內(nèi)容幅角幅角應注應注意的意的問題問題數(shù)學物理方法13.復數(shù)的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)表示復數(shù)的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)表示cossinieisin2iie

5、eicossinieicos2iiee數(shù)學物理方法1二、復數(shù)運算規(guī)則二、復數(shù)運算規(guī)則1. 復數(shù)的基本運算如果復數(shù)z的實部和虛部都等于零, 則復數(shù)等于零，記作 z=0。圖示具體見教案圖示具體見教案數(shù)學物理方法12. 復數(shù)的運算法則復數(shù)的運算法則數(shù)學物理方法11212()()111 21 2221 2121 21212121212,.,arg()argarg/,arg(/)argargiizrzz zrr ezezrz zzzz zzzzzzzzzzz共扼復數(shù)的性質(zhì)：111212121222,.,zzzzzzz zz zzz222.re( )im( )z zzzz2re( ),2 im( )zzz

6、 zziz復數(shù)的乘法與除法的代數(shù)形式與指數(shù)形式的計算總結(jié)復數(shù)的乘法與除法的代數(shù)形式與指數(shù)形式的計算總結(jié)*112112212122112*22222222222()()()()()zz zxiyxiyx xy yi x yx yzzz zxiyxiyxy12112212121221()()()zz zxiyxiyx xy yi x yx y可見復數(shù)的乘除法用指數(shù)形式方便數(shù)學物理方法13.復數(shù)的乘冪與方根復數(shù)的乘冪與方根(重點重點)具體見下頁用指數(shù)形式求解用指數(shù)形式求解數(shù)學物理方法111(cossin ),(cossin )(cossin)(cossin )2,coscos ,0, 1, 2,01

7、2nnnnnzriuiuzuzninrikrnrkn 設即即不難驗證，當k ， ， ， n-1時，存在n個幅角不同的方根，當k取其它值時，所得方根是這n個不同方根中的一個。 如果在復平面上畫出這n個不同方根,它們就是以原點為中心,以r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點 .1121(2)22(cossin)kiiknnnnnkkzrer erinnk=0,1,2.n-1數(shù)學物理方法1for example!38求的根解：1、先把代數(shù)式化為指數(shù)式因為-1的輻角為，而模為8。2、根據(jù)公式可得123331388228 (cossin),(0,1,2)33kiekkik 381302sin)2()

8、13221,2sin)2553,2sin)2sin)132()1322iiikikiiii 123因此的三個根為k ，z（cos33z （cosz（cos（cos3333333811求， ，的三個根數(shù)學物理方法14、方根的圖示、方根的圖示ie5圖示為z =數(shù)學物理方法1三、例題三、例題1、2、3、4見課本見課本38i求的根數(shù)學物理方法1在實變函數(shù)微積分學中的在實變函數(shù)微積分學中的只是一個符號而已只是一個符號而已。而復球面上的無窮遠點復球面上的無窮遠點 卻是一個完全確定的點，卻是一個完全確定的點，并且只有一個無窮遠點并且只有一個無窮遠點。補充一些內(nèi)容補充一些內(nèi)容具體見課本具體見課本數(shù)學物理方法1

9、數(shù)學物理方法1復數(shù)的無窮遠點復數(shù)的無窮遠點數(shù)學物理方法1本節(jié)總結(jié)與注意1、掌握書上的例題，并且會舉一反三。例題1要根據(jù)復數(shù)的模的基本性質(zhì)證明。例題2要記住結(jié)論。例題3此類題目用z=x+iy代入方程化簡即可。22zz與 的區(qū)別222.zzzz zz是復數(shù)z的模r的平方是復數(shù) 的自乘，即3、2、復數(shù)的冪和根式的求法（見例題4） 重點內(nèi)容重點內(nèi)容 首先要求把復數(shù)的代數(shù)形式化為極坐標形式，找出模與幅角的主值。數(shù)學物理方法1一、復變函數(shù)的定義一、復變函數(shù)的定義畫圖說明數(shù)學物理方法1 以某點z0為圓心,以任意小的正實數(shù)為半徑的圓的內(nèi)部，稱為z0 的鄰域。鄰域。 二、復平面上的區(qū)域二、復平面上的區(qū)域 點z的

10、集合不包含點z0,叫做點z0的去心鄰域去心鄰域. 具體見課本與教案要畫圖說明數(shù)學物理方法1三、單與復連通區(qū)域三、單與復連通區(qū)域“有洞”“無洞”畫圖說明畫圖說明單連通區(qū)域可以經(jīng)過變形而縮成一點，而多連通區(qū)域就不具有這個特征。數(shù)學物理方法1abc復連通區(qū)域單連通化（補充）數(shù)學物理方法1區(qū)域的判斷方法及實例分析區(qū)域的判斷方法及實例分析(補充補充)數(shù)學物理方法10lim( )zzf za(1)、定義：去心鄰域去心鄰域四、復變函數(shù)的極限四、復變函數(shù)的極限f(z)數(shù)學物理方法1 解釋一下作業(yè)題數(shù)學物理方法100000000000000lim ( , )re1) lim( )lim ( , )imlim (

11、 )( )lim( )2) lim( ) ( )lim( )( )lim, 0( )xxxyzzxxxyzzzzzzzzzzu x yauf zauivv x yavf zg zabf zaf z g zabg zbf zabg zb(2)、復變函數(shù)極限的基本定理、復變函數(shù)極限的基本定理復變函數(shù)與二元實變函數(shù)極限的區(qū)別在于復變函數(shù)復變函數(shù)與二元實變函數(shù)極限的區(qū)別在于復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中包含兩個二元實變函數(shù)中包含兩個二元實變函數(shù)u(x,y)和和v(x.y).因此有下面的定理因此有下面的定理:求復變函數(shù)的極限就是求兩個二元實變函數(shù)的極限求復變函數(shù)的極限就是求兩個二元實變函數(shù)的極限,因此具有相同的因此具有相同的幾何意義幾何意義. 因此可以證明因此可以證明,在存在極限在存在極限limz-z0f(z)=a, limz-z0g(z)=b的的條件下條件下, 下列極限運算法則對復變函數(shù)的極限運算也成立下列極限運算法則對復變函數(shù)的極限運算也成立:具體證明見課本數(shù)學物理方法1五、復變函數(shù)的連續(xù)五、復變函數(shù)的連續(xù)數(shù)學物理方法10000000000lim