概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 二維隨機(jī)變量及其分布PPT課件

1、第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量如果由兩個(gè)變量所組成的有序數(shù)組（），它的取值是隨著試驗(yàn)結(jié)果而確定的，則稱（）為二維隨機(jī)變量，稱（）的取值規(guī)律為二維分布。二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)第1頁(yè)/共40頁(yè)二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)()是二維隨機(jī)變量，() R2, 則稱F(x,y)=P x, y為()的分布函數(shù)，或與與的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)的性質(zhì)第2頁(yè)/共40頁(yè)三、分布函數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)于任意x,y R，有0F(x,y)1。（2）F(x,y)關(guān)于x（或y）單調(diào)不減。（3）F(x,y)關(guān)于x（或y）右連續(xù)。（4）F(-,-)0，F(xiàn)(+,+)1 F(-,y)0，F(xiàn)(x,-)0（5）對(duì)于任意x1x

2、2，y1y2有P(x1x2,y1y2) =F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1)例題1第3頁(yè)/共40頁(yè)例題1設(shè)()的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，其中x,y R。求常數(shù)A，B，C。解：back)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFyxyx1)2)(2(CBA)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFxx0)arctan)(2(yCBA)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFyy0)2)(arctan(CxBA2122ACB第4頁(yè)/共4

3、0頁(yè)第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量如果二維隨機(jī)變量()所有可能取的數(shù)組是有限或可列的，并且以確定的概率取各個(gè)不同的數(shù)組，則稱()為二元離散型隨機(jī)變量。()分布律第5頁(yè)/共40頁(yè)()的聯(lián)合分布律y1yjx1p11p1jxipi1pij第6頁(yè)/共40頁(yè)設(shè)()的所有可能取值為(xi,yj)，其中i,j=1,2,稱為()的聯(lián)合概率分布，也簡(jiǎn)稱概率分布。（1）0Pij1（2）i ij j Pij=1=1, 2 , 1,),(jipyxPijji例題2第7頁(yè)/共40頁(yè)例題2一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫磺?。設(shè)每次取球時(shí)，袋中各球被取

4、到的可能性相同。以,分別記第一次和第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字。求（1）(,)的分布律（2）P()解: (1)back1/31/321/30121P(=1,=1)=P(=1,=2)=P(=1)P(=1|=1)=0P(=1)P(=2|=1)=1/3。第8頁(yè)/共40頁(yè)例題2一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫磺?。設(shè)每次取球時(shí)，袋中各球被取到的可能性相同。以,分別記第一次和第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字。求（1）(,)的分布律（2）P()解: (2)back1/31/321/30121P()=P(=1,=1)+P(=2,=1)+ P(=2,=2) =

5、2/3第9頁(yè)/共40頁(yè)第三節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)()的分布函數(shù)為F(x ,y),若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,y 有則稱()為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y) 為()的聯(lián)合概率密度函數(shù)（聯(lián)合密度函數(shù)) 。 xydvduvufyxF),(),(聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)第10頁(yè)/共40頁(yè)二、聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)),(),(F),(),()4(),(),()3(1),()2(0),() 1 (2yxfyxyxyxfyxFdxdyyxfDPdxdyyxfyxfD 的邊續(xù)點(diǎn)處有為連續(xù)函數(shù)，且在例題3第11頁(yè)/共40頁(yè)例題31.設(shè)()的聯(lián)合概率密度為求（1）常數(shù)C（2）P

6、()解：（1）其它00, 0),()42(yxceyxfyx例題3續(xù) dxdyyxf),( 00)42(dxdyceyx180042cdyecedxyxC=8第12頁(yè)/共40頁(yè)例題31.設(shè)()的聯(lián)合概率密度為求（1）常數(shù)C（2）P()解：（2）其它00, 0),()42(yxceyxfyx例題3續(xù) yxdxdyyxfP),()(00)42(8xyxdyedxdxeexyx00424183/2220602dxedxexx第13頁(yè)/共40頁(yè)例題3續(xù)2.設(shè)(，)的聯(lián)合概率密度為求（1）常數(shù)k解（1）其他, 0, 10 ,0,),(yyxkxyyxfy = x10 xy10,0),(yyxyxD1),

7、( dxdyyxf182102100kdyyykkxydxdykxydxdyyD8k第14頁(yè)/共40頁(yè)(2) ) 1(Px+y=1y = x10 xy0.5x+y=1y = x10 xy15 . 01188yyyxxydxdyxydxdy. 6/ 5y = x10 xy0.5)5 . 0(P5 . 0015 . 088xxxydydxxydxdy.16/7第15頁(yè)/共40頁(yè)（3）F(x,y)=P(x,y)420142204028),(1)28),(1)8),(0)0),(0)10)2xxxydydxyxFyivxyxxydydxyxFyxiiiyxydydxyxFxyiiyxFyixxxxyx

8、yyx若0),(, 0) 1yxFx若1),(1)8),(10)0),(0)1)340yxFyiiiyxydydxyxFyiiyxFyixyyx若第16頁(yè)/共40頁(yè)F (x,y) =0, x 0 或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x ， 或x 1, 0 y 1，2x2y2y4, 0 x 1, x y 1，2x2x4 , 0 x 0，-12 )（3）() 在平面上的落點(diǎn)到y(tǒng) 軸距離小于0.3的概率。解：（1）back其他, 010 ,0, 2),(xxyyxf第20頁(yè)/共40頁(yè)例題4()U(G)，G=0yx，0 x 1 求（1）f( x, y )（2）P(2 )（3）() 在平面上的落點(diǎn)

9、到y(tǒng) 軸距離小于0.3的概率。解：（2）backy=x10 xy1Gy = x2102222xxxydydxdxdy. 3/ 1)(2P第21頁(yè)/共40頁(yè)例題4()U(G)，G=0yx，0 x 1 求（1）f( x, y )（2）P(2 )（3）() 在平面上的落點(diǎn)到y(tǒng) 軸距離小于0.3的概率。解：（3）back3 . 03 . 02) 3 . 03 . 0() 3 . 0|(|xdxdyPP09. 02/1)3 . 0(212y = x10 xy10.3第22頁(yè)/共40頁(yè)第四節(jié)邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)設(shè)F(x,y)為()的聯(lián)合分布函數(shù)，關(guān)于的邊緣分布函數(shù)P(x)=P(x,+)=F(x),其中

10、xR關(guān)于的邊緣分布函數(shù)P(y)=P(+,y)=F(y),其中yR例題5),(limyxFy),(limyxFx第23頁(yè)/共40頁(yè)例題5設(shè)()的聯(lián)合分布函數(shù)為求F(x)和F(y)。解：)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF邊緣分布律)()(xPxF),(xP),(limyxPyxxyxFy)arctan2(1),(limyyyxFx)arctan2(1),(lim同理第24頁(yè)/共40頁(yè)二、（離散型）邊緣分布律設(shè)()的聯(lián)合分布律為P(=xi,=yj)=Pij（i,j=1,2,）關(guān)于的邊緣分布律P(=xi)= P(=xi,+)=jPij =Pi.關(guān)于的邊緣分布律P(=yj)= P(

11、+,=yj)=iPij =P.j例題6第25頁(yè)/共40頁(yè)例題6箱子裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品。每次從中任取一件產(chǎn)品（不放回），共取2次。求（1）()的聯(lián)合分布律（2）關(guān)于的邊緣分布律解：（1）第二次取出次品第二次取出正品第一次取出次品第一次取出正品10101P.j10Pi.10 97108921081089810291102102108102第26頁(yè)/共40頁(yè)例題6箱子裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品。每次從中任取一件產(chǎn)品（不放回），共取2次。求（1）()的聯(lián)合分布律（2）關(guān)于的邊緣分布律解: (2)第二次取出次品第二次取出正品第一次取出次品第一次取出正品1010邊緣密度函數(shù)01P8/102

12、/10第27頁(yè)/共40頁(yè)三、（連續(xù)型）邊緣密度函數(shù)設(shè)()的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，關(guān)于的邊緣分布函數(shù)關(guān)于的邊緣密度函數(shù))(),(),()(RxdxdyyxfxPxFx )(),()(Rxdyyxfxf例題7第28頁(yè)/共40頁(yè)例題71.()U(G) ，G0 x1,|y|x,求（1）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（1）back其他0|101),(xyxyxf第29頁(yè)/共40頁(yè)例題71.()U(G) ，G0 x1,|y|x,求（1）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（2）backdyyxfxf),()(其他其他01020101xxxdyxx第30頁(yè)/共40頁(yè)例題71.()

13、U(G) ，G0 x1,|y|x,求（1）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（3）backdxyxfyf),()(其他其他0011101001110111yyyyydxydxyy第31頁(yè)/共40頁(yè)例題72. () N(1,2,12,22; )，則（1）f(x) N(1,12)（2）f(y） N(2,22)解：略back第32頁(yè)/共40頁(yè)一、隨機(jī)變量的獨(dú)立性（二維）r.v.，如果對(duì)于任意的x和y， P(x,y)=P(x）P（y)，即， F(x,y)=F(x)F(y)，則稱和獨(dú)立。離散型：和獨(dú)立Pij=Pi Pj(i,j=1,)連續(xù)型：和獨(dú)立f(x,y)= f(x)f(y)例題8第五節(jié)隨

14、機(jī)變量的獨(dú)立性第33頁(yè)/共40頁(yè)例題81.（）的聯(lián)合分布律證明與獨(dú)立。證明：-10202/201/202/2012/201/202/2024/202/204/20012P1/4 1/4 2/4-102P2/5 1/5 2/5因?yàn)镻ij=Pi.*P.j，所以與獨(dú)立第34頁(yè)/共40頁(yè)例題8續(xù)2.（）的聯(lián)合分布函數(shù)為證明與獨(dú)立。證明：)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF例題8續(xù)),(lim)(yxFxFy)arctan2(1x),(lim)(yxFyFx)arctan2(1y)()(),(yFxFyxF所以與獨(dú)立第35頁(yè)/共40頁(yè)3.（）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為試判斷與是否獨(dú)立。解：其它010 , 104),(yxxyyxfdyyxfxf),()(其他其他0102010410 xxxxydydxyxfyf),()(其他其他0102010410yyyxydx)()(),(yfxfyxf所以與獨(dú)立第36頁(yè)/共40頁(yè)二、隨機(jī)變量的獨(dú)立性