多元函數(shù)微分法

1、第三節(jié)第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分).(.)(),(,)(),(lim)(),(0, 00, 000, 00000, 000yxfxzxyxmyxfzxyxfyxxfyxmyxfzxmx或或記記為為的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)處處對(duì)對(duì)在在則則稱稱此此極極限限為為存存在在的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè) :)(),(0,00的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為處處對(duì)對(duì)在在同同樣樣地地，yyxmyxfz yyxfyyxfyxfyzyym )(),(lim)(0,00000,003.1 3.1 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義定義3.13.1.,),(),(),(),(yxyxffyzxzzyxyxfyxfdyxfz

2、或或記記為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)它它們們均均為為上上的的每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域若若 處處可可偏偏導(dǎo)導(dǎo)。在在點(diǎn)點(diǎn)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱的的與與對(duì)對(duì)處處同同時(shí)時(shí)存存在在對(duì)對(duì)在在點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)00,00),()(),(myxfyxyxmyxfz xyxzuxyzyeyxxzyzxz )3(;arctan)2( ;2)1( :,323求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)例例1 1xxeyxyzyexyxxz 22326 ,43)1(:解解11;ln ;lnln)3( xxxyxxyxyzyzuxyzzyuyyzzxu2222222 ;)(11)2(y

3、xxyzyxyxyxyxz ).0 ,0(),0 ,0()2(.)0 ,0(),()1( )0 ,0(),( 0)0 ,0(),( ),(422yxffyxfyxyxyxxyyxf求求的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論設(shè)設(shè) .)0,0(),(.lim),(lim)1(:422)0,0(),()0,0(),(點(diǎn)點(diǎn)不不連連續(xù)續(xù)在在不不存存在在由由第第二二節(jié)節(jié)例例知知解解yxfyxxyyxfyxyx 0)0,0(),0(lim)0,0(0)0,0()0,(lim)0,0().2(00 yfyffxfxffyyxx例例2 2函函數(shù)數(shù)中中，可可導(dǎo)導(dǎo)必必連連續(xù)續(xù)。在在該該點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)。而而在在一一元元不不能能保

4、保證證在在一一點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在二二元元函函數(shù)數(shù)),( ),(yxfyxf:偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義.)(,( ),(:),(0,00,00000軸軸的的斜斜率率處處的的切切線線對(duì)對(duì)在在點(diǎn)點(diǎn)表表示示曲曲線線yyxfyxmxxyxfzyxfy .)(,( )(:)(0,00,0000,0軸軸的的斜斜率率處處的的切切線線對(duì)對(duì)在在點(diǎn)點(diǎn)表表示示曲曲線線xyxfyxmyyx,yfzyxfx xyz),(yxnyxmxt),(yxfz yt3.2 3.2 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) )(),()(),(y 22yzxyxfxyzxzyyxfxzyxxy .,., 階

5、階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)以以及及四四階階類類似似地地定定義義三三階階n)(),(y )(),( 2222yzyyxfzxzxyxfxzyyxx 二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).,),0(),(222222yzxzxyzyxzxxyxfzy 求求設(shè)設(shè)xyzxyxxyxzxxyzxxyzxyyxzyxxzyyyyyy 21122222221ln )(ln,ln )1(,:解解例例3 30 1222222222 zuyuxuzyxu滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程證證明明25222222252222322222)(2 2)(23)(1 zyxzyxxzyxxzyxxu 例例4 4 )( 2)(21:2322223222

6、zyxxxzyxxu 證證明明25222222222522222222)(2 , )(2 :zyxxyzzuzyxxzyyu 同同樣樣可可得得0222222 zuyuxu0)0 , 0()0, 0(lim)0 , 0( 0)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(:00 yfyffxfxffyyxx解解 (0,0).(0,0),0 00 ),(2222223yxxyffyxyxyxyxyxf求求 22223522232422)(2),( ,)(3),(,0yxyxxyxfyxyxyxyxfyxyx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例5 5,5,32222xyyyxyxyyyxy 中中例例而而中中例例?么么條條

7、件件混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相等等需需要要什什00lim )0,0(),0(lim)0,0(00 yyfyffyxxyxy )0 , 0()0 , 0(1lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00yxxyxyyxyxffxxxfxff . ),(),(,),( ),(),(),(:1 . 3關(guān)關(guān)即即與與求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的次次序序無無則則有有處處連連續(xù)續(xù)存存在在，且且在在點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)若若定定理理yxfyxfyxyxyxfyxfxyyxyxxy 10 ),( ),(),( ),(),(),( ),(),( ),(),(:11 yyyxyxyyxfyxfyxxfyxy

8、xfyxxfyyxfyyxxffy則則設(shè)設(shè)證證明明 10 ),( ),(),( 21211 yxyyxxfyyyxfyyxxfyxyy),(),( :0, 0, ),(),( 1,0 ),( : 43424343yxfyxfyxffyyxxfyyxxfyxyyxxffyxxyyxxyxyyxxy 得得令令連連續(xù)續(xù)由由于于同同樣樣可可得得 定義定義 3.23.23.3 全微分全微分),(),(yxfyyxxfz :),(),( 處的全增量處的全增量在在yxyxfz , )()(),(),( ),(),(22有有關(guān)關(guān)而而與與無無關(guān)關(guān)與與其其中中的的全全增增量量可可表表示示為為在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果yxy

9、xyxoyxyxfyyxxfzyxyxfz yxdzdzyxyxfzyxyxyxfz ,),(),(,),(),( 即即記為記為的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)為為處可微處可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱如果函數(shù)如果函數(shù)f在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)處處可微，則稱內(nèi)處處可微，則稱f為為區(qū)域區(qū)域d內(nèi)內(nèi)可微函數(shù)?？晌⒑瘮?shù)。yyzxxzdz 則則可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)必必要要條條件件定定理理,),(),()(2yxyxfz 且且處處存存在在偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在,),(),()2(yzxzyxyxf ;),(),()1(處處連連續(xù)續(xù)在在yxyxf),(),(lim)()(),(),(),(),()1()0,0(),(22yxfyy

10、xxfyxoyxyxfyyxxfzyxyxfzyx 處處可可微微在在證證明明處處連連續(xù)續(xù)在在),(),(yxyxf )(lim),(),(lim 00 xxoxyxfyxxfxzxx于于是是處處可可微微在在),(),(),(),(),(),(),(),()2(yoyyxfyyxfxoxyxfyxxfyxyxfz )(lim),(),(lim 00yyoyyxfyyxfyzyy由于自變量的微分等于自變量的改變量由于自變量的微分等于自變量的改變量, ,即即,d ,dyyxx 從而全微分可寫成從而全微分可寫成可微可微連續(xù)和可偏導(dǎo)連續(xù)和可偏導(dǎo)可微可微可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)? ?dyyzdxxzdz .)0 ,

11、0(),(),0 , 0(),0 , 0(00 0sin),(222222處處的的可可微微性性在在并并討討論論求求設(shè)設(shè)yxfffyxyxyxyxyxfyx 0000lim)0 , 0(), 0(0lim)0 , 0( 0000lim)0 , 0()0 ,(0lim)0 , 0(: yyyfyfyfxxxfxfxfyx解解例例6 622)()()sin(yxyx )0 , 0()0 ,0(fyxff 而而22)()()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyx 22)()()sin(yxyx 而極限而極限220)()()sin(limyxyx 不存在。不存在。,.,62:的的條條件件高高階階無

12、無窮窮小小是是比比加加上上必必須須再再但但它它并并不不一一定定是是全全微微分分表表達(dá)達(dá)式式當(dāng)當(dāng)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在時(shí)時(shí)可可得得到到而而非非充充分分條條件件要要條條件件偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在是是可可微微的的必必知知及及例例由由定定理理注注 yyzxxzzdzyyzxxz 才能保證全微分存在，且才能保證全微分存在，且yyzxxzdz 定理定理3.3（充分條件）（充分條件） .,在在該該點(diǎn)點(diǎn)可可微微則則函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)若若fyxmyzxzyxfz 0,1010,:2121 yyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyxyx證證明

13、明 yxyyxfxyxfyx , ;0;0lim,0lim;002222 oyxyxyyxxyx又又而而由定義知，由定義知，f 在在m點(diǎn)可微。點(diǎn)可微。 處處在在求求全全微微分分2, 12)2( )1(:34xyxzezyx dydxdzyzxzyxyzyxxzdyxedxyedzyxyx123412,34:2, 13,242 1:)2,1(2433 處處在在解解例例7例例8處處的的全全微微分分。在在求求函函數(shù)數(shù))1 , 1 , 1()ln(2zyxu 例例 9 設(shè)二元設(shè)二元函數(shù)函數(shù)00 01sin),(22222222 yxyxyxyxyxf）（問在問在(0,0)處，處，f (x, y)的偏導(dǎo)

14、數(shù)是否存在？偏的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？f(x, y)是否可微？是否可微？解：解： 01sinlim0,00,0lim0,02200 xxxxfxffxxx同樣同樣 00,0 yf022 yx時(shí)時(shí) 不不存存在在yxfyxfyxyxyyxyyxfyxyxxyxxyxfyyxxyxyx,lim,lim1cos21sin2,1cos21sin2,0,0,0,0,222222222222 所以在一點(diǎn)可微，在此點(diǎn)所以在一點(diǎn)可微，在此點(diǎn) 偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)。 .0,0 ,0,1sin 0 ,00 ,0222222 dfyxfyxoyxyxyfxffyx且且可可微微在在

15、而而f 的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) f 可微可微f 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在存在( (可導(dǎo)可導(dǎo)) )f 連續(xù)連續(xù)幾個(gè)概念之間的關(guān)系見下圖：幾個(gè)概念之間的關(guān)系見下圖：與一元函數(shù)類似，多元函數(shù)的微分運(yùn)算法則：與一元函數(shù)類似，多元函數(shù)的微分運(yùn)算法則：設(shè)設(shè)f(x,y),g(x,y)是可微函數(shù)，則：是可微函數(shù)，則：; 0),(,),(),(),(),(),(),(),()3();,(),(),(),(),(),()2();,(),(),(),()1(2 yxgyxgyxdgyxfyxdfyxgyxgyxfdyxdgyxfyxdfyxgyxgyxfdyxdgyxdfyxgyxfd多元函數(shù)的全微分也可用于近似計(jì)算

16、與多元函數(shù)的全微分也可用于近似計(jì)算與誤差估計(jì)。誤差估計(jì)。習(xí)題習(xí)題5.3(p225.3(p2223)23)作作 業(yè)業(yè)1. (3)(5)(6)(8)；2.(2)(3); 3(2); 4. (3)(4);5(2); 6; 10; 13.第四節(jié)第四節(jié) 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則4.1 復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法 yyvvzyuuzxxvvzxuuzzyxyxyxfzvuvufzyxyxvyxuddd, 且其全微分為且其全微分為微微處也必可處也必可在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則復(fù)合則復(fù)合處可微處可微在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)而而處可微處可微均在點(diǎn)均在點(diǎn)設(shè)設(shè) 定理定理4.1 yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz 故多元

17、函數(shù)有如下故多元函數(shù)有如下：按線相乘按線相乘, ,分線相加分線相加zuvxyxy 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)的的對(duì)對(duì)它稱為復(fù)合函數(shù)它稱為復(fù)合函數(shù)于是有于是有的一元函數(shù)的一元函數(shù)復(fù)合以后是復(fù)合以后是則則均分別可微均分別可微設(shè)設(shè)xzxvvzxuuzxzxxfzxxvxuvufzdddddd,1 zuuwzwyuuwywxuuwxwzyxuufw dd,dd,dd,2則有則有均可微均可微設(shè)設(shè) 幾種特殊的情形：幾種特殊的情形： yzzfyfyuxzzfxfxu，yxzzyxfu ,3則有則有均可微均可微設(shè)設(shè) 左端左端 表示復(fù)合后對(duì)表示復(fù)合后對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),xu 右端右端 表示復(fù)合前對(duì)表示復(fù)合前對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏

18、導(dǎo)數(shù),xf yzxzyxvxyuvezu ,2sin求求設(shè)設(shè))(2cos2)(2sin2cos22sin)(2cos2)(2sin2cos22sin:yxexyxyevexveyzyxeyxyevevyexzxyxyuuxyxyuu 解解例例1.,sin,cos,),( zrzryrxyxfz求求可可微微設(shè)設(shè) ryzxr :解解 sincosxzyzryyzxxzzryyzrxxzrz sincosyzxz 222222222sincos1 sincos1 yzxzxzyzrryzxzzrrz 例例2ztyuzfzuxtyfxyfxfxu :解解 ., ,),(zuxuzxttxyzyxfu

19、求求均均可可微微設(shè)設(shè) utxzyxzx是不同的是不同的與與與與注意題中注意題中zfzuxfxu ,例例3.,),2(2222xzyxzxzfxyyxfz 求求有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) ,2:2xyvyxu 設(shè)設(shè)解解vxzyuyx22yffxzvu )2(2422222yffyyffxzxxzvvvuuvuu vuvvvuuvvvuvuvuuyffyxyfxyfxyffyyfxyffxzyyxz242221222)1(22322 例例4vuff ,4222121122221244,2:, 2, 1,2,yfyffxzyffxzxyyxvu 則則有有分分別別簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為而而把把可可不不

20、引引入入符符號(hào)號(hào)為為了了書書寫寫簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單起起見見2122231122)4(22fyfyyxfxyfxyz .,21原原變變量量的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)仍仍是是一一定定要要注注意意在在求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)ff. ),sin(222yxzfyxyefzx 求求有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)xz12yxyxfyefxzx2sin21 ：解解12)cossin(2fyxyyex 221121222111211242sin21cos2cos2 cossin2cosxyfyfeyfeyfyefxyefyeyfyefxzyyxzxxxxxx 例例5.).,()2(,2yxzxyxgyxfzgf

21、求求有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)22212 22122:gxygxgfyxzyggfxz 解解例例60111222 2 2 2 2 yxuyxuxgxyfyxxgxygxxgyxfxuyyxu.,222yxuyxuxxygxyxfyugf 求求二二階階連連續(xù)續(xù)可可微微設(shè)設(shè)21:gxygfxyxgxygyyfxu 解解 2 22 221xygxygxyxygfyxu 32 1gxyfy 例例7。變變換換為為為為何何值值時(shí)時(shí)，可可使使問問設(shè)設(shè)0034,),(,),( uuuubababyxayxuuyyxyxx例例8 buubaauuubabuuauuuuuxyyyxx

22、 )(,2 ,222解解31,11,31 baba或或02446 , 0143 , 01430 0)143( )2446( )143(342222 baabbbaauubbubaabuaauuuyyxyxx變換為變換為 ijmjjinmiinnxuufxfxxxfxxufxfyxxxuuufymixxunxxx 1111, , 1 ,r,且有且有的偏導(dǎo)數(shù)均存在的偏導(dǎo)數(shù)均存在關(guān)于各個(gè)變量關(guān)于各個(gè)變量從而從而處也必可微處也必可微在在合函數(shù)合函數(shù)則復(fù)則復(fù)處可微處可微對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的在在而數(shù)量值函數(shù)而數(shù)量值函數(shù)處可微處可微在在元數(shù)量值函數(shù)元數(shù)量值函數(shù)設(shè)設(shè) 推廣到推廣到n元函數(shù)元函數(shù)一階微分形式的不變性一階

23、微分形式的不變性:,),(則則可可微微設(shè)設(shè)vufz yxyxfz, dvvzduuzdzvu 有有為為自自變變量量若若, ,yxvyxu 若若dyyzdxxzdz 有有 dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdyyvvzyuuzdxxvvzxuuzdvvzduuz 性性一一階階全全微微分分形形式式的的不不變變，均均有有：是是中中間間變變量量還還是是自自變變量量無無論論 dvvzduuzdzvu, 0,dd1d3ddd2ddd12 vvuuvvvuvuuvuvvuvu由一階微分形式不變性得：由一階微分形式不變性得： ., ,),(zuxuzxttxyzyxfu 求求均均可可微微設(shè)設(shè) 例例3 d

24、zzfdttdxxyfdxxfdzzfdyyfdxxfdu 解解：dxxtyfxyfxfdzzfdzydxxtyfdxxyfdxxf dzzfytyf zu xu 4.2 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法 yxyffxyxfxfxfyxfyyxyxfyxfyxyxfyxf dd,0,),(0,.0,3;,2; 0,1,0000000000并且并且及及它滿足它滿足函數(shù)函數(shù)了一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的了一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的的某一鄰域內(nèi)唯一確定的某一鄰域內(nèi)唯一確定在在則方程則方程導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的某鄰域中有連續(xù)的偏的某鄰域中有連續(xù)的偏在點(diǎn)在點(diǎn)滿足滿足如果二元函數(shù)如果二元函數(shù)定理定理4.2(4.2(隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理

25、) )可推廣到多元函數(shù)：可推廣到多元函數(shù)：)., 2, 1( ),( ),( ),(0),( , 0),(, 0),()2( , ),( ),(1)1(0010100101000100010001,21niffxyxxfyxxfyxxxyxxfyxxfyxxfyxxyxxxfnyxinnnnnynnni 且且滿滿足足偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)且且有有一一階階連連續(xù)續(xù)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一在在點(diǎn)點(diǎn)則則方方程程續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)域域內(nèi)內(nèi)具具有有連連的的某某鄰鄰在在點(diǎn)點(diǎn)元元函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定理定理4.1 ., ,3223yxzyzxzyxzaxyzz 求求的的函函數(shù)數(shù)是是確

26、確定定設(shè)設(shè)方方程程: : 法法一一解解例例9公式法公式法 xyzxzffyzxyzyzffxzxyzfxzfyzfaxyzzzyxfzyzxzyx22223:,33,3,3,3),(則則令令0333,033322 yzxyxzyzzxzxyyzxzz法二：法二：直接法直接法得求導(dǎo)兩邊分別對(duì),323x,yaxyzz 在在xyyxzyzxyyyzxz 22,233330z dzxydzxzdyyzdxxyyxzyzxyyyzxzdyxyzxzdxxyzyzdz 2222即即得得法三：法三：在等式兩邊求全微分在等式兩邊求全微分得：得：全微分法全微分法,0333336222 yxzxyxzxyzyzy

27、xzzxzyzz得導(dǎo)求兩邊分別對(duì), 03332偏偏在在yxzxyyzxzz 就就可可解解出出yxz 21,0),(),( yzbxzababzyazxfyxzz求求證證為為常常數(shù)數(shù)所所確確定定由由方方程程設(shè)設(shè)1,),(),(:2122112121 yzbxzabfaffggyzbfaffggxzbfafgfgfgbzyazxfzyxgzyzxzyx則則設(shè)設(shè)證證明明例例10例例11., 0, ,0),( )(),(sin),(2dxduzgfzexxzzxgyzyxfuy求求可可導(dǎo)導(dǎo)，且且階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，具具有有一一其其中中確確定定程程由由方方設(shè)設(shè) 代代入入即即可可，而而法法一一解解z

28、yzxzyxxgexdxdzxgdxdydxdzfdxdyffdxdu 21cos2 ,cos,: cos2 0cos2)(:2121221dxxgexdzdzxdxgedxxdzdexdzyzyzy 求求微微分分得得法法二二zyzyxxgexfxgffdxdu cos2cos21 dxxgexfxgffdzfdyfdxfduzyzyxzyx)cos2cos( 21 而而為為例例以以 0),(0),( vuyxgvuyxf的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能在在則則由由方方程程組組pvuyxgvuyxf 0),(0),(內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè) ),( ),

29、(),()1(0000vuyxpvuyxgvuyxf, 0|),(),(|, 0),(, 0),()2(00000000 pvuvuppggffvugfjjacobivuyxgvuyxf行行列列式式一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)唯唯一一確確定定一一組組連連續(xù)續(xù)且且具具由方程組確定的隱函數(shù)微分法由方程組確定的隱函數(shù)微分法且且滿滿足足),( ),( ),( ),( 000000yxvvyxuuyxvvyxuu ),(),(1,),(),(1,),(),(1,),(),(1yugfjyvxugfjxvvygfjyuvxgfjxu ), ., ,00:,0,0,(同同理理可可得得由由此此解解

30、得得求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對(duì)對(duì)由由于于yvyuxvxuxvgxuggxvfxuffxyxvyxuyxgyxvyxuyxfvuxvux uvxvuvvxuxvvxuxvxuux411,41202012,: 解解得得得得求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對(duì)對(duì)法法一一解解., ,00 ),(),(22yvyuxvxuyvuxvuyxvvyxuu 求求確定確定由方程組由方程組例例12uvuyvuvyuyvvyuyvyuuy412,41101202 , 解解得得得得求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對(duì)對(duì)uvudydxdvuvdyvdxdudyvdvdudxdvudu412,412:0202: 解解得得求求微微分分得得法法二二uvuy

31、vuvxvuvyuuvvxu412,411411,412 由由此此得得習(xí)題習(xí)題5.4(p345.4(p3436)36)作作 業(yè)業(yè)1.(2), 2.(3), 3.(2), 5, 6.(2), 7.(5)(6), 9, 10.(2), 11.(1), 14, 15.(1)(2), 16.(2)5.1 5.1 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)第五節(jié)第五節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度定義定義5.15.1 tyxftytxflzlzlmyxfztyxftytxflyxmyxfztmmt)()cos,cos(lim,.),(,)()cos,cos(limcos,cos,)(),(0,000000,00000,0000 即即記記為為的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)沿沿方方向向在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱此此極極限限為為存存在在，若若極極限限的的方方向向余余弦弦為為向向量量的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè) 00001,00,1mmmmyzlzjlxzlzil ，則則若若，則則特特別別，若若 coscos