空間向量與立體幾何教案

1、用空間向量法求解立體幾何問題 以多面體為載體，以空間向量為工具，來論證和求解空間角、距離、線線關(guān)系以及線面關(guān)系相關(guān)問題，是近年來高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，用空間向量解立體幾何問題，極大地降低了求解立幾的難度，很大程度上呈現(xiàn)出程序化思想。利用空間向量解決立體幾何的知識(shí)和基本求解方法一：利用空間向量求空間角(1)兩條異面直線所成的夾角范圍：兩條異面直線所成的夾角的取值范圍是 。向量求法：設(shè)直線的方向向量為，其夾角為，則有(2)直線與平面所成的角定義：直線與平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角。范圍：直線和平面所夾角的取值范圍是 。向量求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與法向量

2、所成角的余弦值為直線與平面所成的角為，則有或在平面內(nèi)任取一個(gè)向量，則.(3)二面角二面角的取值范圍是 .二面角的向量求法：方法一：在兩個(gè)半平面內(nèi)任取兩個(gè)與棱垂直的向量，則這兩個(gè)向量所成的 即為所求的二面角的大??；方法二：設(shè)，分別是兩個(gè)面的 ，則向量與的夾角(或其補(bǔ)角)即為所求二面角的平面角的大小。題型1：異面直線所成的角例1、已知正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)e為棱ab的中點(diǎn)。求：d1e與平面bc1d所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆゛1b1c1d1abcdexyz解析：建立坐標(biāo)系如圖，則、，。不難證明為平面bc1d的法向量， 。 d1e與平面bc1d所成的角的余弦值為。反思?xì)w納：將異

3、面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。題型2：直線與平面所成的角例2、（09年高考試題）如圖，直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，acb90°，側(cè)棱aa12，d、e分別是cc1與a1b的中點(diǎn)，點(diǎn)e在平面abd上的射影是abd的重心g。求a1b與平面abd所成角的大?。ńY(jié)果用余弦值表示）；gdda1c1b1cbkxyzae解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為c，設(shè)ca2a，則a(2a，0，0)，b(0，2a，0)，d(0，0，1)，a1(2a，0，2)，e(a，a，1)， g() ， ， a1， 為平面abd的法向量，且。 a1b與平面abd所成角的余弦值是。反思?xì)w納：

4、先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。題型3：二面角efo例3、（08年高考）在四棱錐pabcd中，abcd為正方形，pa平面abcd，paaba，e為bc中點(diǎn)。（1）求平面pde與平面pab所成二面角的大?。ㄓ谜兄当硎荆?；（2）求平面pba與平面pdc所成二面角的大小。解析：（1）延長(zhǎng)ab、de交于點(diǎn)f，則pf為平面pde與平面pad所成二面角的棱，pa平面abcd，adpa、ab, paab=ada平面bpa于a，過a作aopf于o，連結(jié)od，則aod即為平面pde與平面pad所成二面角的平面角。易得，故平面pde與平pad所成二面角的正切值為；（2）解

5、法1（面積法）如圖adpa、ab, paab=a，da平面bpa于a, 同時(shí)，bc平面bpa于b，pba是pcd在平面pba上的射影, 設(shè)平面pba與平面pdc所成二面角大小為,cos=spab/spcd=/2 =450。即平面bap與平面pdc所成的二面角的大小為45°。解法2（補(bǔ)形化為定義法）如圖：將四棱錐p-abcd補(bǔ)形得正方體abcdpqmn，則pqpa、pd，于是apd是兩面所成二面角的平面角。在rtpad中，pa=ad，則apd=45°。即平面bap與平面pdc所成二面角的大小為45°。（二）、強(qiáng)化鞏固訓(xùn)練1、（2007年，北京卷高考題）如圖6，正三棱

6、柱的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱，d是cb延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且。求二面角的大小。（略去了該題的，問）2、（06四川卷）已知球的半徑是1，、三點(diǎn)都在球面上，、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)的球面距離都是，、兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是（ ）（a） （b） （c） （d）1、解析：（1）取bc的中點(diǎn)o，連ao。由題意：平面平面，平面，以o為原點(diǎn)，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系，則 ， ， ， ，由題意 平面abd， 為平面abd的法向量。設(shè) 平面的法向量為 ，則， ， ，即 。 不妨設(shè) ，由，得。 故所求二面角的大小為。7. （2007年4月濟(jì)南市）如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形abfc和高為2的直角梯形adef所在的平面互相垂

7、直且de=，ed/af且daf=90°。 （1）求bd和面bef所成的角的余弦； （2）線段ef上是否存在點(diǎn)p使過p、a、c三點(diǎn)的平面和直線db垂直，若存在，求ep與pf的比值；若不存在，說明理由。1,3,5解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論： 2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。答案：（1）因?yàn)閍c、ad、ab兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則b（2，0，0），d（0，0，2），e（1，1，2），f（2，2，0），則設(shè)平面bef的法向量，則可取，向量所成角的余弦為。即bd和面bef所成的角的余弦。 （2）假設(shè)線段ef上存在點(diǎn)p使過p、

8、a、c三點(diǎn)的平面和直線db垂直，不妨設(shè)ep與pf的比值為m，則p點(diǎn)坐標(biāo)為則向量，向量所以。 點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。二：利用空間向量求空間距離（1）點(diǎn)面距離的向量公式平面的法向量為n，點(diǎn)p是平面外一點(diǎn)，點(diǎn)m為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)p到平面的距離d就是 ，即d=.（2）線面、面面距離的向量公式平面直線l，平面的法向量為n，點(diǎn)m、pl，平面與直線l間的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d= .平面，平面的法向量為n，點(diǎn)m、p，平面與平面的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d=.（3）異面直線的距離的

9、向量公式設(shè)向量n與兩異面直線a、b都垂直，ma、pb，則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d=.題型1：異面直線間的距離例1、如圖2，正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)。求異面直線和之間的距離？分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則， ，。，。令向量，且，則，。異面直線和之間的距離為：。題型2：點(diǎn)面距離例2、如圖，已知為邊長(zhǎng)是的正方形，分別是，的中點(diǎn)，垂直于所在的平面，且，求點(diǎn)到平面的距離。解法一：連結(jié)，又，分別是，的中點(diǎn)， 。，解法二，分別是，的中點(diǎn)，到平面的距離為上任一點(diǎn)到平面的距離，于，又平面，平面，平面，平面平面，過點(diǎn)作，則平面，為到平面的距離，即到平面的距離。由解法一知：，由得

10、 。思維點(diǎn)拔：注意點(diǎn)距，線面距，面面距的轉(zhuǎn)化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法。題型3：線面距離bacd例3、已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線，d是ac的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)到直線ac的距離。（2）求直線到平面的距離。解析：（1）連結(jié)bd，由三垂線定理可得：，所以就是點(diǎn)到直線ac的距離。在中。（2）因?yàn)閍c與平面bd交于的中點(diǎn)，設(shè)，則/de，所以/平面，所以到平面bd的距離等于點(diǎn)到平面bd的距離，等于點(diǎn)到平面bd的距離，也就等于三棱錐的高。，所以，直線到平面bd的距離是。思維點(diǎn)拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。例acbpef4、如圖，已知邊長(zhǎng)為的正三角形中，、分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面過

11、且與平行。 求與平面間的距離？分析：設(shè)、的單位向量分別為、，選取，作為空間向量的一組基底。易知，=，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，直線與平面間的距離=（二）、強(qiáng)化鞏固訓(xùn)練長(zhǎng)方體abcd中，ab=4，ad=6，m是a1c1的中點(diǎn)，p在線段bc上，且|cp|=2，q是dd1的中點(diǎn)，求：（1）異面直線am與pq所成角的余弦值；（2）m到直線pq的距離；（3）m到平面ab1p的距離。解析：（1）方法一：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系bxyz，則a（4，0，0），m（2，3，4），p（0，4，0），q（4，6，2）， 故異面直線am與pq所成角的余弦值為方法二：，故異面直線am與pq所成角的余弦值為（2），上

12、的射影的模故m到pq的距離為（3）設(shè)是平面的某一法向量，則，因此可取，由于，那么點(diǎn)m到平面的距離為，故m到平面的距離為。三：利用空間向量解證平行、垂直關(guān)系1.所謂直線的方向向量，就是指的向量，一條直線的方向向量有個(gè)。所謂平面的法向量，就是指所在直線與平面垂直的直線，一個(gè)平面的法向量也有個(gè)。2線線平行證明兩條直線平等，只要證明這兩條直線的方向向量是，也可以證這兩條直線平行于同一個(gè)平面的法向量。3線面平行證明線面平行的方法：（1）證明直線的方向向量與平面的法向量；（2）證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量；（3）利用共面向量基本定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量是。4

13、面面平行的證明方法：（1）轉(zhuǎn)化為、處理；（2）證明這兩個(gè)平面的法向量是。5利用空間向量解證垂直關(guān)系線線垂直：證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是；線面垂直的證明方法：證明線面垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是；證明直線與平面內(nèi)的；面面垂直的證明方法：轉(zhuǎn)化為證明、；證明這兩個(gè)平面的法向量是。1.正方體中，是的中點(diǎn)，是底面的中心，是棱上任意一點(diǎn)，則直線與直線所成的角是( c )a b c d與點(diǎn)的位置有關(guān)2. 空間中有四點(diǎn)，其中，且，則直線和( d )a平行 b平行或重合 c必定相交 d必定垂直5以下向量中與向量（1,2,3），（3,1,2）都垂直的向量為（c）a.(1,7,5) b

14、.(1,7,5) c.(1，7,5)d.（1，7，5）6在正方體中，棱長(zhǎng)為，分別是和上的點(diǎn)，則與平面的關(guān)系是( b )a.相交 b.平行 c.垂直 d.不能確定3. 如圖, 在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，aa14，點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)， （i）求證：acbc1； （ii）求證：ac 1/平面cdb1；解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.答案:解法一：（i）直三棱柱abca1b1c1，底面三邊長(zhǎng)ac=3，bc=4ab=5， acbc

15、，且bc1在平面abc內(nèi)的射影為bc， acbc1；（ii）設(shè)cb1與c1b的交點(diǎn)為e，連結(jié)de， d是ab的中點(diǎn)，e是bc1的中點(diǎn)，abca1b1c1exyz de/ac1， de平面cdb1，ac1平面cdb1， ac1/平面cdb1；解法二：直三棱柱abca1b1c1底面三邊長(zhǎng)ac3，bc4，ab5，ac、bc、c1c兩兩垂直，如圖，以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ca、cb、c1c分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則c（0,0，0），a（3,0，0），c1（0,0，4），b（0,4，0），b1（0,4，4），d（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，acbc1.（2）設(shè)cb

16、1與c1b的交戰(zhàn)為e，則e（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），deac1.7已知斜三棱柱abca1b1c1的底abc為直角三角形，c=90°；側(cè)棱與底面成60°角，b1點(diǎn)在底面射影d為bc中點(diǎn),若側(cè)面a1abb1與c1cbb1成30°的二面角，bc=2cm，則四棱錐ab1bcc1的體積是（ b ）a b. c d14. 在空間四邊形中，分別是和對(duì)角線的中點(diǎn)，則平面與平面的位置關(guān)系是 平面平面15.設(shè)正四棱錐s-abcd的側(cè)棱之長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，e是sa的中點(diǎn)，則異面直線be與sc所成的角等于_abcdefgh第12題12. 對(duì)于向量a，b，定義a

17、5;b為向量a，b的向量積，其運(yùn)算結(jié)果為一個(gè)向量，且規(guī)定a×b的模|a×b|a|b|sin(其中為向量a與b的夾角)，a×b的方向與向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次構(gòu)成右手系.如圖，在平行六面體abcdefgh中，eabeadbad60°，abadae2，則 ( d )a. 4 b. 8 c. d. 18.如圖，四棱錐中，平面，底面是直角梯形，且， a b c d p x y y第18題，。（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離。解：（1）如圖建系，則 ， ，故。 （2），設(shè)平面的法向量為， 依題意，取。 ，所以點(diǎn)到平面的距離。2

18、1. 如圖，所示的多面體是由底面為abcd的長(zhǎng)方體被截面aec1f所截面而得到的，其中ab=4，bc=2，cc1=3，be=1.（）求bf的長(zhǎng)；（）求點(diǎn)c到平面aec1f的距離.第21題解：（i）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則d（0，0，0），b（2，4，0），a（2，0，0），c（0，4，0），e（2，4，1），c1（0，4，3）.設(shè)f（0，0，z）.aec1f為平行四邊形，（ii）設(shè)為面aec1f的法向量，的夾角為a，則c到平面aec1f的距離為，即直線到平面bd的距離是17. 2011·天津卷 如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，h是正方形aa1b1b的中心，aa12，c

19、1h平面aa1b1b，且c1h.(1)求異面直線ac與a1b1所成角的余弦值；(2)求二面角aa1c1b1的正弦值；(3)設(shè)n為棱b1c1的中點(diǎn)，點(diǎn)m在平面aa1b1b內(nèi)，且mn平面a1b1c1，求線段bm的長(zhǎng)解：如圖18-1所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)b為坐標(biāo)原點(diǎn)依題意得a(2，0,0)，b(0,0,0)，c(，)，a1(2，2，0)，b1(0,2，0)，c1(，)17-1 (1)易得(，)，(2，0,0)，于是cos，.所以異面直線ac與a1b1所成角的余弦值為.(2)易知(0,2，0)，(，)設(shè)平面aa1c1的法向量(x，y，z)，則 即不妨令x，可得(，0，)同樣地，設(shè)平面a1b1c1

20、的法向量(x，y，z)，則即不妨令y，可得(0，)于是cos，從而sin，.所以二面角aa1c1b1的正弦值為.(3)由n為棱b1c1的中點(diǎn)，得n.設(shè)m(a，b,0)，則.由mn平面a1b1c1，得即得|bm|=題目1：.2011·四川理如圖所示，在直三棱柱abca1b1c1中，bac90°，abacaa11，延長(zhǎng)a1c1至點(diǎn)p，使c1pa1c1，連結(jié)ap交棱cc1于點(diǎn)d.(1)求證：pb1平面bda1；(2)求二面角aa1db的平面角的余弦值第1題解：如圖171，以a1為原點(diǎn)，a1b1，a1c1，a1a所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系a1xyz，則a1(0

21、,0,0)，b1(1,0,0)，c1(0,1,0)，b(1,0,1)，p(0,2,0)(1)在paa1中有c1daa1，即d.(1,0,1)，(1,2,0)設(shè)平面ba1d的一個(gè)法向量為n1(a，b，c)，則令c1，則n1.圖17n1·1×(1)×2(1)×00，pb1平面bda1，(2)由(1)知，平面ba1d的一個(gè)法向量n1.又n2(1,0,0)為平面aa1d的一個(gè)法向量，cosn1，n2.故二面角aa1db的平面角的余弦值為.題目2：如圖，在四棱錐中，底面為矩形，2-1第:2題側(cè)棱底面， 為的中點(diǎn). （）求直線與所成角的余弦值；（）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使

22、面，并求出點(diǎn)到和的距離.解：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為、，從而設(shè)的夾角為，則與所成角的余弦值為. （）由于點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由面可得， 即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到和的距離分別為.abcdc1d1a1b1第3題因此 ，所以線段bm的長(zhǎng)|.題目3. 已知正方體的棱長(zhǎng)為a(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面所成的二面角余弦值解 (1)按如圖3-1所示建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、，向量，zabcdc1d1a1b1(o)xy3-1設(shè)是平面的法向量，于是，有，即令得于是平面的一個(gè)法向量是 因此，到平面的距離(也可用等積法求得) (2) 由(1)知，平面的一個(gè)法向量是又因，故平面的一個(gè)法向量是 設(shè)所求二面角的