數(shù)學(xué)分析：第12章數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、第十二章 數(shù) 項(xiàng) 級 數(shù)目的與要求：1.使學(xué)生掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性的定義和收斂級數(shù)的性質(zhì),掌握等比級數(shù)與調(diào)和級數(shù)的斂散性；2. 掌握判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的各種方法，包括比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法重點(diǎn)與難點(diǎn)：本章重點(diǎn)是數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性的定義,基本性質(zhì)和判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的各種方法；難點(diǎn)則是應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則判別級數(shù)的斂散性.第一節(jié) 級數(shù)的收斂性一 級數(shù)的概念在初等數(shù)學(xué)中，我們知道：任意有限個實(shí)數(shù)相加，其結(jié)果仍是一個實(shí)數(shù)，在本章將討論無限多個實(shí)數(shù)相加所可能出現(xiàn)的情形及特征.如 從直觀上可知，其和為1.又如， . 其和無意義；若將其改寫為： 則其和為：0；若寫為： 則和為：1.（其結(jié)果完

2、全不同）.問題：無限多個實(shí)數(shù)相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 級數(shù)的概念定義1 給定一個數(shù)列，將它的各項(xiàng)依次用加號“+”連接起來的表達(dá)式 （1）稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)或無窮級數(shù)（簡稱級數(shù)），其中稱為級數(shù)（1）的通項(xiàng).級數(shù)（1）簡記為：，或.2 級數(shù)的部分和稱之為級數(shù)的第個部分和，簡稱部分和. 3 級數(shù)的收斂性定義2 若數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂 ，稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和，記作 =.若部分和數(shù)列發(fā)散，則稱數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散.例1 試討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)） ，的收斂性.解：見P2.例2 討論級數(shù) 的收斂性.解：見P2.二 收斂級數(shù)的性質(zhì)1 級數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系由于級數(shù)的斂散性是由它的部

3、分和數(shù)列來確定的，因而也可以認(rèn)為數(shù)項(xiàng)級數(shù)是數(shù)列的另一表現(xiàn)形式.反之，對于任意的數(shù)列，總可視其為數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列，此時數(shù)列與級數(shù)有相同的斂散性，因此，有 2 級數(shù)收斂的準(zhǔn)則定理1（級數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則） 級數(shù)（1）收斂的充要條件是：任給正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)以及對任意的正整數(shù)，都有 .注：級數(shù)（1）發(fā)散的充要條件是：存在某個，對任何正整數(shù)N，總存在正整數(shù) ，有 . 3 級數(shù)收斂的必要條件 推論 （必要條件） 若級數(shù)（1）收斂，則 .注：此條件只是必要的，并非充分的，如下面的例3.例3 討論調(diào)和級數(shù) 的斂散性.解：顯然，有 ，但當(dāng)令 時，有 .因此，取，對任何正整數(shù)N，只要和就有 ，

4、故調(diào)和級數(shù)發(fā)散.例4 應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級數(shù) 收斂.證明：由于 = .故對，取，使當(dāng)及對任何正整數(shù)，都有 .故級數(shù) 收斂. 4 收斂級數(shù)的性質(zhì)定理2 若級數(shù)與都有收斂，則對任意常數(shù)，級數(shù)也收斂，且 .即對于收斂級數(shù)來說，交換律和結(jié)合律成立.定理3 去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項(xiàng)并不改變級數(shù)的斂散性.（即級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限個項(xiàng)無關(guān)，但其和是要改變的）.若級數(shù)收斂，設(shè)其和為，則級數(shù) 也收斂，且其和為.并稱為級數(shù)的第個余項(xiàng)（簡稱余項(xiàng)），它代表用代替時所產(chǎn)生的誤差.定理4 在收斂級數(shù)的項(xiàng)中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和.注意：從級數(shù)加括號后的收斂，不能推斷加括號前的級數(shù)

5、也收斂（即去括號法則不成立）.如：收斂，而級數(shù) 是發(fā)散的.作業(yè) P5 1，2，3，4，5，6，7.第二節(jié) 正 項(xiàng) 級 數(shù)一 正項(xiàng)級數(shù)收斂性的一般判別原則若級數(shù)各項(xiàng)的符號都相同，則稱為同號級數(shù).而對于同號級數(shù)，只須研究各項(xiàng)都由正數(shù)組成的級數(shù)正項(xiàng)級數(shù).因負(fù)項(xiàng)級數(shù)同正項(xiàng)級數(shù)僅相差一個負(fù)號，而這并不影響其收斂性.1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件定理5 正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和數(shù)列有界.證明：由于對，故是遞增的，因此，有 收斂收斂有界. 2 比較原則定理6（比較原則） 設(shè)和均為正項(xiàng)級數(shù)，如果存在某個正數(shù)，使得對都有 ，則 （1）若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂； （2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.證明：由定義及定理5即可得.

6、例1 考察的收斂性.解：由于當(dāng)時，有 ，因正項(xiàng)級數(shù)收斂，故收斂. 3 比較判別法的極限形式推論（比較判別法的極限形式） 設(shè) 和是兩個正項(xiàng)級數(shù)，若 ，則 （1） 當(dāng)時，級數(shù)、同時收斂或同時發(fā)散； （2）當(dāng)且級數(shù)收斂時，級數(shù)也收斂； （3）當(dāng)且發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散.證明：由比較原則即可得.例2 討論級數(shù) 的收斂性.解：利用級數(shù)的收斂性，由推論可知級數(shù)收斂.例3 由級數(shù)的發(fā)散性，可知級數(shù)是發(fā)散的.二 比式判別法和根式判別法 1 比式判別法定理7 （達(dá)朗貝爾判別法，或稱比式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某個正整數(shù)及常數(shù)：（1） 若對，有 ，則級數(shù)收斂 ；（2） 若對，有 ，則級數(shù)發(fā)散.證明：（1）不妨設(shè)對

7、一切，有成立，于是，有 ，.故 ， 即 ，由于，當(dāng)時，級數(shù)收斂，由比較原則，可知級數(shù)收斂. （2） 因此時，故級數(shù)發(fā)散. 2 比式判別法的極限形式推論（比式判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且 ，則 （1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2） 當(dāng)（可為）時，級數(shù)發(fā)散；（3） 當(dāng)時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.如：，.證明：由比式判別法和極限定義即可得.例4 討論級數(shù) 的收斂性.例5 討論級數(shù)的收斂性. 3 根式判別法定理8（柯西判別法，或稱根式判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某個正整數(shù)及正常數(shù)，（1）若對，有 ， 則級數(shù)收斂；（2）若對，有 ， 則級數(shù)發(fā)散.證明：由比較判別法即可得. 4 根式判別法的極限形式推論

8、（根式判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且 ，則 （1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)（可為）時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.如：，.例6 討論級數(shù) 的斂散性.解：由上推論即得.說明：因 這就說明凡能用比式判別法判定收斂性的級數(shù)，也能用根式判別法來判斷，即根式判別法較之比式判別法更有效.但反之不能，如例6.三 積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對象來判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.定理9 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，則正項(xiàng)級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散.證明：由假設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，則對任何正數(shù)A，在1，A上可積，從而有 ，依次相加，得 若反常積分收斂，則對，有

9、.于是，知 級數(shù) 收斂.反之，若級數(shù)收斂，則對任意正整數(shù)，有 .又因?yàn)樯戏秦?fù)減函數(shù)，故對任何，有 , .故知，反常積分收斂.同理可證它們同時發(fā)散.例7 討論下列級數(shù)（1） ，（2）， （3） 的斂散性.作業(yè) P16 1，2，3，4，5，6，7，8，9 第三節(jié) 一般項(xiàng)級數(shù) 一 交錯級數(shù) 1 交錯級數(shù)的定義 若級數(shù)的各項(xiàng)符號正負(fù)相間，即 （1）則稱（1）為交錯級數(shù).2 交錯級數(shù)收斂的判別定理11 (萊布尼茨判別法) 若交錯級數(shù)(1)滿足下述兩個條件：1. 數(shù)列單調(diào)遞減；2. 則級數(shù)(1)收斂. 證 ( 證明部分和數(shù)列的兩個子列和收斂于同一極限.)考察交錯級數(shù)(1)的部分和數(shù)列的偶子列和奇子列 ,

10、. 由條件1. 上述兩式中各個括號內(nèi)的數(shù)都是非負(fù)的,從而數(shù)列是遞減的,而數(shù)列是遞增的.又由條件2.知道 ,從而是一個區(qū)間套.由區(qū)間套定理,存在唯一的一個數(shù),使得 . 所以數(shù)列收斂,即交錯級數(shù)(1) 收斂.推論 若交錯級數(shù)(1)滿足萊布尼茨判別法的條件,則收斂的交錯級數(shù)(1)的余和的符號與余和的首項(xiàng)相同 ,并有.例1 判別級數(shù) 的斂散性.解 時 , 由萊布尼茨判別法知, 收斂； 時, 通項(xiàng), 所以發(fā)散. 二 絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì)   1  絕對收斂和條件收斂 若級數(shù)各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)收斂,則稱原級數(shù)為絕對收斂. 若級數(shù)收斂,但各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)不收斂,則稱原級數(shù)為條件

11、收斂.以級數(shù)為例, 先說明 收斂 絕對收斂. 2 絕對收斂與收斂的關(guān)系定理12 絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證 ( 用柯西收斂準(zhǔn)則 ).  一般項(xiàng)級數(shù)判斂時, 先應(yīng)判其是否絕對收斂.   例2 判斷級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂.  3 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)1. 絕對收斂級數(shù)可重排性 我們把正整數(shù)列到它自身的一一映射：稱為正整數(shù)列的重排，相應(yīng)的對于數(shù)列按映射： 所得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的重排，相應(yīng)于此，我們也稱級數(shù)是級數(shù)的重排.定理13 設(shè)級數(shù)絕對收斂,且其和等于,則任意重排后所得到的級數(shù)也絕對收斂亦有相同的和數(shù). 2 級數(shù)的乘積 設(shè)有收斂級數(shù)與收斂級數(shù),則它們的乘積 按正方

12、形排列順序有：按對角線排列順序有： 定理14 若級數(shù)與級數(shù)都絕對收斂,則按任意順序排列所得到的級數(shù)乘積也絕對收斂,且其和等于.例3 等比級數(shù) , 是絕對收斂的,將按對角線順序排列,則得到 . 三 阿貝爾判別法和狄利克雷判別法 對于型如的級數(shù)的判斂，可用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法. 1 阿貝爾判別法 引理 （分部求和公式，或稱阿貝爾變換）設(shè)和 為兩組實(shí)數(shù).記 . 則 .推論 (阿貝爾引理) 設(shè)(1) 是單調(diào)數(shù)組；(2) 對任一正整數(shù) ,有，這里,則記時,有 .定理15 (阿貝爾判別法 ) 若為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)收斂， 則級數(shù) 收斂.證 ( 用柯西收斂準(zhǔn)則 , 利用阿貝爾引理估計尾項(xiàng) )由收斂,依柯西收斂準(zhǔn)則，對任給，存在正數(shù)，使當(dāng)時, 對任一正整數(shù),都有 . 又由于數(shù)列單調(diào)有界，所以存在，使，應(yīng)用阿貝爾引理可得到 .由柯西收斂準(zhǔn)則知級數(shù) 收斂. 2 狄利克雷判別法 定理16 (狄利克雷判別法) 若數(shù)列單調(diào)遞減，且,又級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù) 收斂.注1. 取數(shù)列單調(diào)遞減，且 , ,由狄利克雷判別法 , 得交錯級數(shù)收斂. 可見萊布尼茨判別法是狄利克雷判別法的特例.