江蘇省南京市2021屆高三上學(xué)期期初數(shù)學(xué)試題解析版

1、江蘇省南京市2021屆高三上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題20209一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1已知集合A，B，則AB A B C D2已知(34i)z1i，其中i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量，滿足1，2，且，則與的夾角為 A B C D4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P(，0)到雙曲線C：的一條漸近線的距離為6，則雙曲線C的離心率為 A2 B4 C D5在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若2bcosC2ac，則角

2、B的取值范圍是 A(0， B(0， C，) D，)6設(shè)，則 Aabc Bbac Cacb Dcab7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓A：，點(diǎn)B(3，0)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P引圓A的切線，切點(diǎn)為T(mén)若PTPB，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 A B C D8已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，且若當(dāng)x(0，1時(shí)，則的值是A3 B2 C2 D3二、 多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分， 共計(jì)20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）95G時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，5G的發(fā)展將直接帶動(dòng)包括運(yùn)營(yíng)、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對(duì)GDP增長(zhǎng)產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過(guò)產(chǎn)

3、業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，間接帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟(jì)增加值如圖，某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對(duì)今后幾年的5G經(jīng)濟(jì)產(chǎn)岀做出預(yù)測(cè) 由上圖提供的信息可知A運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加B設(shè)備制造商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩C設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位D信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)岀的差距有逐步拉大的趨勢(shì)10將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則A函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱C函數(shù)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增D函數(shù)在區(qū)間(0，)上有兩個(gè)零點(diǎn)11已知，則A的值為2 B的值為16C的值為5 D的值為12012記函數(shù)與的定義域的交集為I若存在I，使得對(duì)任意I，

4、不等式 恒成立，則稱(，)構(gòu)成“M函數(shù)對(duì)”下列所給的兩個(gè)函數(shù)能構(gòu)成“M函數(shù)對(duì)”的有 A， B， C， D，三、填空題（本大題共4小題， 每小題5分，共計(jì)20分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，則 14被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德（前287前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué) 第13題家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基

5、米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德三角形在平面直角坐標(biāo)系心中，已知直線l：y4與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，則弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為 15已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且，n，則 ；若2，則 （本題第一空2分，第二空3分）16若不等式對(duì)一切xR恒成立，其中a，bR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ab的取值范圍是 四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17（本小題滿分10分）已知向量(2cosx，1)，(sinx，2cos2x)，xR，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若a，且，求cos2a的值18（本小題滿分1

6、2分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，（1）在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題干中求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷此時(shí)數(shù)列是否滿足條件P：任意m，n，均為數(shù)列中的項(xiàng)，說(shuō)明理由；（2）設(shè)數(shù)列滿足，n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和注：在第（1）問(wèn)中，如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分19（本小題滿分12分）為調(diào)查某校學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了該校100名學(xué)生（男生60人，女生40人），統(tǒng)計(jì)了他們的課外閱讀達(dá)標(biāo)情況（一個(gè)學(xué)期中課外閱讀是否達(dá)到規(guī)定時(shí)間），結(jié)果如下： 是否達(dá)標(biāo)性別不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)男生3624女生1030（1）是否有99%的把握認(rèn)為課外閱讀達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)?附：P(k)0.0500.02

7、50.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用這100名學(xué)生中男生和女生課外閱讀“達(dá)標(biāo)”的頻率分別代替該校男生和女生課外閱讀“達(dá)標(biāo)”的概率，且每位學(xué)生是否“達(dá)標(biāo)”相互獨(dú)立現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人（2男1女），設(shè)隨機(jī)變量X表示“3人中課外閱讀達(dá)標(biāo)的人數(shù)”，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望20（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90°，點(diǎn)E在棱PC上，設(shè)CECP（1）求證：CDAE；（2）記二面角CAED的平面角為，且，求實(shí)數(shù)的值21（本小題滿分12分）在平面直

8、角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（1）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，T是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)A(0，1)，與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓C于B，D兩點(diǎn)，若ABD是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線l的方程22（本小題滿分12分）已知函數(shù)，kR（1）當(dāng)k2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)0x1時(shí)，恒成立，求k的取值范圍；（3）設(shè)n，求證：江蘇省南京市2021屆高三上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題20209一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1已知集合A，B，則AB A B C

9、D答案：C解析：集合A，集合A， 又B，AB，故選C2已知(34i)z1i，其中i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案：B解析：，故在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(，)，在第二象限，故選B3已知向量，滿足1，2，且，則與的夾角為 A B C D答案：D解析：， ，故與的夾角為，故選D4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P(，0)到雙曲線C：的一條漸近線的距離為6，則雙曲線C的離心率為 A2 B4 C D答案：A解析：雙曲線C：的一條漸近線為， 則，解得，故選A5在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若2bcosC2ac，則角B的取值范圍是 A(

10、0， B(0， C，) D，)答案：A解析：2bcosC2ac，2sinBcosC2sinAsinC，故cosB，0B，故選A6設(shè)，則 Aabc Bbac Cacb Dcab答案：C解析：98，3，故，從而有，故選C7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓A：，點(diǎn)B(3，0)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P引圓A的切線，切點(diǎn)為T(mén)若PTPB，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 A B C D答案：C解析：設(shè)P(x，y)，PTPB，PT22PB2， ，整理得：，故選C8已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，且若當(dāng)x(0，1時(shí)，則的值是A3 B2 C2 D3答案：B解析：根據(jù)奇函數(shù)，滿足，可知函數(shù)的周期為4， ，故選B二、 多項(xiàng)選擇題（本大題共

11、4小題，每小題5分， 共計(jì)20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）95G時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，5G的發(fā)展將直接帶動(dòng)包括運(yùn)營(yíng)、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對(duì)GDP增長(zhǎng)產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過(guò)產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，間接帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟(jì)增加值如圖，某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對(duì)今后幾年的5G經(jīng)濟(jì)產(chǎn)岀做出預(yù)測(cè) 由上圖提供的信息可知A運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加B設(shè)備制造商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩C設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位D信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)岀的差距有逐步拉大的趨勢(shì)答案：ABD解析：從圖表中

12、可以看出2029年、2030年信息服務(wù)商在總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中處于領(lǐng)先地位，C錯(cuò)誤，故選ABD10將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則A函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱C函數(shù)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增D函數(shù)在區(qū)間(0，)上有兩個(gè)零點(diǎn)答案：ACD解析：可得，當(dāng)，故A正確；當(dāng)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)(，)，(，0)，故C正確；當(dāng)(0，)，(，)，故D正確故選ACD11已知，則A的值為2 B的值為16C的值為5 D的值為120答案：ABC解析：令x0，得，故A正確；，故，B正確；令x1，得，又，故C正確；令x1，得，由得：，D錯(cuò)誤故選ABC12記函數(shù)與的定義域的交集為I若存在I，使得對(duì)任意

13、I，不等式 恒成立，則稱(，)構(gòu)成“M函數(shù)對(duì)”下列所給的兩個(gè)函數(shù)能構(gòu)成“M函數(shù)對(duì)”的有 A， B， C， D，答案：AC解析：選項(xiàng)B滿足，故不成立；選項(xiàng)D，存在兩個(gè)非零的零點(diǎn)，故不成立故選AC三、填空題（本大題共4小題， 每小題5分，共計(jì)20分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，則 答案：2解析：14被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德（前287前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積

14、，等于拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德三角形在平面直角坐標(biāo)系心中，已知直線l：y4與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，則弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為 答案：解析：首先得到弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4，4)，(4，4)，其次得在該兩點(diǎn)處的拋物線的切線方程分別為y2x4，y2x4，從而拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積為，故弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為15已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且，n，則 ；若2，則 （本題第一空2分，第二空3分）答案：4；220解析：根據(jù)，得，得，故；

15、當(dāng)2，可得該數(shù)列滿足，且與均為公差為2的等差數(shù)列，即可求得22016若不等式對(duì)一切xR恒成立，其中a，bR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ab的取值范圍是 答案：(，1解析：令，恒成立，顯然a0， ，則，當(dāng)a0時(shí)，在(，0)遞增，(0，)遞減，符合題意，a0時(shí)，在(，)遞減，(，0)遞增，(0，)遞減x，故符合題意，綜上，a0，b1，因此ab(，1四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17（本小題滿分10分）已知向量(2cosx，1)，(sinx，2cos2x)，xR，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若a，且，求cos2a的值解：

16、因?yàn)?m(2cosx，1)，n(sinx，2cos2x)，所以f(x)m·n12sinxcosx2cos2x1 sin2xcos2x2sin(2x) （1）T （2）由f()，得sin(2)由，得2，所以cos(2)， 從而 cos2cos(2)cos(2)cossin(2)sin××18（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，（1）在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題干中求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷此時(shí)數(shù)列是否滿足條件P：任意m，n，均為數(shù)列中的項(xiàng)，說(shuō)明理由；（2）設(shè)數(shù)列滿足，n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和注：在第（1）問(wèn)中，如果選擇多個(gè)條件分別解答

17、，按第一個(gè)解答計(jì)分解：（1）選， 因?yàn)镾1S32S22， 所以S3S2S2S12，即a3a22， 又?jǐn)?shù)列an是公比為2的等比數(shù)列， 所以4a12a12，解得a11， 因此an1×2n12n1 此時(shí)任意m，nN*，aman2m1·2n12mn2，由于mn1N*，所以aman是數(shù)列an的第mn1項(xiàng)， 因此數(shù)列an滿足條件P 選， 因?yàn)镾3，即a1a2a3， 又?jǐn)?shù)列an是公比為2的等比數(shù)列， 所以a12a14a1，解得a1， 因此an×2n1 此時(shí)a1a2a1an，即a1a2不為數(shù)列an中的項(xiàng)， 因此數(shù)列an不滿足條件P 選， 因?yàn)閍2a34a4， 又?jǐn)?shù)列an是公比為2

18、的等比數(shù)列， 所以2a1×4a14×8a1，又a10，故a14， 因此an4×2n12n1 此時(shí)任意m，nN*，aman2m1·2n12mn2，由于mn1N*，所以aman是為數(shù)列an的第mn1項(xiàng)， 因此數(shù)列an滿足條件P （2）因?yàn)閿?shù)列an是公比為2的等比數(shù)列， 所以2，因此bnn×2n1 所以Tn1×202×213×22n×2，則2Tn1×212×22(n1)×2n×2，兩式相減得Tn121222n×2 n×2 (1n)21， 所以Tn(n1

19、)2119（本小題滿分12分）為調(diào)查某校學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了該校100名學(xué)生（男生60人，女生40人），統(tǒng)計(jì)了他們的課外閱讀達(dá)標(biāo)情況（一個(gè)學(xué)期中課外閱讀是否達(dá)到規(guī)定時(shí)間），結(jié)果如下： 是否達(dá)標(biāo)性別不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)男生3624女生1030（1）是否有99%的把握認(rèn)為課外閱讀達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)?附：P(k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用這100名學(xué)生中男生和女生課外閱讀“達(dá)標(biāo)”的頻率分別代替該校男生和女生課外閱讀“達(dá)標(biāo)”的概率，且每位學(xué)生是否“達(dá)標(biāo)”相互獨(dú)立現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人（2男1女），設(shè)隨機(jī)變量X表示

20、“3人中課外閱讀達(dá)標(biāo)的人數(shù)”，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（1）假設(shè)H0：課外閱讀達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表，求得211.8366.635，因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，26.635的概率約為0.01，所以有99%以上的把握認(rèn)為課外閱讀達(dá)標(biāo)與性別有關(guān) （2）記事件A為：從該校男生中隨機(jī)抽取1人，課外閱讀達(dá)標(biāo)；事件B為：從該校女生中隨機(jī)抽取1人，課外閱讀達(dá)標(biāo)由題意知：P(A)，P(B)隨機(jī)變量X的取值可能為0，1，2，3P(X0)(1)2×(1)，P(X1)C××(1)×(1)×(1)2，P(X2)()2×(1)C××(1)&#

21、215;，P(X3)()2× 所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P 期望E(X)0×1×2×3×1.5520（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90°，點(diǎn)E在棱PC上，設(shè)CECP（1）求證：CDAE；（2）記二面角CAED的平面角為，且，求實(shí)數(shù)的值（1）證明：因?yàn)镻AD90°，所以PAAD因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PAÌ平面PAD，所以PA平面ABCD 又CDÌ平面ABCD，所以CDPA 在四

22、邊形ABCD中，AD/BC，DAB90°，所以ABC90°，又ABBC1，所以ABC是等腰直角三角形，即BACCAD45°，AC在CAD中，CAD45°，AC，AD2，所以CD，從而AC2CD24AD2所以CDAC 又ACPAA，AC，PAÌ平面PAC，所以CD平面PAC 又AEÌ平面PAC，所以CDAE （2）解：因?yàn)镻A平面ABCD，BAAD，zxPABCDEy 故以，為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)锳BBCPA1，AD2，所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，則(1，1，0)，

23、(0，2，0)因?yàn)辄c(diǎn)E在棱PC上，且CECP，所以，設(shè)E(x，y，z)，則(x1，y1，z)(1，1，1)，故E(1，1，)，所以(1，1，) 由（1）知，CD平面PAC，所以平面ACE的一個(gè)法向量為n(1，1，0)設(shè)平面AED的法向量為m(x1，y1，z1)，由得令z11，所以平面AED的一個(gè)法向量為m(，0，1)因此 |cos|cos<m，n>|，化簡(jiǎn)得3840，解得或2因?yàn)镋在棱PC上，所以0，1，所以所以當(dāng)|cos|時(shí)，實(shí)數(shù)的值為21（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（1）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，T是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)A(0，1)，與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓C于B，D兩點(diǎn)，若ABD是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線l的方程解：（1）因?yàn)闄E圓C：y21，所以F1(，0)，F(xiàn)2(，0)設(shè)T(x0，y0)，則 ·(x0，y0)·(x0，y0)x02y023因?yàn)辄c(diǎn)T(x0，y0)在橢圓C上，即y021，所以·x022，且x020，4，所以·的取值范圍是2，