初等解析函數(shù)

1、12-3 初等解析函數(shù)一、對數(shù)函數(shù)二、冪函數(shù)三、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)四、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)21. 1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義定義 )sin(cos)exp( yiyezziyxzx 的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)定定義義為為，則則復復變變數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)顯然顯然 cos)(exp(Reyezx sin)Im(exp(yezx )exp(xez ), 1, 0(2)(exp(Arg kkyz 為簡便，常用下面記號為簡便，常用下面記號 )sin(cosyiyeexz 與指數(shù)函數(shù)符號一致與Euler公式相一致但也有不妥之處3;)( (3)在復平面內(nèi)處處解析在復平面內(nèi)處處解析zf);()(zfzf );Re(,)(

2、,0)Im(, 0 (2)zxezfzexz 其其中中時時當當定理定理 指數(shù)函數(shù)具有如下性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)具有如下性質(zhì)：; )exp(expexp )1(21212121zzzzeeezzzz 即即; (4)2zinzzeee 為為周周期期函函數(shù)數(shù)，.21 (5)inzez 的充分必要條件是的充分必要條件是4例例 1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因因為為 .cos)Re( , yeeeexzxz 所所以以zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe

3、,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz5例例 2 解解求出下列復數(shù)的輻角主值求出下列復數(shù)的輻角主值:;)4(;)3(;)2(;)1(4343322iiiieeee )sin(cos 的輻角為的輻角為因為因為yiyeeexiyxz )(2Arg為為整整數(shù)數(shù)kkyez .,(- arg 內(nèi)內(nèi)的的一一個個輻輻角角為為區(qū)區(qū)間間其其輻輻角角主主值值 ze)1( ,21Arg2 kei ; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei ; 3arg32 ie ,24Arg43 kei ;24arg43

4、ie ,24Arg43 kei ;24arg43 ie)3()4(6例例 3 的實部和虛部的實部和虛部求函數(shù)求函數(shù). )exp( ze解解，得得則則由由令令yieyeeiyxzxxzsincos, )sinsin()sincos()exp(cosyeiyeeexxyezx 從而，有從而，有)sincos()Reexp(cosyeeexyezx )sinsin()Imexp(cosyeeexyezx 7因為多值函數(shù)的多值性是由輻角函數(shù)的多值性引起來的，因為多值函數(shù)的多值性是由輻角函數(shù)的多值性引起來的，我們先研究輻角函數(shù)：我們先研究輻角函數(shù)：輻角函數(shù)輻角函數(shù)ArgzArgz: : 先來看一下使先來

5、看一下使輻角函數(shù)輻角函數(shù)為多值的原因。為多值的原因。對于確定的對于確定的 ，若設(shè)，若設(shè) ，則，則 可取這些值可取這些值: : ，而能取，而能取 以外的那些以外的那些值即值即 的原因是的原因是: :在復平面上存在一條從在復平面上存在一條從 出發(fā)繞原點連續(xù)變動一周后又能回到出發(fā)繞原點連續(xù)變動一周后又能回到 的簡單閉的簡單閉曲線曲線 因此，為使因此，為使 取不到取不到 這些值，只須將復平面從原點這些值，只須將復平面從原點 起起沿正實軸剪開即可沿正實軸剪開即可 )arg(0z,4,20z0Argzw ,4,2,00z00z8 定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)f(z) 為多值函數(shù)，若當變點為多值函數(shù)，若

6、當變點z z 從起始從起始點點 出發(fā)繞一條包圍點出發(fā)繞一條包圍點a a 的簡單閉曲線連續(xù)變動一周的簡單閉曲線連續(xù)變動一周再回到起始點再回到起始點 時，函數(shù)從一個枝變到另一個枝，時，函數(shù)從一個枝變到另一個枝，則稱則稱a a為函數(shù)為函數(shù) 的的枝點枝點顯然，當變點顯然，當變點z z 從起始點從起始點1 1 出繞一條包圍出繞一條包圍原點原點 的簡單閉的簡單閉曲線按逆時針方向連續(xù)變動一周再回到起始點曲線按逆時針方向連續(xù)變動一周再回到起始點1 1時，時，ArgzArgz從從 （k k確定為一整數(shù)）確定為一整數(shù)） , , 變到變到 , , 依定義可依定義可知，知，原點原點 為函數(shù)為函數(shù)ArgzArgz的一個

7、的一個枝點。枝點。 0z0zk2) 1(2k92. 2. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù).Ln )( )0( zwzzfwzzew 的對數(shù)函數(shù)，記為的對數(shù)函數(shù)，記為稱為稱為的函數(shù)的函數(shù)滿足方程滿足方程，則則令令 irezivuw ,; iivuree 這樣這樣)(2,ln為為整整數(shù)數(shù)kkvru 或或;,lnArgzvzu 因此因此 )2arg(ln Argln kzizzizLnzw )( 為整數(shù)為整數(shù)k10由此由此的主值的主值為一單值函數(shù)，稱為為一單值函數(shù)，稱為則則 . Ln ln zzzizzarglnln ), 2, 1(2lnLn kikzz . Ln , 的一個分支的一個分支稱為稱為，上式確定一單

8、值函數(shù)，上式確定一單值函數(shù)對于每一個固定的對于每一個固定的zk.lnln 0 實實變變數(shù)數(shù)對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)就就是是的的主主值值時時，特特別別地地，當當xzLnzxz 若若記記的的整整數(shù)數(shù)倍倍值值相相差差也也是是多多值值函函數(shù)數(shù)，且且每每兩兩函函數(shù)數(shù)為為多多值值函函數(shù)數(shù)，所所以以對對數(shù)數(shù)因因 .2 )( Arg izLnwz 11例例 4 解解 . )1(Ln2Ln 以以及及與與它它們們相相應(yīng)應(yīng)的的主主值值，求求 ,22ln2Ln ik 因因為為 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因因為為 )()12(為為整整數(shù)數(shù)kik . 1)Ln( i 的的主主值

9、值就就是是所所以以 注意注意: 在實函數(shù)中，負數(shù)無對數(shù)，而復變數(shù)對在實函數(shù)中，負數(shù)無對數(shù)，而復變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實對數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)函數(shù)是實對數(shù)函數(shù)的拓廣.12例例 5解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因因為為)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k13解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(Ln(1) : ii求下列各式的值求下列各式的值6 6例例)32(Ln(1)i )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k14.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln

10、)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln15對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),)()1(2121LnzLnzzzLn ,0)( )2(22121 zLnzLnzzzLn且且處處處處可可導導和和其其它它各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)的的復復平平面面內(nèi)內(nèi)，主主值值支支包包括括原原點點在在除除去去負負實實軸軸 , , )( )3(,1)(lnzz zLnz1)( 對于某一固定分支，有對于某一固定分支，有16例 計算 解 （ ：整數(shù)）17根式函數(shù)根式函數(shù)定義定義 設(shè)設(shè) ，稱滿足，稱滿足 （

11、 n n為不小于為不小于2 2的正整數(shù)的正整數(shù)) )的的 為為z z的的n n次根式函數(shù)，或簡稱次根式函數(shù)，或簡稱根式函數(shù)根式函數(shù)，記作，記作 根式函數(shù)為多值函數(shù)根式函數(shù)為多值函數(shù), ,它不是解析函數(shù)它不是解析函數(shù). . 對于每一個確定的對于每一個確定的 都有都有n n個不同的個不同的 與之對應(yīng)，即與之對應(yīng)，即有有 k=0,1, ,n-1k=0,1, ,n-1 根式函數(shù)在從原點起沿正實軸剪開的復平面上可分出根式函數(shù)在從原點起沿正實軸剪開的復平面上可分出n n個個單值函數(shù)單值函數(shù) nwz wnzw inkznkezw2arg1|zarg0z0zkw18 稱用來剪開復平面，從而使多值函稱用來剪開復

12、平面，從而使多值函數(shù)能分出單值枝的割線（或割痕）為該數(shù)能分出單值枝的割線（或割痕）為該多值函數(shù)的多值函數(shù)的枝割線枝割線由此可知，復平面由此可知，復平面上從原點起始的正實軸便是函數(shù)上從原點起始的正實軸便是函數(shù)Argz, Argz, LnzLnz的的枝割線枝割線. . 同時同時, ,由枝割線所起的作用可知由枝割線所起的作用可知, ,在在擴充復平面上，任意一條從原點起始伸擴充復平面上，任意一條從原點起始伸向無窮遠點的射線都是它們的枝割線向無窮遠點的射線都是它們的枝割線19 不僅如此，更一般地是：在擴充復平不僅如此，更一般地是：在擴充復平面上，任意一條從原點起始并伸向無窮遠面上，任意一條從原點起始并伸

13、向無窮遠點的曲線都是它們的點的曲線都是它們的枝割線枝割線。 由此可見由此可見: : 一般而言，其支割線不是一般而言，其支割線不是唯一的，而且支割線的形狀可以是多種多唯一的，而且支割線的形狀可以是多種多樣的樣的 為確定起見，我們一般只選從原點起為確定起見，我們一般只選從原點起始的正實軸或者負實軸為函數(shù)的始的正實軸或者負實軸為函數(shù)的枝割線。枝割線。根式函數(shù)根式函數(shù)的每個單值分枝在從原點起始沿正實軸剪開的每個單值分枝在從原點起始沿正實軸剪開的復平面上為解析函數(shù)。的復平面上為解析函數(shù)。203. 3. 冪函數(shù)冪函數(shù)，即為數(shù)，定義冪為任意一個復為不等于零的復變數(shù)，設(shè))Lnexp( zzz .)exp( L

14、nzeLnzz注注 意意: :.)( ) 1 (xxfz一致，即數(shù)為實數(shù)時，與普通冪函為正實變數(shù)，當. , )2(2ln是多值的而，一般而言，因的多值性，由于zeeezLnzikzLnz21例例 7 7 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike )22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 kiiieiLn ikiie 22 ke22 ., 2, 1, 0 k例例 8 8 . )(1 的輻角的輻角求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie 242ln21 )1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike ln2.21 )(1 的輻角為的輻角為故

15、故ii ., 2, 1, 0 k22注意注意 . 的的值值求求ie解解 ikie 21 ikee 2 ., 2, 1, 0 keiieeLn 問題在什么地方？問題在什么地方？ 表達式表達式？1sin1cos)exp(ii )21(exp)Lnexp(ikieiei )2exp( ki )1sin1(cos 2iek 的的不不一一致致性性。與與認認識識到到iei)exp()(exp(,)()(zfeezfzf 默默認認約約定定：當當計計算算)(exp(,)()(Lnazfaazfzf 默默認認當當計計算算23 冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 , )1(在復平面內(nèi)解析在復平面內(nèi)解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz.

16、)(1 nnnzz . )2(1個分支個分支是多值函數(shù)，具有是多值函數(shù)，具有冪函數(shù)冪函數(shù)nzn 它的各它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)解析個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)解析, nz Lnzne1.111 nzn244. 4. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù),sincos yiyeiy 因因為為,sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 下面把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到下面把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復值的情況自變數(shù)取復值的情況.25,2cos :izizeez 余余弦弦函函數(shù)數(shù),2

17、sin :izizeez 正正弦弦函函數(shù)數(shù),2 :zzeechz 雙曲余弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù).2 :zzeeshz 雙曲正弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)26,cossintan :zzz 正正切切函函數(shù)數(shù),sincoscot :zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1sec :zz 正正割割函函數(shù)數(shù).sin1csc :zz 余割函數(shù)余割函數(shù)27是偶函數(shù)，即是偶函數(shù)，即是奇函數(shù)是奇函數(shù)容易證明容易證明zzcos , sin ,.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz 為為周周期期的的，即即是是以以正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)都都 2. , ,是是偶偶函函

18、數(shù)數(shù)是是奇奇函函數(shù)數(shù)同同樣樣chzshzichzshz 2 , ,都是以都是以同樣同樣為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).28正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz ,)(chzshz shzchz )(zeeieezizizizizcos2)2()(sin 事事實實上上， 雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)在復平面內(nèi)雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)在復平面內(nèi)也都是解析函數(shù)也都是解析函數(shù)29一些常用的重要公式：一些常用的重要公式： . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1

19、(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix , 時時為純虛數(shù)為純虛數(shù)當當yiz,2coschyeeyiyy .2sinishyieeyiyy ,cos ychyi .sin yishyi 30 .cossin)sin(,sincos)cos()3(xshyixchyyixxshyixchyyix .cos ,sin , yiyiy時時事事實實上上，當當?shù)c實函數(shù)完全不同的是：sin z, cos z 無界 .sincos)(,sincos)(yichxyshxyi

20、xshyishxychxyixch 11sincos)4(2222zshzchzz31例例 9 9 . tan 的的實實部部與與虛虛部部確確定定z解解zzzcossintan , iyxz 設(shè)設(shè))cos()sin(yixyix xshyixchyxshyixchysincoscossin yshxyxchichyshyxx2222)cos1(coscossin .2cos222cos22sin2222yshxyshiyshxx )Re(tanz )Im(tanz 32解解 , iyxz 設(shè)設(shè)例例 1010 . 1sin ishz 解解方方程程)sin(sinyixz xshyixchycoss

21、in , 1ish 0,sin xchy故故1cosshxshy , 0 chy因因, 0sin x所以所以, kx 代代入入將將 kx 1cosshxshy , 1)1(shshyk , 3, 1, 1, 4, 2, 0,1kky, 2, 1, 0,)12(2 nininz 或或即即33例例 1111 . )1(cos 的值的值求求i 解解2)1cos()1()1(iiiieei 211iiee )1sin1(cos)1sin1(cos211ieie 1sin)(211cos)(2111ieeee . 11sin11cosshich 345. 5. 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù).cosArc , ,cos zwzwwz 記作記作的反余弦函數(shù)的反余弦函數(shù)為為那么稱那么稱設(shè)設(shè),2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方方程程的的根根為為兩端取對數(shù)得兩端取對數(shù)得