大學(xué)行列式典型例題

1、 第二講 行列式綜合訓(xùn)練 第一部分例2.1 計算行列式，其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是零=解 這道題可以用多種方法進(jìn)行求解，充分應(yīng)用了行列式的各種性質(zhì)方法1 利用性質(zhì)，將行列式化為上三角行列式=-方法2 仍然是利用性質(zhì)，將行列式化為上三角行列式=-方法3 利用展開定理，將行列式化成對角行列式+而 =-=-方法4 利用公式=將最后一行逐行換到第2行，共換了次；將最后一列逐列換到第2列，也共換了次=-方法5 利用公式=例2.2 計算n階行列式： ()解 采用升階（或加邊）法該行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列，適當(dāng)選擇所增行（或列）的元素，使得下一步

2、化簡后出現(xiàn)大量的零元素 =這個題的特殊情形是=可作為公式記下來例2.3 計算階行列式： 其中解 這道題有多種解法方法1 化為上三角行列式其中，于是方法2 升階（或加邊）法方法3 遞推法將改寫為+由于 因此=為遞推公式，而，于是=例.4 設(shè)，證明存在使.證 因為是關(guān)于的二次多項式多項式,在上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理知,存在,使.例2.5 計算=解 這不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式進(jìn)行求解方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧進(jìn)行求解：從下向上，逐行操作（+）其中 =由于是范德蒙行列式，故=方法2 其中，=方法3 用升階法由于行列式中各列元素缺乏3次冪的元素，在中添加3次冪

3、的一行元素，再添加一列構(gòu)成5階范得蒙行列式：=按第5列展開得到的是的4次多項式，且的系數(shù)為 又利用計算范得蒙行列式的公式得= =其中的系數(shù)為由的系數(shù)相等得：=例2.6 設(shè)，計算a41 + a42 + a43 + a44 = ? 其中a4j(j= 1, 2, 3, 4)是|a|中元素a4j的代數(shù)余子式.解 直接求代數(shù)余子式的和工作量大可將改寫為，故a41 + a42 + a43 + a44 =例2.7 求解方程:解 方法1=由題設(shè)知所以是原方程的解.方法2 由題設(shè)知,當(dāng)時,由于行列式中有兩列對應(yīng)元素相同,行列式值為零,因此可寫成于是原方程的解為:例2.8 計算元素為aij = | ij|的n階行

4、列式.解 方法1 由題設(shè)知，=0，故其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行第二步用的每列加第列方法2 =例2.9 計算行列式解 方法1 按第一列展開：-=- =（-=（-（-方法2 本題也可利用拉普拉斯展開定理進(jìn)行計算，選定第2、3行，有：=（例2.10 計算=，其中未寫出的元素都是0解 方法1 利用公式=采用逐行操作，將最后一行逐行和上行進(jìn)行對換，直到換到第2行（作次相鄰對換）；最后一列逐列和上列換，換到第2列（作次相鄰對換），得到 = = =方法2 利用行列式展開定理進(jìn)行求解 +上面第1個行列式是的形式，而第2個行列式按第1列展開，所以= =例2.11 計算解 方法 采用遞推的方法進(jìn)行

5、求解+即 ， ， 故 方法2 采用降階的方法進(jìn)行求解 =例2.12 證明d= =證 方法1 遞推法 按第1列展開，有d= x d+（1）a = x d+ a由于d= x + a，于是d= x d+ a=x（x d+a）+ a=xd+ ax + a= xd+ ax+ ax + a=方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，第n列的x倍分別加到第1列上 =f其中或 d =f其中方法3 利用性質(zhì)，將行列式化為上三角行列式d x k= x( + +a+x)=方法4 + + =（1）（1）a+（1）（1） ax+（1）（1）ax +（1）( a+x) x = 例2.13 計算n階“三對角”行列式d=解 方法1

6、 遞推法dddd即有遞推關(guān)系式 d=dd (n3)故 遞推得到 而，代入上式得 （2.1）由遞推公式得d 方法2 把d按第1列拆成2個n階行列式d=上式右端第一個行列式等于d，而第二個行列式=于是得遞推公式，已與（2.1）式相同方法3 在方法1中得遞推公式d=dd又因為當(dāng)時 d=d= =-2= =于是猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=1時，等式成立，假設(shè)當(dāng)nk 時成立當(dāng)n=k+1是，由遞推公式得d=dd =所以對于nn，等式都成立 第二部分這一部分的題是與矩陣、向量、特征值等后續(xù)內(nèi)容有關(guān)的題，感覺困難的同學(xué)可以放到相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后再看但應(yīng)注意考研題中關(guān)于行列式內(nèi)容的出題,往往與后續(xù)內(nèi)容聯(lián)系較多例2

7、.14 設(shè)a為3×3矩陣, |a| =2, 把a(bǔ)按行分塊為, 其中是a的第行, 則行列式_.解 =例2.15 判斷題(1) 若是可乘矩陣，則 （ ） (2) 若均為階方陣，則 （ ）解 (1) 錯誤，因為不一定是方陣，即不一定有對應(yīng)的行列式(2) 錯誤，例如取，例2.16 證明:奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式為零.證 (n為奇數(shù)). 所以|a| = 0.例2.17 （數(shù)四，01，3分）設(shè)矩陣，且秩3，則= 解 由于 = =由3，知=0，而時，1，故必有例2.18 若，均為3階可逆方陣，計算解 =2例2.19 設(shè)3階方陣滿足方程 ，試求矩陣以及行列式，其中 解 由，得，即 由于 ， ， 所以

8、 例2.20 設(shè)為3階方陣，=2，求的值解 方法1 化為關(guān)于的形式進(jìn)行計算利用公式，有= 方法2 化為關(guān)于的形式計算利用公式，=，有=例2.21 （數(shù)四，98，3分）設(shè)均為階方陣，=2，=-3，求的值解 =例2.22 若都是4維列向量，且4階行列式，計算4階行列式的值解 如果行列式的列向量組為，則此行列式可表示為，利用行列式的性質(zhì)，有+=-=+=例2.23 計算行列式，其中， 解 = 這是逆對角的上三角行列式，所以 又，故注 這里用了公式：若為階方陣，為階方陣，則=例2.24 若為階方陣，為單位矩陣，滿足，求 解 方法1 由有 =即=0，而，所以=0方法2 因為 =即 = 有=0，而，所以=0方法3 由知矩陣為正交矩陣，即=1，=1，又因為，所以有，故 =即2=0，=0例2.25 若為階正定矩陣，為階單位矩陣，證明的行列式大于1證 方法1 因為為正定矩陣，因此所有的特征值大于零設(shè)的個特征值為，且，由特征值