數(shù)學(xué)建模答案 (3)

1、一、解釋下列詞語，并舉例說明(每小題滿分5分，共15分)1模型 答：為了某種特定的目的將原型的某一部分信息簡(jiǎn)化、壓縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物。如地圖。苯分子圖等。2數(shù)學(xué)模型 答：由數(shù)字、字母、或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象（原型）數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。3抽象模型 答：通過人們對(duì)原型的反復(fù)認(rèn)識(shí)，將獲取的知識(shí)以經(jīng)驗(yàn)的形式直接存儲(chǔ)在大腦中的模型稱之謂思維模型。從實(shí)際的人、物、事和概念中抽取所關(guān)心的共同特性，忽略非本質(zhì)的細(xì)節(jié)把這些特性用各種概念精確地加以描述。二、簡(jiǎn)答題（每小題滿分8分，共24分）1模型的分類按照模型替代原型的方式，模型可以簡(jiǎn)單分為形象模型和抽象模型兩類。形象模型：直觀模型，物理模型

2、，分子模型等；抽象模型：思維模型，符號(hào)模型，數(shù)學(xué)模型等。2數(shù)學(xué)建模的基本步驟(1) 建模準(zhǔn)備：確立建模課題的過程；(2) 建模假設(shè)：根據(jù)建模的目的將原型進(jìn)行抽象，簡(jiǎn)化.有目的性的原則。簡(jiǎn)明性原則，真實(shí)性原則和全面性原則。(3) 構(gòu)造模型：在模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對(duì)其進(jìn)行表征，構(gòu)造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻畫實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；(4) 模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，方法和算法，并借助計(jì)算機(jī)完成對(duì)模型的求解；(5) 模型分析：根據(jù)建模的目的的要求，對(duì)模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或

3、進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等；(6) 模型檢驗(yàn)：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀中去對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看它是否符合客觀實(shí)際；(7) 數(shù)學(xué)應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，將其用于分析，研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮建模在生產(chǎn)和科研中的特殊作用。3數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的根本作用在于他將客觀原型化繁為簡(jiǎn)，化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。正應(yīng)為如此，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)發(fā)展，科學(xué)預(yù)見，科學(xué)預(yù)測(cè)，科學(xué)管理，科學(xué)決策，駕控市場(chǎng)乃至個(gè)人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用。數(shù)學(xué)不僅僅是人們認(rèn)識(shí)世界的有力工具，而且對(duì)于人的素質(zhì)培養(yǎng)，無論實(shí)在自然科學(xué)，還是在社會(huì)科學(xué)中都隨

4、時(shí)發(fā)揮著作用，使其終生受益。特別是，當(dāng)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個(gè)學(xué)科的滲透，產(chǎn)生了眾多的邊緣學(xué)科。數(shù)學(xué)模型還物化與各種高新科技之中，從家用電器到天氣預(yù)報(bào)，從通信到廣播電視，從核電站到衛(wèi)星，高科技的高精度，高速度，高安全，高效率等特點(diǎn)無一不是通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計(jì)算機(jī)的計(jì)算，控制來實(shí)現(xiàn)。三、解答題（滿分20分）C 題 (9n+2, 9n+4) 某人從南郊前往北郊火車站乘火車,有兩條路可走. 第一條路穿過市中心,路程較短,但交通擁擠,所需時(shí)間(以分鐘計(jì)) 服從正態(tài)分布；第二條路沿環(huán)城公路走,路程較長(zhǎng),但意外阻塞較少,所需時(shí)間服從正態(tài)分布. 試

5、問(1)假如有50分鐘時(shí)間可用,應(yīng)走哪條路？(2)若只有40分鐘時(shí)間可用,又應(yīng)該走哪條路線解：(1)若有50分鐘可用，由于PX50=（50-35/）=0.95352PY50=（50-40/）=0.98745所以，此人從南郊到北郊火車站沿第二條路走，在50分鐘內(nèi)到達(dá)的概率比沿第一條路的概率大，因此此時(shí)應(yīng)選擇第二條路走。（2）若有40分鐘可用，由于PX40=（40-35/）=0.71226PY50=（40-40/）=0.5所以，此人從南郊到北郊火車站沿第一條路走，在40分鐘內(nèi)到達(dá)的概率比沿第二條路的概率大，所以此時(shí)應(yīng)選擇第一條路走。？E 題 (9n+4, 9n)錄像帶上有一個(gè)四位計(jì)數(shù)器，一盤180

6、分鐘的錄像帶在開始計(jì)數(shù)時(shí)為0000，到結(jié)束時(shí)計(jì)數(shù)為1849，實(shí)際走時(shí)為185分20秒. 我們從0084觀察到0147共用時(shí)3分20秒.若錄像機(jī)目前的計(jì)數(shù)為1428，問是否還能錄完一個(gè)60分鐘節(jié)目？建立數(shù)學(xué)模型給于回答. 四、綜合題（21分）L. 跑步中的數(shù)學(xué)問題(7n+2, 7n+6, 7n+4)跑步是基本活動(dòng)技能，是人體快速移動(dòng)的一種動(dòng)作姿勢(shì)。跑步和走路的主要區(qū)別在于兩腿在交替落地過程中有一個(gè)騰空階段。跑步是最簡(jiǎn)便而易見實(shí)效的體育健身內(nèi)容。近二三十年來，跑步已成為國(guó)內(nèi)外千百萬人參加的群眾健身運(yùn)動(dòng)， 是深受廣大群眾所歡迎的健身項(xiàng)目。人們普遍認(rèn)為跑步是最好的健身方法。 每個(gè)正常人都經(jīng)歷過跑步，有

7、人會(huì)疲憊不堪。 我們的問題是：怎樣跑不能使我們消耗的能量盡可能的少？問題提出：跑步中我們?nèi)绾稳?yīng)用數(shù)學(xué)模型去解答消耗能量的問題，是我現(xiàn)在面臨的一個(gè)問題。假設(shè)：（1） 跑步所花費(fèi)的時(shí)間分成兩部分：第一部分為兩條腿同時(shí)離開地面的時(shí)間；第二部分為一條腿或兩條腿同時(shí)落地的時(shí)間。這樣人的身體重心如圖所示。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)不妨設(shè)假設(shè)跑步是勻速的，速度為v .跑步所消耗的能量為 m為身體的質(zhì)量 m為腿部的質(zhì)量于是，跑步時(shí)所消耗的能量總和為用L表示人的身高，不妨設(shè)m、m與成正比，a與L成正比，即模型求解重心離開B 上升到最高點(diǎn)所需要的時(shí)間因此，最高的高度為所以 M. 飛機(jī)降落曲線(7n+3, 7n+5, 7n+6)圖

8、1在研究飛機(jī)的自動(dòng)著陸系統(tǒng)時(shí)，技術(shù)人員需要分析飛機(jī)的降落曲線（圖1）. 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一架水平飛行的飛機(jī)，其降落曲線是一條五次多項(xiàng)式. 飛行的高度為，飛機(jī)著陸點(diǎn)為原點(diǎn)，且在這個(gè)降落過程中，飛機(jī)的水平速度始終保持為常數(shù). 出于安全考慮，飛機(jī)垂直加速度的最大絕對(duì)值不得超過，此處是重力加速度. 1.若飛機(jī)從距降落點(diǎn)水平距離處開始降落，試確定出飛機(jī)的降落曲線. 2. 求開始下降點(diǎn)所能允許的最小值. P. 目標(biāo)的跟蹤(7n+6, 7n+2, 7n)設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于軸上點(diǎn)處的乙艦發(fā)射制導(dǎo)導(dǎo)彈，彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦. 如果乙艦以最大的速度(是常數(shù))沿平行于軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.

9、又問乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，它將被導(dǎo)彈擊中？五、復(fù)述題（21分）Q .三級(jí)火箭發(fā)射衛(wèi)星模型.(3n+1)1.衛(wèi)星能進(jìn)入600km高空軌道,火箭必須的最低速度.設(shè)地球半徑為R， 中心為O，質(zhì)量為M，曲線C表示地球表面， C表示衛(wèi)星軌道，C的半徑為r，衛(wèi)星的質(zhì)量為m。2）建模與求解 根據(jù)假設(shè)1.2、1.3，衛(wèi)星只受地球引力，由牛頓萬有引力定律可知其引力大小為(1)如果把衛(wèi)星放在地球表面，則由（1）式，得1.衛(wèi)星能進(jìn)入600km高空軌道,火箭必須的最低速度.2.火箭推進(jìn)力及升空速度 火箭的簡(jiǎn)單模型是由一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)和一個(gè)燃料倉(cāng)組成。燃料燃燒產(chǎn)生大量氣體從火箭末端噴出，給火箭一個(gè)向前的推力。火箭飛行要受地球引力、

10、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)等的影響，使火箭升空后作曲線運(yùn)動(dòng)。 1）模型假設(shè) 為使問題簡(jiǎn)化，假設(shè)： 2.1 火箭在噴氣推動(dòng)下作直線運(yùn)動(dòng)，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計(jì)； 2.2 在t時(shí)刻火箭質(zhì)量為m(t)，速度為v(t)，且均為時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)； 2.3 從火箭末端噴出氣體相對(duì)火箭本身的速度u為常數(shù),即氣體相對(duì)于地球的速度為v(t)-u2）建模與分析 由于火箭在運(yùn)動(dòng)過程中不斷噴出氣體，使其質(zhì)量不斷減少，在t, t+t 內(nèi)的減少量可由微分公式表示為因?yàn)閲姵鰵怏w相對(duì)地球的速度為v(t)-u，則由動(dòng)量守恒定律有表明火箭所受推力等于燃料消耗速度與噴氣速度(相對(duì)火箭)的乘積。表明，在一定的條件下，火箭

11、升空速度由噴氣速度(相對(duì)火箭)及質(zhì)量比決定。這為提高火箭速度找到了正確途徑：盡可能提高火箭燃燒室產(chǎn)生的氣體噴出的速度，這需要從燃料上想辦法；盡可能減少在時(shí)刻火箭的質(zhì)量，這要從結(jié)構(gòu)上想辦法。3. 一級(jí)火箭末速度上限火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量可分為三部分：凈載質(zhì)量(有效負(fù)載，如衛(wèi)星)mp, ， 燃料質(zhì)量mF ，結(jié)構(gòu)質(zhì)量(如外殼、燃料容器及推進(jìn)器) mS。一級(jí)火箭末速度上限主要是受目前技術(shù)條件的限制。1) 模型假設(shè) 3.1 一般來說，結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+ mF中占有一定的比例，在現(xiàn)有技術(shù)條件下，要使燃料與發(fā)動(dòng)機(jī)的質(zhì)量和小于所載燃料的1/9是很難做到的。 目前技術(shù)條件下不妨設(shè)相對(duì)火箭的噴氣速度u=3km/s.

12、 3.2 初速度v0忽略不計(jì)，即v0 =0.2）建模與求解 因?yàn)樯栈鸺淖罱K(燃料已耗盡)質(zhì)量為mp+ms。然后將燃料倉(cāng)和發(fā)動(dòng)機(jī)丟棄，只剩下凈載體，由式(1)及假設(shè)3.2得到其末速度為 由此可見，對(duì)于給定u值，當(dāng)有效負(fù)荷mp=0時(shí)，火箭末速度達(dá)到最大，即火箭末速度上限的數(shù)學(xué)模型由假設(shè)3.1，取u =3km, ，便得火箭末速度上限而衛(wèi)星能進(jìn)入 600km 高空軌道, 火箭末速度最低為 7.6km/s. 即便忽略空氣阻力、重力、不攜帶任何東西的情況下，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一級(jí)火箭發(fā)射衛(wèi)星，在目前技術(shù)條件下無法達(dá)到在相應(yīng)高度所需的速度，也就是說單級(jí)火箭不能用于發(fā)射衛(wèi)星。3) 模

13、型分析單級(jí)火箭一直將將燃料倉(cāng)和發(fā)動(dòng)機(jī)帶到了末端，而未將這些丟棄,火箭發(fā)動(dòng)機(jī)作了許多無用功。也就是說發(fā)動(dòng)機(jī)必須把整個(gè)沉重的火箭加速到最后,但是當(dāng)燃料耗盡時(shí),發(fā)動(dòng)機(jī)加速的僅僅是一個(gè)空的燃料倉(cāng). 這就是單級(jí)火箭設(shè)計(jì)方面的最大缺點(diǎn)，因此我們必須反思，有必要改進(jìn)火箭的設(shè)計(jì)。 理想火箭設(shè)想就是把無用的結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄以達(dá)到最佳的升空速度,雖然在目前的技術(shù)條件下難以辦到,但它確為發(fā)展火箭技術(shù)指明了奮斗目標(biāo)。目前已商業(yè)化的多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)便是朝著這種目標(biāo)邁出的第一步。多級(jí)火箭是從末級(jí)開始，逐級(jí)燃燒,當(dāng)?shù)趇級(jí)燃料燒盡時(shí),第i+1級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火,并拋棄已經(jīng)無用的第i 級(jí)。1. 多級(jí)火箭的速度為了簡(jiǎn)單起見，先作

14、如下假設(shè)： (1)mi 用表示第i級(jí)火箭質(zhì)量，mp表示有效負(fù)載。 (2)設(shè)各級(jí)火箭具有相同的b，b mi表示第i級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量, (1- b) mi表示第i級(jí)的燃料質(zhì)量。 (3)噴氣相對(duì)火箭的速度u 相同。2）模型建立與求解火箭的初始質(zhì)量為第一級(jí)火箭燃料消耗完畢時(shí)，火箭的質(zhì)量為此時(shí)第一級(jí)火箭的速度為將第一級(jí)火箭的結(jié)構(gòu)拋去，點(diǎn)燃第二級(jí)火箭，此時(shí)火箭的質(zhì)量為并且具有初速度v1 . 類似可求得第二級(jí)火箭燃料消耗完畢時(shí)，火箭的速度為那么第n級(jí)火箭燃料消耗完畢時(shí)，火箭的末速度為n級(jí)火箭的速度各級(jí)火箭質(zhì)量的分配1) 問題背景如何分配各級(jí)火箭質(zhì)量，使得火箭的有效負(fù)荷最大？這也就是說，如果知道火箭達(dá)到的末速度為v

15、，氣體噴射的速度為u，結(jié)構(gòu)比為b ；對(duì)于給定的初始質(zhì)量如何選擇質(zhì)量m1，m2，mn，使得有效負(fù)荷mp 最大2) 模型假設(shè)同前所述2) 模型建立 根據(jù)我們的分析，可以建立一個(gè)單目標(biāo)，非線性約束的優(yōu)化問題3) 模型求解ai 表示第i 級(jí)火箭點(diǎn)燃之前火箭系統(tǒng)的質(zhì)量與該級(jí)火箭被拋棄火箭系統(tǒng)質(zhì)量之比。那末將問題可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)優(yōu)化問題再令 那么顯然再將問題轉(zhuǎn)化為下面的優(yōu)化問題根據(jù)Lagrange乘數(shù)法，令當(dāng)最優(yōu)質(zhì)量比從圖中我們可以看到：多級(jí)火箭的最優(yōu)質(zhì)量比隨著火箭級(jí)數(shù)n的增加而減少.即以理想火箭的質(zhì)量比為極限.3) 三級(jí)火箭的最優(yōu)性對(duì)于v=10.5km/s，u=3km/s, =0.1，利用公計(jì)算多級(jí)火箭

16、的最優(yōu)質(zhì)量比n12345+m0/mp/148.8377.1665.0960.1948.566從上表中我們看到：三級(jí)火箭的最優(yōu)質(zhì)量比幾乎是二級(jí)火箭最優(yōu)質(zhì)量比2倍，也就是與二級(jí)火箭相比，在達(dá)到相同效果的情況下，三級(jí)火箭幾乎節(jié)省了一半。如果用更多級(jí)的火箭來代替三級(jí)火箭，雖然可以降低最優(yōu)質(zhì)量比，但降幅已經(jīng)不大，而且制造更多級(jí)的火箭，除了技術(shù)上的困難以外，增加的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)和燃料艙會(huì)大大提高火箭的成本。從這個(gè)意義上說，用三級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星是最優(yōu)的方案。此時(shí)， 若想將1噸重的衛(wèi)星送入軌道，運(yùn)載火箭發(fā)射時(shí)的總重量為77噸。J-S試題分以下幾部分完成1. 論文題目；2. 論文摘要（不得超過300字）3. 關(guān)鍵詞（不得少于三個(gè)）4. 論文正文：?jiǎn)栴}提出（按你的理解對(duì)所給題目做更清晰的表述）；問題分析（根具問題