全國初中數(shù)學競賽試題

1、n中學生學習方法指導 2006年全國初中數(shù)學競賽試題考試時間 2006年4月2日上午 9301130 滿分120分一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為a，b，c，d的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經過一個速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時經過這兩種設施，那么第二次同時經過這兩種設施的千米數(shù)是（ ）（a）36 （b）37 （c）55 （d）902已知，且=8，則a的值等于（ ） （a）5 （b）

2、5 （c）9 （d）9 3rtabc的三個頂點a，b，c均在拋物線上，并且斜邊ab平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（a）h<1 （b）h=1 （c）1<h<2 （d）h>24一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（a）2004 （b）2005 （c）2006 （d）2007（第5題圖）abcdoqp5如圖，正方形abcd內接于o，點p在

3、劣弧ab上，連結dp，交ac于點q若qp=qo，則的值為（ ）（a）（b） （c）（d）二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）（第7題圖）abcdgfe6已知a，b，c為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若a<b，則abc的最大值為 7如圖，面積為的正方形defg內接于面積為1的正三角形abc，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質數(shù)的平方整除，則的值等于 8正五邊形廣場abcde的周長為2000米甲、乙兩人分別從a、c兩點同時出發(fā)，沿abcdea方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分那么出發(fā)后經過 分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上9已知0<

4、a<1，且滿足，則的值等于 (表示不超過x的最大整數(shù))10小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電話號碼小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是 三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11已知，為互質的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1），且8，（1） 試寫出一個滿足條件的x；（2） 求所有滿足條件的x12設，為互不相等的實數(shù)，且滿足關系式 求a的取值范圍（第13題）abcopek13如圖，點p

5、為o外一點，過點p作o的兩條切線，切點分別為a，b過點a作pb的平行線，交o于點c連結pc，交o于點e；連結ae，并延長ae交pb于點k求證：pe·ac=ce·kb1410個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中求n的最小值2006年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為a，b，c，d的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1在高速公路上，從3千米處

6、開始，每隔4千米經過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經過一個速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時經過這兩種設施，那么第二次同時經過這兩種設施的千米數(shù)是（ ）（a）36 （b）37 （c）55 （d）90答：c解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，1936=55，所以第二次同時經過這兩種設施的千米數(shù)是在55千米處故選c2已知，且=8，則a的值等于（ ） （a）5 （b）5 （c）9 （d）9 答：c解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故選c3rtabc的三個頂點a，b，c均在拋物線上，并且斜邊ab平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（a）h<1 （b）h=1 （c）1<

7、;h<2 （d）h>2答：b解：設點a的坐標為（a，a2），點c的坐標為（c，c2）（|c|<|a|），則點b的坐標為（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜邊ab上高h= a2c2=1故選b4一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（a）2004 （b）2005 （c）2006 （d）2007答：b解：根據(jù)題意，用剪刀沿

8、不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內角和增加360°于是，剪過k次后，可得(k1)個多邊形，這些多邊形的內角和為(k1)×360°因為這(k1)個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內角和為34×(622)×180°=34×60×180°，其余多邊形有(k1)34= k33(個)，而這些多邊形的內角和不少于(k33) ×180°所以(k1)×360°34×60×180°(k33)×180°，解得k20

9、05當我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結論先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和33×58個三角形于是共剪了583333×58=2005（刀）故選b（第5題圖）abcdoqp5如圖，正方形abcd內接于o，點p在劣弧ab上，連結dp，交ac于點q若qp=qo，則的值為（ ）（a）（b）

10、（c）（d）答：d（第5題圖）abcdoqp解：如圖，設o的半徑為r，qo=m，則qp=m，qc=rm，qa=rm在o中，根據(jù)相交弦定理，得qa·qc=qp·qd即 (rm)(rm)=m·qd ，所以 qd=連結do，由勾股定理，得qd2=do2qo2，即 ， 解得所以， 故選d二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）6已知a，b，c為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若a<b，則abc的最大值為 答：5013解：由，得 因為，a<b，a為整數(shù)，所以，a的最大值為1002（第7題圖）abcdgfe于是，abc的最大值為50137如圖，面積為

11、的正方形defg內接于面積為1的正三角形abc，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質數(shù)的平方整除，則的值等于 答：解：設正方形defg的邊長為x，正三角形abc的邊長為m，則，由adgabc，可得， 解得于是 ，由題意，所以8正五邊形廣場abcde的周長為2000米甲、乙兩人分別從a、c兩點同時出發(fā)，沿abcdea方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分那么出發(fā)后經過 分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上答：104解：設甲走完x條邊時，甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時甲走了400x米，乙走了46×=368x米于是368(x1)800400(x1)>

12、;400，所以，12.5x<13.5 故x=13，此時9已知0<a<1，且滿足，則的值等于 (表示不超過x的最大整數(shù))答：6解：因為0<，所以，等于0或1由題設知，其中有18個等于1，所以=0，=1，所以 ，12故1830a19，于是610 a，所以=610小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電話號碼小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是 答：282500解：設原來電話號碼的六位數(shù)為，則經過

13、兩次升位后電話號碼的八位數(shù)為根據(jù)題意，有81×= 記，于是 ，解得x=1250×(20871a) 因為0x，所以01250×(20871a)，故 因為a為整數(shù)，所以a=2于是x=1250×(20871×2)=82500所以，小明家原來的電話號碼為282500三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11已知，為互質的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1），且8，（1）試寫出一個滿足條件的x；（2）求所有滿足條件的x解：（1）滿足條件 5分（2）因為，為互質的正整數(shù)，且8，所以， 即 當a=1時，這樣的正整數(shù)不存在當a=2時，故=1，

14、此時當a=3時，故=2，此時當a=4時，與互質的正整數(shù)不存在當a=5時，故=3，此時當a=6時，與互質的正整數(shù)不存在當a=7時，故=3，4，5此時，當a=8時，故=5，此時所以，滿足條件的所有分數(shù)為，15分12設，為互不相等的實數(shù)，且滿足關系式 求a的取值范圍 解法一：由2×得，所以a>1當a>1時， =10分又當時，由，得 ， 將兩邊平方，結合得化簡得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范圍為a>1且，15分解法二：因為，所以，所以 又，所以，為一元二次方程 的兩個不相等實數(shù)根，故，所以a>1當a>1時， =10分 另外，當時，由式有 ，即 或 ，解得

15、，或當時，同理可得或所以，a的取值范圍為a>1且，15分（第13題）abcopek13如圖，點p為o外一點，過點p作o的兩條切線，切點分別為a，b過點a作pb的平行線，交o于點c連結pc，交o于點e；連結ae，并延長ae交pb于點k求證：pe·ac=ce·kb證明：因為acpb，所以kpe=ace又pa是o的切線，所以kap=ace，故kpe=kap，于是 kpekap，所以 ， 即 由切割線定理得 所以 10分因為acpb，kpeace，于是 故 ，即 pe·ac=ce·kb 15分1410個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生

16、至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中求n的最小值解：設10個學生為，n個課外小組，首先，每個學生至少參加兩個課外小組否則，若有一個學生只參加一個課外小組，設這個學生為，由于每兩個學生至少在某一個小組內出現(xiàn)過，所以其它9個學生都與他在同一組出現(xiàn)，于是這一組就有10個人了，矛盾 5分若有一學生恰好參加兩個課外小組，不妨設恰好參加，由題設，對于這兩組，至少有兩個學生，他們沒有參加這兩組，于是他們與沒有同過組，矛盾所以，每一個學生至少參加三個課外小組于是n個課外小組，的人數(shù)之和不小于3×10=30另一方面，每一課外小組的人數(shù)不超過5，所以n個

17、課外小組，的人數(shù)不超過5n， 故 5n30， 所以n6 10分下面構造一個例子說明n=6是可以的，容易驗證，這樣的6個課外小組滿足題設條件所以，n的最小值為6 15分as of microsoft® internet explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your web pages using visual filters and transitions. you can apply visual filters and transitions to standard html controls, such as

18、 text containers, images, and other windowless objects. transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. by combining filters and transitions with basic scripting, you can create visually engaging and interactive documents.internet explorer 5.5 and late

19、r supports a rich variety of optimized filters. click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheprocedural surfaces are colored surfaces that display between the content of an object and the object's background. procedural surfaces define each pixel's rgb color and alpha values dynamically. only the procedure used to compute th