大學(xué)物理課件：力學(xué)1動(dòng)力學(xué)C-動(dòng)量與角動(dòng)量守恒

1、 3月月14日日力學(xué)力學(xué)V 動(dòng)量與角動(dòng)量動(dòng)量與角動(dòng)量Mechanics V - Momentum and Angular Momentum 物理問(wèn)題與微分方程物理問(wèn)題與微分方程勻變速運(yùn)動(dòng)：勻變速運(yùn)動(dòng)：為恒量為恒量t0tt20012,d)(d),(22ttrtvrF牛頓第二定律牛頓第二定律上述方程中，需要兩個(gè)初始條件：上述方程中，需要兩個(gè)初始條件：初始速度和初始位置初始速度和初始位置 世界是三維的，絕大部分物理現(xiàn)象可以用世界是三維的，絕大部分物理現(xiàn)象可以用二階偏微分方程二階偏微分方程描述描述 所有物理問(wèn)題都是所有物理問(wèn)題都是定解定解問(wèn)題：?jiǎn)栴}：解是解是存在的，唯一的，有限的，穩(wěn)定的存在的，唯一的

2、，有限的，穩(wěn)定的 ( (定積分定積分& &不定積分不定積分) ) 初始條件初始條件( (時(shí)間時(shí)間) )與與邊界條件邊界條件( (空間空間) )02uuaunt穩(wěn)定方程：演化方程：）（），用球坐標(biāo)（球形：），用極（柱）坐標(biāo)（圓形：）用直角坐標(biāo)（矩形：邊界形狀,rzzyx）（初始速度：）（初始狀態(tài)：初始條件rgurfuttt00|速度和位移是更基本的量！速度和位移是更基本的量！Impulse & Momentum Theorem沖量與動(dòng)量定理沖量與動(dòng)量定理1. 沖量沖量設(shè)在時(shí)間間隔設(shè)在時(shí)間間隔dt 內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所受的力內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所受的力為為F，則稱則稱ddIF t 為為 在在dt

3、時(shí)間內(nèi)給質(zhì)點(diǎn)內(nèi)的沖量。時(shí)間內(nèi)給質(zhì)點(diǎn)內(nèi)的沖量。Fd21ttIF t 時(shí)間由時(shí)間由21tt 若質(zhì)點(diǎn)受力的持續(xù)作用，若質(zhì)點(diǎn)受力的持續(xù)作用， 則在這段時(shí)間內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)內(nèi)的沖量為則在這段時(shí)間內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)內(nèi)的沖量為:(力的時(shí)間累積效應(yīng)力的時(shí)間累積效應(yīng))12. 動(dòng)量定理動(dòng)量定理ddPFt 利用牛頓第二定律可得利用牛頓第二定律可得:dddIF tPd2121ttIF tPP d21ttIF t ddIF t 動(dòng)量定理：沖量等于動(dòng)量的增量。動(dòng)量定理：沖量等于動(dòng)量的增量。IP ddIP (微分形式微分形式)(積分形式積分形式)注意：注意：動(dòng)量定理適用于慣性參考系。在非慣性系動(dòng)量定理適用于慣性參考系。在非慣性系 中還須

4、考慮慣性力的沖量。中還須考慮慣性力的沖量。 動(dòng)量定理常用于碰撞和打擊問(wèn)題。在這些過(guò)動(dòng)量定理常用于碰撞和打擊問(wèn)題。在這些過(guò)程中，物體相互作用的時(shí)間極短，但力卻很大且程中，物體相互作用的時(shí)間極短，但力卻很大且隨時(shí)間急劇變化。這種力通常叫做隨時(shí)間急劇變化。這種力通常叫做沖力沖力 。2 沖力的瞬時(shí)值很難確定，但在過(guò)程的始末兩沖力的瞬時(shí)值很難確定，但在過(guò)程的始末兩時(shí)刻時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量比較容易測(cè)定質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量比較容易測(cè)定, 所以動(dòng)量定理可以所以動(dòng)量定理可以為估算沖力的大小帶來(lái)方便。為估算沖力的大小帶來(lái)方便。 d2121ttF tPP 引入平均沖力引入平均沖力 F d2121( )()ttF ttF tt d

5、21212121( )ttF ttPPFtttt 則則:3例例1. 設(shè)機(jī)槍子彈的質(zhì)量為設(shè)機(jī)槍子彈的質(zhì)量為50g,離開(kāi)槍口時(shí)的速度離開(kāi)槍口時(shí)的速度 為為800m/s。若每分鐘發(fā)射。若每分鐘發(fā)射300發(fā)子彈，求射手發(fā)子彈，求射手 肩部所受到的平均壓力。肩部所受到的平均壓力。解解:300 0.05 80020060F tmvN PFt tvm d21212121( )ttF ttPPFtttt 射手肩部所受到的平均壓力為射手肩部所受到的平均壓力為根據(jù)動(dòng)量定理根據(jù)動(dòng)量定理4例例2.飛機(jī)以飛機(jī)以v=300m/s(即即1080 km/h)的速度飛行的速度飛行,撞撞 到一質(zhì)量為到一質(zhì)量為m=2.0kg的鳥的

6、鳥,鳥的長(zhǎng)度為鳥的長(zhǎng)度為l0.3 m。 假設(shè)鳥撞上飛機(jī)后隨同飛機(jī)一起運(yùn)動(dòng)假設(shè)鳥撞上飛機(jī)后隨同飛機(jī)一起運(yùn)動(dòng), 試估算試估算 它們相撞時(shí)的平均沖力的大小。它們相撞時(shí)的平均沖力的大小。 解解: 以地面為參考系以地面為參考系, 把鳥看作質(zhì)點(diǎn)把鳥看作質(zhì)點(diǎn),因鳥的速度遠(yuǎn)因鳥的速度遠(yuǎn)小于飛機(jī)的小于飛機(jī)的, 可將它在碰撞前的速度大小近似可將它在碰撞前的速度大小近似地取為地取為v0=0 m/s, 碰撞后的速度大小碰撞后的速度大小v300m/s。由動(dòng)量定理可得由動(dòng)量定理可得0mvmvIF t 碰撞經(jīng)歷的時(shí)間就取為飛機(jī)飛過(guò)鳥的長(zhǎng)度碰撞經(jīng)歷的時(shí)間就取為飛機(jī)飛過(guò)鳥的長(zhǎng)度l的距離所需的時(shí)間，則的距離所需的時(shí)間，則:000

7、()/mv vvmvmvmvmvFtl vl N.5100630)0300(30002 5例例3. 如圖所示如圖所示, 在光滑平面上在光滑平面上, 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn) 以角速以角速 沿半徑為沿半徑為R的圓周作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。的圓周作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 試分別根據(jù)沖量的定義式和動(dòng)量定理，求出試分別根據(jù)沖量的定義式和動(dòng)量定理，求出 在在 從從0變到變到 /2的過(guò)程中外力的沖量。的過(guò)程中外力的沖量。 x RvmyO解解: 質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力為質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力為 2( cossin)FmRij 根據(jù)沖量的定義，有根據(jù)沖量的定義，有dd22112( cossin)ttttIF tmRijtddd

8、/220( cossin)tmRij d/20(cossin)()mRijmR ij 按動(dòng)量定理可得合力的沖量為按動(dòng)量定理可得合力的沖量為:21IPPP jmvivm )()(jiRm 6例例4. 4. 一鉛直懸掛著的勻質(zhì)柔軟細(xì)繩長(zhǎng)為一鉛直懸掛著的勻質(zhì)柔軟細(xì)繩長(zhǎng)為L(zhǎng) L, ,下端剛下端剛 好觸及水平桌面好觸及水平桌面, ,現(xiàn)松開(kāi)繩的上端現(xiàn)松開(kāi)繩的上端, ,讓繩落到讓繩落到 桌面上。試證明桌面上。試證明: :在繩下落的過(guò)程中在繩下落的過(guò)程中, ,任意時(shí)任意時(shí) 刻作用于桌面的壓力刻作用于桌面的壓力N N, ,等于已落到桌面上的等于已落到桌面上的 繩重繩重G G的三倍的三倍。解：解：考慮考慮d dy

9、 y段的下落過(guò)程段的下落過(guò)程: :dddddymF tPm vyLt dd2()ymFLt 2mvL gyv22 2yFmgL 依牛頓第三定律依牛頓第三定律, d, dy y段對(duì)桌面段對(duì)桌面的作用力大小亦為的作用力大小亦為F:F:3yGmgNGFGLO Oy yy+y+d dy yy yd dy yL7 7質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 Momentum Theorem for System of Particles & Principle of Conservation of Momentum1. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系中第質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)

10、點(diǎn)所受的內(nèi)力和外力之和為個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)力和外力之和為 外內(nèi)iiiFfF ddPFt 依牛頓第二定律，有依牛頓第二定律，有ddiiPFt dd()iiifFtP 即即: 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有的質(zhì)點(diǎn)寫出類似的式子，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有的質(zhì)點(diǎn)寫出類似的式子，并將全部式子相加得并將全部式子相加得 dd()iiiiifFtP 內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)外外外外8ddd()()iiiiiiftFtP 0diiP iiFF iiPP 記記系統(tǒng)所受的合外力系統(tǒng)所受的合外力系統(tǒng)的總動(dòng)量系統(tǒng)的總動(dòng)量則有則有ddF tP 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：系統(tǒng)在某一段時(shí)間內(nèi)所受合：系統(tǒng)在某一段時(shí)間內(nèi)所受合外力的總沖量等于在同一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的總動(dòng)

11、量外力的總沖量等于在同一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的總動(dòng)量的增量。的增量。且且d21ttF tP 積分形式積分形式微分形式微分形式質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理動(dòng)量定理若在非慣性系中若在非慣性系中,還須考慮慣性力的沖量。還須考慮慣性力的沖量。 (適用于慣性系適用于慣性系)dd()iiiiifFtP 內(nèi)內(nèi)外外外外9牛頓第三定律牛頓第三定律2. 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 F恒矢量 iiiiivmP動(dòng)量守恒定律在直角坐標(biāo)系中的動(dòng)量守恒定律在直角坐標(biāo)系中的分量式：分量式：常數(shù)時(shí) iixixvm ,F0常數(shù)時(shí) iiyiyvm,F0常數(shù)時(shí) iizizvm,F00 P對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系iiFF iiPP ddF

12、 tP d21ttF tP 外外10例例5. 水平光滑冰面上有一小車水平光滑冰面上有一小車,長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為L(zhǎng),質(zhì)量為質(zhì)量為 M。車的一端有一質(zhì)量為。車的一端有一質(zhì)量為m的人的人,人和車原人和車原 來(lái)均靜止。若人從車的一端走到另一端來(lái)均靜止。若人從車的一端走到另一端, 求求:人和車各移動(dòng)的距離。人和車各移動(dòng)的距離。解解:設(shè)人速為設(shè)人速為u,車速為車速為v。vu系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒 ，Mv+ mu= 0 mvuM dd00ttttmv tu tM xmxxM 車地車地人地人地xxx人地人地人車人車車地車地MLxMm 人地人地mLxMm 車地車地xL 人車人車113. 變質(zhì)

13、量問(wèn)題變質(zhì)量問(wèn)題(動(dòng)量定理與火箭飛行原理動(dòng)量定理與火箭飛行原理) dvv m+dmvmdmt 時(shí)刻時(shí)刻質(zhì)量質(zhì)量速度速度動(dòng)量動(dòng)量mvdvv vmP 1t+dt 時(shí)刻時(shí)刻dmm dd2()()Pmm vv d()m v v 火箭受外力為：火箭受外力為：F由動(dòng)量定理得：由動(dòng)量定理得：d21F tPP化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：dddd()mvmFvtt 密歇爾斯基方程密歇爾斯基方程噴出的氣體相對(duì)火箭箭體的速度噴出的氣體相對(duì)火箭箭體的速度或：或：ddd()()()mm vvm vmv (此處此處dmm1,則哪個(gè)先到？1 1220m v Rm v R體重輕的先到達(dá)為零M : M : 物理學(xué)之美物理學(xué)之美 I : 簡(jiǎn)

14、單性與普遍性簡(jiǎn)單性與普遍性(Simplicity-Universality) 簡(jiǎn)單性簡(jiǎn)單性 牛頓三定律牛頓三定律+萬(wàn)有引力定律的形式簡(jiǎn)單萬(wàn)有引力定律的形式簡(jiǎn)單 最基本的物理定律的形式都簡(jiǎn)單最基本的物理定律的形式都簡(jiǎn)單 E=mC2 普遍性普遍性 從浩瀚無(wú)邊的宇宙到微觀世界的基本粒子，從浩瀚無(wú)邊的宇宙到微觀世界的基本粒子，無(wú)不是物理學(xué)家的研究對(duì)象；從星系到夸克無(wú)不是物理學(xué)家的研究對(duì)象；從星系到夸克，全部都遵循著基本的物理規(guī)律。，全部都遵循著基本的物理規(guī)律。 蘋果落地到太陽(yáng)系都遵循相同的規(guī)則，都可蘋果落地到太陽(yáng)系都遵循相同的規(guī)則，都可以根據(jù)相同的物理規(guī)律被精確的預(yù)言以根據(jù)相同的物理規(guī)律被精確的預(yù)言物

15、理學(xué)之美物理學(xué)之美 II： 對(duì)稱性對(duì)稱性 (Symmetry)對(duì)稱就是美對(duì)稱就是美),(),(zyxfzyxf關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱( (徑向?qū)ΨQ徑向?qū)ΨQ) )關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱( (旋轉(zhuǎn)對(duì)稱旋轉(zhuǎn)對(duì)稱) ),(),(rfrf “ “當(dāng)我們默默考慮一當(dāng)我們默默考慮一下這中間所包含的數(shù)學(xué)推下這中間所包含的數(shù)學(xué)推理的優(yōu)美和它美麗的完整理的優(yōu)美和它美麗的完整性，并以此對(duì)比它的復(fù)雜性，并以此對(duì)比它的復(fù)雜性、深入的物理成果，我性、深入的物理成果，我們就不能不深深感到對(duì)對(duì)們就不能不深深感到對(duì)對(duì)稱定律的力量的欽佩。稱定律的力量的欽佩?！?楊振寧楊振寧 空間平移不變性空間平移不變性 物理定律

16、在任何位置都相同，相同的物理實(shí)物理定律在任何位置都相同，相同的物理實(shí)驗(yàn)在任何位置都得出相同結(jié)果驗(yàn)在任何位置都得出相同結(jié)果 空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性 物理定律在任何方向都相同，相同的物理實(shí)物理定律在任何方向都相同，相同的物理實(shí)驗(yàn)在任何方向都得出相同結(jié)果驗(yàn)在任何方向都得出相同結(jié)果 時(shí)間平移不變性時(shí)間平移不變性 物理定律在任何時(shí)間都相同，相同的物理實(shí)物理定律在任何時(shí)間都相同，相同的物理實(shí)驗(yàn)在任何時(shí)間都得出相同結(jié)果驗(yàn)在任何時(shí)間都得出相同結(jié)果 時(shí)間反演不變性時(shí)間反演不變性 物理規(guī)律在將時(shí)間反向后仍然保持不變物理規(guī)律在將時(shí)間反向后仍然保持不變物理學(xué)之美物理學(xué)之美 II： 不變性不變性 A(Invari

17、ance) 空間不變性可以用來(lái)降低維度而簡(jiǎn)化問(wèn)題空間不變性可以用來(lái)降低維度而簡(jiǎn)化問(wèn)題物理學(xué)之美物理學(xué)之美 II： 不變性不變性 B(Invariance)0),(xtrF3維維-2維維-1維維-0維維 時(shí)間不變性對(duì)應(yīng)于時(shí)間不變性對(duì)應(yīng)于守恒律守恒律0),(ttrF演化演化(含時(shí)含時(shí))問(wèn)題問(wèn)題-穩(wěn)態(tài)問(wèn)題穩(wěn)態(tài)問(wèn)題物理學(xué)理論的建立步驟：物理學(xué)理論的建立步驟： 建立基本的物理量建立基本的物理量(時(shí)間與空間的函數(shù)時(shí)間與空間的函數(shù))與對(duì)應(yīng)的基本方程與對(duì)應(yīng)的基本方程 找出其中的對(duì)稱性找出其中的對(duì)稱性(空間空間)-不變性不變性(時(shí)空時(shí)空)-守恒律守恒律(時(shí)間時(shí)間) 根據(jù)方程與定律由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由一般到個(gè)別根據(jù)方

18、程與定律由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由一般到個(gè)別(應(yīng)用物理應(yīng)用物理) 北極星就是古代不變性的例子北極星就是古代不變性的例子 時(shí)間在伽利略變換中保持不變時(shí)間在伽利略變換中保持不變 光速在洛侖茲變換中保持不變光速在洛侖茲變換中保持不變Noethers theorem每種不變性對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒量每種不變性對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒量物理學(xué)之美物理學(xué)之美III：守恒律守恒律不變性不變性守恒量守恒量空間平移不變線動(dòng)量精確空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變角動(dòng)量精確時(shí)間平移不變質(zhì)能精確能量/質(zhì)量近似時(shí)間反演不變-近似電磁相互作用電荷精確弱相互作用同位旋精確輕子數(shù)近似強(qiáng)相互作用色荷精確重子數(shù)近似物理學(xué)中的常數(shù)物理學(xué)中的常數(shù)常數(shù)常數(shù)符號(hào)符號(hào)數(shù)值數(shù)值不確定度（不確

19、定度（10-6）真空中光速真空中光速c2.99792458108m/s準(zhǔn)確（定義）準(zhǔn)確（定義）萬(wàn)有引力常數(shù)萬(wàn)有引力常數(shù)G6.6738410-11m3/(kgs2)120電子電荷電子電荷e1.60217656510-19C0.022普朗克常數(shù)普朗克常數(shù)h6.6260695710-34Js0.044阿伏伽德羅常數(shù)阿伏伽德羅常數(shù)NA6.022141291023 mol-10.044電子質(zhì)量電子質(zhì)量me9.1093829110-31kg0.044質(zhì)子質(zhì)量質(zhì)子質(zhì)量mp1.67262177710-27kg0.044中子質(zhì)量中子質(zhì)量mn1.67492735110-27kg0.044玻爾茲曼常數(shù)玻爾茲曼常數(shù)k

20、B1.380648810-23J/K0.91物理學(xué)院引力中心物理學(xué)院引力中心: 萬(wàn)有引力常數(shù)萬(wàn)有引力常數(shù)G的測(cè)量的測(cè)量今日科學(xué)家：歐拉今日科學(xué)家：歐拉(Leonhard Euler)開(kāi)普勒開(kāi)普勒(Johannes Kepler)(1707-1783)牛頓提到的真正的巨人牛頓提到的真正的巨人/ /中世紀(jì)最偉大的天文學(xué)家中世紀(jì)最偉大的天文學(xué)家天文學(xué)天文學(xué): : 行星運(yùn)動(dòng)的三大定律行星運(yùn)動(dòng)的三大定律光學(xué)：小孔成像與開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡光學(xué)：小孔成像與開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡數(shù)學(xué)：微元法數(shù)學(xué)：微元法開(kāi)普勒的貢獻(xiàn)開(kāi)普勒的貢獻(xiàn) 天文學(xué)：天文學(xué)：平方反比定律平方反比定律 開(kāi)普勒三定律開(kāi)普勒三定律“天空立法者天空立法者” 軌道定律：所有行星分別是在大小不同的橢圓軌軌道定律：所有行星分別是在大小不同的橢圓軌道上運(yùn)行；道上運(yùn)行； 面積定律：同樣的時(shí)間里行星向徑在軌道平面上面積定律：同樣的時(shí)間里行星向徑在軌道平面上所掃