第六章_套利定價理論(金融經濟學導論,對外經濟貿易大學 )

1、 第六章 套利定價模型 Arbitrage Pricing Theory本章主要問題和學習重點n了解和掌握金融市場均衡的特殊機制無風了解和掌握金融市場均衡的特殊機制無風險套利均衡機制險套利均衡機制n掌握無套利均衡下的證券收益與風險的關系掌握無套利均衡下的證券收益與風險的關系n第一節(jié)第一節(jié) 套利定價理論的假設和邏輯起點套利定價理論的假設和邏輯起點n第二節(jié)第二節(jié) 套利及套利的發(fā)生套利及套利的發(fā)生n第三節(jié)第三節(jié) 套利定價理論的模型套利定價理論的模型n第一節(jié)套利定價理論的假設和邏輯起點第一節(jié)套利定價理論的假設和邏輯起點一、套利定價理論的假設條件分析一、套利定價理論的假設條件分析二、套利定價理論的邏輯起

2、點二、套利定價理論的邏輯起點一套利定價理論的假設條件分析 我們把套利模型的假設條件和我們把套利模型的假設條件和CAPM模型模型的假設條件作個比較，可以得到的假設條件作個比較，可以得到APT模型模型和和CAPM模型共同擁有的以下假設：模型共同擁有的以下假設：n投資者有相同的投資理念存在著大量投資投資者有相同的投資理念存在著大量投資者，投資者是價格的接受者，單個投資者者，投資者是價格的接受者，單個投資者的交易行為對證券價格不發(fā)生影響。的交易行為對證券價格不發(fā)生影響。n投資者追求效用最大化投資者追求效用最大化n沒有交易成本。沒有交易成本。 而而APT模型不需要以下的假設條件：模型不需要以下的假設條件

3、：n 單一投資期單一投資期n不存在稅的問題不存在稅的問題n投資者能以無風險利率自由地借入和貸出投資者能以無風險利率自由地借入和貸出資金資金n投資者以回報率的均值和方差選擇投資組投資者以回報率的均值和方差選擇投資組合合二套利定價理論模型的邏輯起點因素模型與充分分散風險的投資組合1. 因素模型 在套利定價理論中，我們將先從考察一個單因素模型入手，這個模型假設只有單個系統因素影響證券的收益。 資產收益的不確定性來自兩個方面：共同或宏觀經濟因素和廠商的特別風險 n如果我們用如果我們用F表示共同因素期望值的偏差，表示共同因素期望值的偏差，i表示廠商表示廠商i對該因素的敏感性，對該因素的敏感性，i表示廠商

4、特定表示廠商特定的擾動，則該單因素模型表明廠商的實際收益的擾動，則該單因素模型表明廠商的實際收益等于其初始期望收益加上一項由未預料的整個等于其初始期望收益加上一項由未預料的整個經濟事件引起（零期望值）的隨機量，再加上經濟事件引起（零期望值）的隨機量，再加上另一項由廠商特定事件引起（零期望值）的隨另一項由廠商特定事件引起（零期望值）的隨機量。機量。n其公式為：其公式為：ri = E(ri)+i F in條件是條件是：0),cov(0),cov(, 0)(, 0)(jiiieeeFeEFEn為了使這個單因素模型更加具體，我們舉一個例子：n假設宏觀因素F代表國民生產總值（GNP）的意外的百分比變化，

5、而輿論認為今年GNP將變化4%。我們還假定一種股票的值為1.2。n如果GNP只增長了3%，則F值為-1%，表明在與期望增長相比較時，實際增長有1%的失望。給定該股票的值，可將失望轉化為一項表示比先前的預測低1.2%的股票的收益。這項宏觀的意外加上廠商特定的擾動，就決定了該股票的收益對其原始期望值的全部偏離程度。2. 充分分散風險的投資組合充分分散風險的投資組合 假如一個投資組合是充分分散風險假如一個投資組合是充分分散風險的，那它的廠商特定風險或非系統風的，那它的廠商特定風險或非系統風險可以被分散掉，保留下來的只有因險可以被分散掉，保留下來的只有因素（系統）風險，即收益與風險為：素（系統）風險，

6、即收益與風險為： 1()pppppFnpiiirE rFw 這里：這里：n我們把充分分散的投資組合定義為：滿足我們把充分分散的投資組合定義為：滿足按比例分散持有足夠大數量的證券組合，按比例分散持有足夠大數量的證券組合，而每種證券而每種證券i的數量又小到可以使非系統方的數量又小到可以使非系統方差被忽略掉。差被忽略掉。 n既然非系統風險因素可以被分散掉，那么既然非系統風險因素可以被分散掉，那么只有系統風險在市場均衡中控制證券的風只有系統風險在市場均衡中控制證券的風險溢價。在充分分散的投資組合中，各個險溢價。在充分分散的投資組合中，各個廠商之間的非系統風險相互抵償，因此，廠商之間的非系統風險相互抵償

7、，因此，在一個證券組合中，與其期望收益相關的在一個證券組合中，與其期望收益相關的就只有系統風險了。就只有系統風險了。第二節(jié) 套利及套利的發(fā)生n一、具有相同貝塔值的套利n二、具有不同貝塔值的套利n三、多因素的套利一、具有相同值的套利n如果兩個充分分散化的投資組合有相同的值，那它們在市場中必定有相同的預期收益。)()(BABArErE 套利組合的構成及套利過程 (0.10+1.0F)100萬美元（在資產組合 A上作多頭）（0.081.0F）100萬美元（在資產組合B上作空頭）_ 0.02100萬美元20 000美元 （凈收益）()ppprE rF已知分散化的投資組合的收益是：（單因素） 這樣，我們

8、就獲得了一項無風險利潤。這這樣，我們就獲得了一項無風險利潤。這項策略要求凈投資為零。我們應繼續(xù)需求一個項策略要求凈投資為零。我們應繼續(xù)需求一個盡可能大的投資規(guī)模，直至兩個組合間的收益盡可能大的投資規(guī)模，直至兩個組合間的收益差消失為止。具有相同差消失為止。具有相同值的投資組合在市場值的投資組合在市場均衡時一定具有相同的期望收益，否則將存在均衡時一定具有相同的期望收益，否則將存在無風險套利機會，通過套利使二者預期收益相無風險套利機會，通過套利使二者預期收益相等。等。二具有不同值的套利n對于有不同對于有不同值的充分分散化的投資組合，值的充分分散化的投資組合，其預期收益率中風險補償必須正比于其預期收益

9、率中風險補償必須正比于值，值，不然也將發(fā)生無風險套利。不然也將發(fā)生無風險套利。( )( )pfqfpqE rrE rrKn參見圖5-2，假定無風險收益率rf是=4%，有一充分分散化的投資組合C的值為nc=O.5，具有預期收益率6%。在圖中，代表投資組合C的點位于連接無風險資產和組合A的直線的下方?，F在我們來看另一個投資組合D，這個組合一半由組合A另一半由無風險資產組成。這樣，組合D的值為D=0.50+0.51.0=0.5，預期收益率是0.54+0.5l0=7。組合D和組合C的值相等而預期收益率不等，如前所述，會發(fā)生套利。n套利組合及套利過程（做D多頭）(05004+050105F)100萬（做

10、C空頭）（00605F）100萬結果是：套利組合的收益為正；收益無風險，即套利組合對因素的敏感度為零；凈投資為零。三、多因素的套利n兩個宏觀因素的模型是這樣的nriE（ ri ）i1F1 i2F2n假設因素F1代表對GDP預期值的偏離，因素F2則代表末預期到的通貨膨脹率的變化，它們的預期值都等于零，因為它們代表的都是對預期值的偏離。同樣 代表企業(yè)特有的風險，也是對預期值的偏離，所以預期值也為零。 iin引進因素組合概念: 因素組合是非系統風險已經充分分散化或消除掉的組合，并且它對其中一個因素 的 值為1而對其他因素的 值都為0， 。 n因素組合的作用在于：用因素組合作為基準組合來定價（如同CA

11、PM的市場組合作用一樣）。jFjiijn現在來看任意一個充分分散化的投資組合A，它對兩個宏觀因素的值分別是A1=05和A2=0.75。將因素組合的期望收益記為 ，則因素組合的風險補償nA的因素組合的 期望收益分別為10和12。n無風險資產收益為4%，則A的預期收益一定為13，否則有套利風險。jjjfr jn A1 + A2 n =0.56%十0.758%=9%n于是，投資組合且的預期收益率就是無風險收益率加上總的風險補償，為13。AfrBfrn如果投資組合A的預期收益率不等于13，例如是12，則可以構筑如下的組合頭寸:n取權重為50的因素組合1，權重為75的因素組合2，再加上權重為-25的無風

12、險證券(權重是負數意味著以無風險利率借入)，構成一個新的組合。n這個組合的預期收益率為0.5lO+0.7512-0.254=13。同時構筑這個組合的多頭和組合A的空頭，就能套取無風險利潤。算式如下n到期套利組合多頭的收益 13%+0.5F1+0.75F2n到期組合A空頭的支付 （12%0.5%F1+0.75F2）nn凈利潤 1% 結果仍是：套利組合的收益為正；收益無風險，即套利組合對因素的敏感度為零；凈投資為零。n從這個簡單的例子我們可以發(fā)現，套利組合是這樣構筑的，對于任意一個暴露在F1n和F2，這兩個宏觀因素的系統風險下的投資組合P，分別以其值 P1，P2為權重選取因素組合1和2，再加上權重

13、為1- P1- P2 ，無風險證券(若1- P1- P2 0，表示無風險證券的賣空或以無風險利率借入資金)。這一套利組合實際上復制了組合P，所以組合P可由此套利組合給出定價第三節(jié) 套利定價模型n一、套利機會的條件n二、套利定價方程n三、CAPM與APT比較一、套利機會存在的條件（或套利組合的建立）n設市場有設市場有N N種證券，種證券，WiWi表示投資者對證券持表示投資者對證券持有權數的變化根據套利的定義，套利有自有權數的變化根據套利的定義，套利有自融資功能，套利組合中買入證券所需資金融資功能，套利組合中買入證券所需資金由證券獲得。由證券獲得。n根據套利的定義，如果套利機會存在，套根據套利的定

14、義，如果套利機會存在，套利組合不承擔風險，對任何因素的敏感性利組合不承擔風險，對任何因素的敏感性為零，為零， 即即 ，J=1,2,.K NJ=1,2,.K N需大于需大于J J，n根據套利的定義，套利須獲得非負的收益。根據套利的定義，套利須獲得非負的收益。 0PJb123.00,1,2,3,.npjwwwwjkW112+ W222+ W 332+ W NN2=0W111+ W221+ W 331+ W NN1=0 W11K+ W22K+ W 33K+ W NNK=0第一個條件第一個條件：第二個條件：第二個條件： 即：即：這時滿足這兩個等式的任何一組解將成為潛這時滿足這兩個等式的任何一組解將成為

15、潛在的套利組合，即滿足自融資和無風險套利在的套利組合，即滿足自融資和無風險套利條件。條件。 因此，當一個組合滿足上述三個方程時，便存因此，當一個組合滿足上述三個方程時，便存在一個能獲得不承擔風險的正的收益的套利組合。在一個能獲得不承擔風險的正的收益的套利組合。231 123.0nnwrwrwrwr 第三個條件第三個條件：二、套利定價方程n當套利機會不存在時，市場均衡。那么，當當套利機會不存在時，市場均衡。那么，當各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時，沒有各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時，沒有套利機會呢？即各種證券的期望收益處于什套利機會呢？即各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時，上述三個方程的聯立解不

16、存在呢？么狀態(tài)時，上述三個方程的聯立解不存在呢？n且僅當期望收益率是敏感性的線性函數時，且僅當期望收益率是敏感性的線性函數時，上述三個方程的聯立解不存在，即不存在套上述三個方程的聯立解不存在，即不存在套利機會，這時市場達到均衡。即有：利機會，這時市場達到均衡。即有：nE(rE(ri i)= )= 0 01 1i1i1+2 2i2 i2 +.+.K Kikiknikik是第是第i i個證券第個證券第k k個因素的敏感度。如果市個因素的敏感度。如果市場有無風險資產，上式為場有無風險資產，上式為nE(rE(ri i)= r)= rf f1 1i1i1+2 2i2 i2 +.+.K Kikik jjf

17、r 是因素組合的風險補償：jn投資組合的總的風險補償應當是投資者承受宏觀因素的系統風險所應得到的風險補償的和。而每種宏觀因素的系統風險的補償等于相對于該因素的值乘以因素組合的風險補償。n因此，套利定價方程是：1122( ).ifififikkfErrrrr 舉例：單因素套利組合n假定投資者擁有3種證券，他所持的每種證券當前的市值為4000000美元。這三種證券具有如下的預期回報率和敏感性.這樣的預期回報率與因素敏感性是否代表一個均衡狀態(tài)？I預期收益率ri %敏感因子bi證券1150.9證券2213.0證券3121.8iiiieFbarn套利組合（0.1，0.075，-0.175）n買賣行為導致

18、套利機會減少最終消失，如果找不到滿足滿足預期收益率大于0的資產組合，此時存在非負的常數0 1 ,使得預期回報率和敏感性之間滿足如下線形關系1011r 1()iffirrr1231230 .93 .01 .801 52 11 20 xxxxxx0Biir單因素資產定價線單因素資產定價線AAB1()ififrrr 1舉例：多因素套利組合n假定證券的回報率可由兩個因素模型產生： 4種證券具有如下的預期回報率和敏感性：iiiiieFbFbar2211ibi1%bi2證券1150.92.0證券2213.01.5證券3121.80.7證券482.03.2irn套利組合(0.1,0.088,-0.108,-0.08)123412340.931.8200 xxxxxxxx081221154321xxxxn通過購買證券1和2,同時出售證券3和4,使得證券1和2價格上漲，3和4價格下跌,推動市場均衡。即當滿足前面三個等式的組合的預期回報率為0,均衡達到。n如果找不到滿足滿足預期收益率大于0的資產組合，此時存在非負的常數0 1 2,使得預期回報率和敏感性之間滿足如下線形關系011