(完整版)初一培優(yōu)專題：數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題(有答案)

1、培優(yōu)專題：借助方程求解數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題(壓軸題?？碱}型)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題離不開數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于初一年級學(xué)生對這類問題的分析，不妨先明確以下幾個(gè)問題：1 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)一左邊點(diǎn)表示的數(shù)。2 .點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较?，因此向右運(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向作運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動(dòng) b 個(gè)單位后表示的數(shù)為 a b ;向右運(yùn)動(dòng) b 個(gè)單位后所表示的數(shù)為 a+b。3 數(shù)軸是

2、數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù) 軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。一、相關(guān)知識準(zhǔn)備1. 數(shù)軸上表示 4 和 1 的兩點(diǎn)之間的距離是 _。2. 若數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)為X，點(diǎn) B 表示的數(shù)為1,則 A 與 B 兩點(diǎn)之間的距離用式子可以表示為 _，若在數(shù)軸上點(diǎn)A 在點(diǎn) B 的右邊，則式子可以化簡為3. A 點(diǎn)在數(shù)軸上以 2 個(gè)單位長度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程可以用式子表示為 _ 。4. 若數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)為1,A 點(diǎn)在數(shù)軸上以 2 個(gè)單位長度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒后到達(dá)的位置所表示的數(shù)

3、可以用式子表示為答案：1、3;2、x 1, x+1;3 、2t ;4 、1 2t二、已做題再解：1、半期考卷的第25 題：如圖所示，在數(shù)軸上原點(diǎn)O 表示數(shù) 0, A 點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),所表示的數(shù)是 a,B 點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，所表示的數(shù)是b，并且 a、b 滿足a 16 (b )1 201點(diǎn) A 表示的數(shù)為 _ ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 _。2 若點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)， 速度為每秒 3 個(gè)單位長度，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出 發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 1 個(gè)單位長度，P、Q 兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，并且在點(diǎn) C 處 相遇，試求點(diǎn) C 所表示的數(shù)。（3）在（2）的條件下，若點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到達(dá) B 點(diǎn)后按原

4、路原速立即返回，點(diǎn) Q 繼續(xù)按原速原方向運(yùn)動(dòng)，從 P、Q 在點(diǎn) C 處相遇開始，再經(jīng)過多少秒，P、Q 兩點(diǎn)的距離為 4個(gè)單位長度？備用圖解：（1）點(diǎn) A 表示的數(shù)為 16_，點(diǎn) B 表示的數(shù)為_8_（2）設(shè) P、Q 同時(shí)運(yùn)動(dòng) t 秒在點(diǎn) C 處相遇 3t+t=24 解得 t=6此時(shí)點(diǎn) C 所表示的數(shù)是16+3 6=2答：點(diǎn) C 所表示的數(shù)是 2.（2）再經(jīng)過 a 秒，P、Q 兩點(diǎn)的距離為 4 個(gè)單位長度分類討論： 從點(diǎn) C 處相遇后反向而行，點(diǎn) P 到達(dá) B 點(diǎn)前相距 4 個(gè)單位長 度3a+a=4 解得 a=12點(diǎn) P 到達(dá) B 點(diǎn)后返回，此時(shí)相當(dāng)于點(diǎn) Q 在 P 點(diǎn)前 4 個(gè)單位長度a 6

5、3a 64解得 a=43點(diǎn) P 到達(dá) B 點(diǎn)后返回，從后追上 Q 點(diǎn)后又相距 4 個(gè)單位長度，此時(shí)相當(dāng) 于點(diǎn) P 在點(diǎn) Q 前 4 個(gè)單位長度3a 6 a 64解得 a=8答：再經(jīng)過 1 秒或 4 秒或 8 秒，P、Q 兩點(diǎn)的距離為 4 個(gè)單位長度。備用圖42、七年級上學(xué)期期中模擬(1)的第 10 題：數(shù)軸上有 A、B 兩點(diǎn)表示一 10, 30,有兩 只螞蟻 P、Q同時(shí)分別從 A、B 兩點(diǎn)相向出發(fā)，速度分別是 2 單位單位長度/秒、3 個(gè)單位長 度/秒，當(dāng)它們相距 10個(gè)單位長度時(shí)，則螞蟻 P 在數(shù)軸上表示的數(shù)是()I J6 B解：經(jīng)過 t 秒，P、Q 相距 10 個(gè)單位長度，則 P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路

6、程為 2t,運(yùn)動(dòng)后 P 點(diǎn)表 示數(shù)為一 10+2t，Q 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為 3t分類討論： 還未相遇前相距 10 個(gè)單位長度2t+3t=40-10 解得 t=6此時(shí) P 點(diǎn)表示數(shù)為一 10+2 6=2相遇后又相距 10 個(gè)單位長度2t+3t=40+10 解得 t=10此時(shí) P 點(diǎn)表示數(shù)為一 10+2X10=10綜上所述，螞蟻 P 在數(shù)軸上表示的數(shù)是 2 或 10挑戰(zhàn)題：1.已知數(shù)軸上有 A、B、C 三點(diǎn)，分別代表一 24， 10，10，兩只電子螞蟻 甲、乙分別從 A、C 兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4 個(gè)單位/秒。問多少秒后，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位？若乙的速度為 6 個(gè)單位/秒，

7、兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C 兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？在的條件下，當(dāng)甲到 A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。問甲、 乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請說明理由。分析：如圖 1,易求得 AB=14，BC=20，AC=34甲乙ABCL 4- 4-* b-24-10010設(shè) x 秒后，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位。此時(shí)甲表示的數(shù)為一24+4x。1甲在 AB 之間時(shí)，甲到 A、B 的距離和為 AB=14甲到 C 的距離為 10( 24+4x) =34 4x依題意，14+ ( 34 4x) =40，解得 x=22甲在 BC 之間時(shí)

8、，甲到 B、C 的距離和為 BC=20，甲到 A 的距離為 4x依題意，20+4x) =40，解得 x=5即 2 秒或 5 秒，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位。是一個(gè)相向而行的相遇問題。設(shè)運(yùn)動(dòng)t 秒相遇。依題意有，4t+6t=34，解得 t=3.4相遇點(diǎn)表示的數(shù)為一 24+4X3.4= 10.4 (或：10 6X3.4= 10.4)甲至 U A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C 的距離和為40 個(gè)單位時(shí)，即的位置有兩種情況，需分類討論。甲從 A 向右運(yùn)動(dòng) 2 秒時(shí)返回。設(shè) y 秒后與乙相遇。此時(shí)甲、乙表示在數(shù)軸上為同一 點(diǎn)，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)

9、為：一24+4X2 4y ;乙表示的數(shù)為：106X2 6y5依題意有，一 24+4X2 4y=10 6X2 6y，解得 y=7相遇點(diǎn)表示的數(shù)為：一 24+4X24y= 44 (或：106X2 6y= 44)甲從 A 向右運(yùn)動(dòng) 5 秒時(shí)返回。設(shè) y 秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：一24+4X5 4y;乙表示的數(shù)為：10 6X5 6y依題意有，一 24+4X5 4y=10 6X5 6y，解得 y= 8 (不合題意，舍去)即甲從 A 點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng) 2 秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點(diǎn)表示的數(shù)為一44。點(diǎn)評：分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進(jìn)行分析。 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù)， 以起點(diǎn)所表示的

10、數(shù)為基準(zhǔn)， 向右運(yùn)動(dòng)加上運(yùn)動(dòng)的距離， 即終點(diǎn)所表示的數(shù)； 向左運(yùn)動(dòng)減去運(yùn) 動(dòng)的距離，即終點(diǎn)所表示的數(shù)。2.如圖，已知 A、B 分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)， A 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為一 20, B 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為 100。A-2D100求 AB 中點(diǎn) M 對應(yīng)的數(shù)；現(xiàn)有一只電子螞蟻 P 從 B 點(diǎn)出發(fā)，以 6 個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子 螞蟻 Q 恰好從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 4 個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 C 點(diǎn) 相遇，求 C 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻 P 從 B 點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以 6 個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞 蟻 Q 恰好從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 4 個(gè)單位/秒的速度也

11、向左運(yùn)動(dòng)， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 D 點(diǎn) 相遇，求 D 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。分析：設(shè) AB 中點(diǎn) M 對應(yīng)的數(shù)為 x，由 BM=MA所以 x( 20) =100 X,解得 x=40 即 AB 中點(diǎn) M 對應(yīng)的數(shù)為 40易知數(shù)軸上兩點(diǎn) AB 距離，AB=140，設(shè) PQ 相向而行 t 秒在 C 點(diǎn)相遇，依題意有，4t+6t=120 ,解得 t=12(或由 P、Q 運(yùn)動(dòng)到 C 所表示的數(shù)相同，得一 20+4t=100 6t，t=12)相遇 C 點(diǎn)表示的數(shù)為：一 20+4t=28 (或 1006t=28)設(shè)運(yùn)動(dòng) y 秒，P、Q 在 D 點(diǎn)相遇，則此時(shí) P 表示的數(shù)為 1006y，Q 表示的數(shù)為一 20

12、4y。P、Q 為同向而行的追及問題。依題意有，6y 4y=120，解得 y=60(或由 P、Q 運(yùn)動(dòng)到 C 所表示的數(shù)相同，得一 204y=100 6y，y=60)D 點(diǎn)表示的數(shù)為：一 20 4y= 260 (或 100 6y= 260)點(diǎn)評：熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。是一個(gè)相向而行的相遇問題；是一個(gè)同向而行的追及問題。在、中求出相遇或追及的時(shí)間是基礎(chǔ)。3.已知數(shù)軸上兩點(diǎn) A、B 對應(yīng)的數(shù)分別為一 1 , 3,點(diǎn) P 為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為 X。若點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等，求點(diǎn) P 對應(yīng)的數(shù)；數(shù)軸上是否存在點(diǎn) P，使點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn)

13、 B 的距離之和為 5 ?若存在，請求出 x 的值。 若不存6在，請說明理由？當(dāng)點(diǎn) P 以每分鐘一個(gè)單位長度的速度從 0 點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) A 以每分鐘 5 個(gè)單位長 度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) B 一每分鐘 20 個(gè)單位長度向左運(yùn)動(dòng)，問它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后 P 點(diǎn)到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等？分析：如圖，若點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等，P 為 AB 的中點(diǎn)，BP=PA。AB- -103依題意，3x=x ( 1)，解得 x=1由 AB=4，若存在點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離之和為 5，P 不可能在線段 AB 上，只能 在 A 點(diǎn)左側(cè)，或 B 點(diǎn)右側(cè)。1P 在點(diǎn) A 左側(cè)，PA= 1 x，PB=3x依題意，(一 1 x)+ ( 3 x)=5，解得 x= 1.52P 在點(diǎn) B 右側(cè)，PA=x ( 1) =x+1 , PB=x 3依題意，(x+1 ) + (x 3) =5，解得 x=3.5點(diǎn) P、點(diǎn) A、點(diǎn) B 同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) B 的運(yùn)動(dòng)速度最快，點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度最慢。故 P 點(diǎn)總位于 A 點(diǎn)右側(cè)，B 可能追上并超過 A。P 到 A、B 的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運(yùn)動(dòng) t 分鐘，此時(shí) P 對應(yīng)的數(shù)為一 t，B 對應(yīng)的數(shù)為 3 20