特殊高階微分方程

1、第 12 次課 2 學時課程安排：第二學期，周學時 4， 共 64學時. 主要內容：特殊高階微分方程：高階線性微分方程的概念、二階常系數齊次線性微分方程。本次課題（或教材章節(jié)題目）： 特殊高階微分方程教學要求： 1理解高階線性微分方程的概念；2掌握線性微分方程的解的結構重 點： 1線性微分方程的概念；2線性微分方程的解的結構。難 點： 線性微分方程的解的結構。教學手段及教具：以講授為主，講、練結合，使用電子教案講授內容及時間分配：1二階線性微分方程舉例 （30分鐘）2線性微分方程的解的結構 （70分鐘） 課后作業(yè)1二階線性微分方程舉例 （30分鐘）2線性微分方程的解的結構 （70分鐘）參考資料

2、第12講 特殊高階微分方程復習舊知：二階線性微分方程的引入【例1】設有一彈簧，它的上端固定，下端掛一個質量為的物體。當物體處于靜止狀態(tài)時，作用在物體上的重力與彈性力大小相等，方向相反。這個位置就是物體的平衡位置。如圖，取軸鉛直向下，并取物體的平衡位置為坐標原點。如果使物體具有一個初始速度，那未物體便離開平衡位置，并在平衡位置附近作上下振動。在振動過程中，物體的位置隨時間變化，即是的函數試確定物體的振動規(guī)律。力學知識告訴我們：彈簧使物體回到平衡位置的彈性恢復力和物體離開平衡位置的位移成正比，即其中為彈簧的彈性系數，負號表示彈性恢復力方向和物體位移方向相反。另外，物體在運動過程中還受到阻尼介質(如

3、空氣、油等)的阻力作用，使得振動逐漸趨向于停止。由實驗知道，阻力總與運動方向相反，當振動不大時，其大小與物體運動的速度成正比，設比例系數為，則有根據上述關于物體受力情況的分析， 由牛頓第二定律得移項，并記 ，則上式化為 這就是在有阻尼的情況下，物體自由振動的微分方程。如果物體在振動過程中， 還受到鉛直干擾力的作用，則有即 其中，這就是強迫振動的微分方程。觀察上述微分方程的特點，它可表示成一個更一般的形式 方程叫做二階線性微分方程。當方程的右端時，方程叫做齊次的;否則，方程叫做非齊次的。二、二階齊次線性微分方程的通解結構【定理一】如果函數與是二階齊次線性方程 的兩個解，則 也是方程的解，其中，是

4、任意常數。證明：將表達式代入式，有故式是方程的解。這一性質表明，齊次線性方程的解符合疊加原理。值得注意的是，疊加起來的解從形式上看含有兩個任意常數， 但它不一定是方程的通解。例如，設是的一個解，則也是的解，這時式成為 可以把它寫成 ( 其中 )這顯然不是的通解。這樣便提出了一個問題，在什么情況下，式才是方程的通解呢?要解決這一問題，我們還需引入一個新的概念，即所謂函數的線性相關與線性無關。設為定義在區(qū)間內的個函數，如果存在個不全為零的常數，使得當在該區(qū)間內有恒等式成立，那未稱這個函數在區(qū)間內線性相關；否則稱線性無關。例如，函數在整個數軸上是線性相關的。因為取，就有恒等式又例如，函數在整個數軸上

5、是線性無關的。因為對于不全為零的數 ，一元二次方程 至多只有兩個實根。因此，它不會恒等于零。下面，我們尋找兩個函數線性相關的條件給定兩個函數，若它們線性相關，則存在兩個不全為零的常數( 不妨認為 )， 使得 ( 常數 )反過來，如果 ( 常數 )則 即是線性相關的。因此，我們得到結論：函數與線性相關的充要條件是恒等于常數。 由于函數的線性相關與線性無關是互逆的概念， 因此， 函數與線性無關的充要條件是不恒等于常數?，F在，我們給出二階線性齊次微分方程的通解結構定理?！径ɡ矶咳绻c是方程的兩個線性無關的特解，則 (其中 為任意常數)就是方程的通解?！纠?】驗證：函數與是二階線性齊次方程的兩個解，

6、求該方程的通解。解： 故 與 均為方程的解。又 故 是方程的通解。三、二階線性非齊次微分方程的通解結構【定理三】設是二階線性齊次方程的通解，而是二階線性非齊次線性方程的一個特解，那未是二階線性非齊次微分方程的通解。證明：將代入非齊次方程， 有故 是方程的解，由于齊次的通解含有兩個獨立的任意常數，故它是非齊次方程的通解。求非齊次方程的特解時，下述定理會經常用到?！径ɡ硭摹吭O與分別是二階線性非齊次微分方程與的特解，則是二階線性非齊次微分方程的特解。這一定理的證明較簡單，只需將代入方程便可驗證。這一結論告訴我們欲求方程 特解 可分別求 與 的特解和，然后進行疊加最后指出，在本節(jié)，我們僅討論了二階線性

7、齊次(非齊次)微分方程的通解之結構，并未給出求解二階線性微分方程的方法。§12.8 常系數齊次線性微分方程一、二階常系數齊次線性微分方程的一般形式方程 其中是常數，稱之為二階常系數齊次線性方程；如果不全為常數， 則稱它為二階變系數齊次線性微分方程。二、二階常系數齊次線性微分方程的通解由第八節(jié)的討論可知，要找微分方程的通解，可先求出它的兩個解與，如果，即與線性無關，那未 就是方程的通解。對于指數函數，若它是方程的解，則有由于，從而有 由此可見，只要滿足代數方程，函數就是微分方程的解。我們把此代數方程叫做微分方程的特征方程。特征方程的兩個根，可用公式求出，它們有三種不同的情形：(1)、當

8、時，是兩個不相等的實根：(2)、當時，是兩個相等的實根：(3)、當時，是一對共軛復根：其中 相應地，微分方程的通解也就有三種不同的情形，現分別討論如下：(1)、特征方程有兩個不相等的實根：由上面的討論知道，與均是微分方程的兩個解，并且不是常數，因此微分方程的通解為(2)、特征方程有兩個相等的實根：這時，我們只得到微分方程的一個解 ，為了得到方程的通解，我們還需另求一個解，并且要求 。設 ，即 ，下面來求。相加，得 約去，整理得由于是特征方程的二重根，因此于是， 因只要得到一個不為常數的解，可取，由此得到微分方程的另一個解從而得到微分方程的通解為(3)、特征方程有一對共軛復根：是微分方程的兩個解，根據齊次方程解的疊加原理， 有也是微分方程的解，且所以，微分方程的通解為綜上所述，求二階常系數齊次線性微分方程 的通解的步驟如下第一步 寫出微分方程的特征方程 第二步 求出特征方程的兩個根。第三步 據特征方程的兩個根的不同情形