第12章電磁感應

1、電磁學 電磁感應授課教師 楊宏春電磁學內容結構電磁學內容結構 真空中的靜電場真空中的靜電場 電磁學電磁學 靜電靜電場場 穩(wěn)恒磁場穩(wěn)恒磁場 電磁感應電磁感應 介質中的靜電場介質中的靜電場 穩(wěn)恒電路靜電場穩(wěn)恒電路靜電場 金屬中的靜電場金屬中的靜電場 磁現(xiàn)象的電本質磁現(xiàn)象的電本質 介質中穩(wěn)恒磁場介質中穩(wěn)恒磁場 真空中穩(wěn)恒磁場真空中穩(wěn)恒磁場 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律 變化的電場產(chǎn)生磁場變化的電場產(chǎn)生磁場 變化的磁場產(chǎn)生電場變化的磁場產(chǎn)生電場 靜電場的散度、旋度靜電場的散度、旋度 穩(wěn)恒磁場穩(wěn)恒磁場散度旋度散度旋度 時變電磁場的散度和旋度時變電磁場的散度和旋度 磁場對電荷的作用力磁場對電荷的作

2、用力 洛倫茲力洛倫茲力 經(jīng)典電磁學理論體系經(jīng)典電磁學理論體系 電磁感應電磁感應 章內容結構章內容結構(1) 電磁感應電磁感應 12.1 電磁感應定律電磁感應定律 12.2 動生電動勢動生電動勢 12.3 感生電動勢感生電動勢 12.4 自感與互感自感與互感 12.5 磁場能量磁場能量(2) 麥克斯維方程組麥克斯維方程組 12.6 位移電流位移電流 12.7 麥克斯維方程組麥克斯維方程組(3) 電磁波電磁波 12.8 電磁波電磁波12.1 電磁感應定律電磁感應定律(1) 電磁感應實驗基礎電磁感應實驗基礎 變化的磁場產(chǎn)生電場變化的磁場產(chǎn)生電場法拉第實驗法拉第實驗 變化的電場產(chǎn)生磁場變化的電場產(chǎn)生磁

3、場奧斯特實驗奧斯特實驗動生電動勢動生電動勢：由導線作機械運動而在導體內部產(chǎn)生電動勢：由導線作機械運動而在導體內部產(chǎn)生電動勢感生電動勢感生電動勢：由磁通量改變而導體不運動而在導體內部產(chǎn)生電動勢：由磁通量改變而導體不運動而在導體內部產(chǎn)生電動勢(2) 法拉第電磁感應實驗定律法拉第電磁感應實驗定律課堂討論課堂討論A 感應電流的方向定律感應電流的方向定律楞次定律與能量守恒定律之間的關系楞次定律與能量守恒定律之間的關系B 感應電動勢的影響因素感應電動勢的影響因素C 磁通計的設計原理磁通計的設計原理ttNidddd N：線圈匝數(shù)；：線圈匝數(shù)； =Bs：磁通量；：磁通量； =N ：磁鏈數(shù)磁鏈數(shù))(1ddd1d

4、212121 RttRtIQttttiitRRIiidd1 如感應線圈閉合如感應線圈閉合 R 是感生線圈的總電阻是感生線圈的總電阻磁通計的實驗原理：實驗測出磁通計的實驗原理：實驗測出 Qi，可以測出總磁通量變化可以測出總磁通量變化(1) 動生電動勢動生電動勢電子以電子以 v1 隨導體運動，受到洛侖茲力隨導體運動，受到洛侖茲力 f1)(11Bef v電子在導體兩端堆積時，產(chǎn)生靜電作用力電子在導體兩端堆積時，產(chǎn)生靜電作用力 fe f1 I v1 fe Eefe 達到平衡時導體兩端的動生電動勢達到平衡時導體兩端的動生電動勢 d EeBe)(v ababdlBlEd)(dv f1 I v1 v2 f2

5、 f I v2 f2 v1 f1 v (2) 動生電動勢產(chǎn)生過程中的能量轉換動生電動勢產(chǎn)生過程中的能量轉換電子以電子以 v1 隨導體運動，受到洛侖茲力隨導體運動，受到洛侖茲力 f1)(11Bef v電子以電子以 v2 隨導體運動，受到洛侖茲力隨導體運動，受到洛侖茲力 f2)(22Bef v電子電子 v1 +v2 運動下受到洛侖茲力運動下受到洛侖茲力 f1+f2Beff )(2121vv 電荷沿電荷沿 v1 運動所受洛侖茲力對電荷作正功，產(chǎn)生動生電動勢運動所受洛侖茲力對電荷作正功，產(chǎn)生動生電動勢 電荷沿電荷沿 v2 運動所受洛侖茲力對導體作負功，將機械能轉換為電能運動所受洛侖茲力對導體作負功，將

6、機械能轉換為電能 電荷所受總的洛倫茲力對電荷不做功，不改變電荷總能量電荷所受總的洛倫茲力對電荷不做功，不改變電荷總能量(3) 求解動生電動勢的應用舉例求解動生電動勢的應用舉例例例12.2.1：長為：長為 l 的導體在無限長直導線產(chǎn)生的磁場中以速度的導體在無限長直導線產(chǎn)生的磁場中以速度 v 向上運動向上運動求求：導體內產(chǎn)生的電動勢：導體內產(chǎn)生的電動勢解法解法1：取微元：取微元 dx，規(guī)定積分方向，規(guī)定積分方向 ab o I x y a b d x dx v babaxBlBdd)(vv xIB20 dldxI ln20v 解法解法2：利用法拉第電磁感應定律求解：利用法拉第電磁感應定律求解)dd(

7、dtxBv tdd dldxI ln20v 例例12.2.2：長為：長為 l 的金屬桿的金屬桿 oA 繞其一端在與磁場繞其一端在與磁場 B 垂直的平面內勻速轉動垂直的平面內勻速轉動求求：金屬桿中的動生電動勢：金屬桿中的動生電動勢 B o A l 解解：2021d)(lBlBlOA vo 端電勢高于端電勢高于A 端端例例12.2.3：N 匝面積為匝面積為 s 的線圈平面在均勻磁場中勻速轉動，初始時刻，線的線圈平面在均勻磁場中勻速轉動，初始時刻，線 圈平面與磁場平行圈平面與磁場平行求求：線圈平面中的感生電動勢：線圈平面中的感生電動勢 n b B a d c 解解：tNBstNBs sind)cos

8、(d NBs 0t sin0 正弦交流電正弦交流電(1) 感生電動勢感生電動勢由變化的磁場產(chǎn)生變化的電場在導體中形成的電動勢由變化的磁場產(chǎn)生變化的電場在導體中形成的電動勢tidd (2) 感生電動勢產(chǎn)生的物理機制感生電動勢產(chǎn)生的物理機制A 感生電動勢不能用洛侖茲力解釋感生電動勢不能用洛侖茲力解釋0d)( lBv B 麥克斯維渦旋電場假設麥克斯維渦旋電場假設 閉合電路中存在電流的前提條件是電路中存在電場閉合電路中存在電流的前提條件是電路中存在電場 閉合線圈中的磁通量發(fā)生改變時，線圈中存在感生電流閉合線圈中的磁通量發(fā)生改變時，線圈中存在感生電流 變化的磁場將產(chǎn)生電場，且該感生電場是渦旋電場變化的磁

9、場將產(chǎn)生電場，且該感生電場是渦旋電場(3) 渦旋電場的基本性質渦旋電場的基本性質A 渦旋電場的通量與散度定理渦旋電場的通量與散度定理渦旋電場是封閉的閉合曲線，通過任意封閉曲面的通量恒為零渦旋電場是封閉的閉合曲線，通過任意封閉曲面的通量恒為零0d sisE0 iEB 渦旋電場的環(huán)量與旋度定理渦旋電場的環(huán)量與旋度定理 sBtlEiidddd tBEi (4) 求解渦旋電場的應用舉例求解渦旋電場的應用舉例例例12.3.1：半徑為：半徑為 R 的圓柱形空間區(qū)域存在均勻磁場，當該磁場均勻增加時的圓柱形空間區(qū)域存在均勻磁場，當該磁場均勻增加時求求：感生電場的空間分布：感生電場的空間分布 B E 解解：考慮

10、到對稱性，感生磁場大小的空間分布，當：考慮到對稱性，感生磁場大小的空間分布，當 rR 時，所選取的回路包含的磁通量變化率為整個磁場時，所選取的回路包含的磁通量變化率為整個磁場tBrREtBrREiidd2dd222 例例12.3.2：在上例情形下，如果距圓心為：在上例情形下，如果距圓心為 h 處有一導體處有一導體求求：導體兩端的感生電動勢：導體兩端的感生電動勢 B E a b h o 解法解法1：由上題結果：由上題結果tBrEidd21 B E a b h o tBhlltBhlElEabLbaiiidd21ddd2cosdd0 由楞次定律，可以判別由楞次定律，可以判別 a 點比點比 b 點電

11、勢高點電勢高解法解法2：利用法拉第定律求解，作圖示回路：利用法拉第定律求解，作圖示回路tBhltabidd21dd (5) 渦旋電場的工程應用渦旋電場的工程應用A 電子感應加速器電子感應加速器實驗裝置實驗裝置 變化電磁場中放置真空環(huán)形加速器，時變非均勻磁場由交變電流控制；變化電磁場中放置真空環(huán)形加速器，時變非均勻磁場由交變電流控制； 在交變電流的在交變電流的 1/4 周期內，完成對帶電粒子的加速周期內，完成對帶電粒子的加速 fl fe 實驗原理實驗原理切向的感生電場力切向的感生電場力tmtBretBreeEFtBrEiid)(ddd2dd2dd21v 徑向的洛倫茲力徑向的洛倫茲力tmtBerr

12、mqBfrrld)(ddd2vvv BBr21 B 渦電流的形成機制及應用渦電流的形成機制及應用形成機制形成機制：變化磁場產(chǎn)生渦旋電場：變化磁場產(chǎn)生渦旋電場應用應用：感應加熱、電磁阻尼：感應加熱、電磁阻尼渦電流克服渦電流克服：鐵芯切割為薄片：鐵芯切割為薄片(1) 自感電動勢自感電動勢A 自感現(xiàn)象自感現(xiàn)象變化電流回路產(chǎn)生的變化磁通量在其自身回路中激發(fā)感應電動勢的現(xiàn)象變化電流回路產(chǎn)生的變化磁通量在其自身回路中激發(fā)感應電動勢的現(xiàn)象 B 自感電動勢自感電動勢設線圈匝數(shù)設線圈匝數(shù) N，t 時刻流過線圈的電流為時刻流過線圈的電流為 I，每匝線圈中的磁通量為每匝線圈中的磁通量為 ttNidddd I (L：

13、自感系數(shù)自感系數(shù))LI )dddd(d)(dtILItLtLIi nIB0 ssBNd tILidd 課堂討論課堂討論：L 的物理意義及其影響因素的物理意義及其影響因素例例12.4.1：無限長螺線管的自感系數(shù)：無限長螺線管的自感系數(shù)ILLI 解解NBsN nIB0 IsnInlIL)(0 VnL20 (2) 互感電動勢互感電動勢A 互感現(xiàn)象互感現(xiàn)象一個線圈中變化電流在附近另一個線圈中產(chǎn)生感應電動勢的現(xiàn)象一個線圈中變化電流在附近另一個線圈中產(chǎn)生感應電動勢的現(xiàn)象B 互感電動勢互感電動勢由法拉第電磁感應定律由法拉第電磁感應定律MMM 2112tdd1212 tdd2121 11212IM 22121

14、IM tIMdd11212 tIMdd22121 tIMdd112 tIMdd221 112MI 221MI 討論討論：A M 表示兩線圈相互作用的慣性表示兩線圈相互作用的慣性 B 對非鐵磁介質，對非鐵磁介質，M 只與兩線圈的結構和所處的介質環(huán)境有關只與兩線圈的結構和所處的介質環(huán)境有關 C 上面式子成立的前提條件是上面式子成立的前提條件是 M 為恒定值為恒定值例例12.4.2：求解共軸線圈的互感系數(shù)，互感系數(shù)與自感系數(shù)的關系：求解共軸線圈的互感系數(shù)，互感系數(shù)與自感系數(shù)的關系 解解：求解：求解互感系數(shù)互感系數(shù)設原線圈流有電流設原線圈流有電流 I1，則原線圈內部的磁感應強度，則原線圈內部的磁感應強

15、度lINB11 原線圈磁場在副線圈上的磁鏈數(shù)原線圈磁場在副線圈上的磁鏈數(shù)lsINNN12112212 lsNNINM211122 自感系數(shù)自感系數(shù)原線圈有電流原線圈有電流 I1 時，流過其自身的磁鏈數(shù)時，流過其自身的磁鏈數(shù) slINN121111 lsNINL2111111 lsNINL2112222 自感系數(shù)與互感系數(shù)間的關系自感系數(shù)與互感系數(shù)間的關系lsNNINM211122 lsNINL2111111 lsNINL2112222 21LLM 一般地，對一般地，對非共軸線圈非共軸線圈21LLkM R L 電源在電源在 dt 時間范圍內對線圈所做的功時間范圍內對線圈所做的功tiAldd ti

16、Lldd 221LiWAm 特例特例：無限長螺線管：無限長螺線管VnL2 VBWm 221 特例特例：計算無限長螺線管中的磁場能量密度：計算無限長螺線管中的磁場能量密度VWmm 磁場的能量密度磁場的能量密度VBWm 221 VWmm HBVWmm 21 討論討論：A 任意磁場的能量密度與螺線管中磁場的能量密度計算公式相同任意磁場的能量密度與螺線管中磁場的能量密度計算公式相同B 利用磁場的能量密度可以計算磁場的總能量利用磁場的能量密度可以計算磁場的總能量例例12.5.1：螺繞環(huán)平均半徑為：螺繞環(huán)平均半徑為 R=8.0 cm，截面積截面積 s=1.0 cm2，N=1000求求：(1) 螺繞環(huán)的自感

17、系數(shù)螺繞環(huán)的自感系數(shù)(2) 若螺繞環(huán)通過的若螺繞環(huán)通過的 I=1.0 A，其磁場能量和能量密度是多少其磁場能量和能量密度是多少解解：螺繞環(huán)的半徑遠大于其截面半徑，其內部磁場近似均勻：螺繞環(huán)的半徑遠大于其截面半徑，其內部磁場近似均勻螺繞環(huán)的螺繞環(huán)的自感系數(shù)自感系數(shù)420105 . 2 slNL 螺繞環(huán)的螺繞環(huán)的磁場儲能磁場儲能421025. 121 LiWm螺繞環(huán)的螺繞環(huán)的能量密度能量密度5 . 2 SlWmm 例例12.5.2：內外半徑：內外半徑R1、R2 的同軸電纜單位長度的自感系數(shù)和磁場儲能的同軸電纜單位長度的自感系數(shù)和磁場儲能解解：能量密度能量密度21RrR 的區(qū)域中存在磁場分布的區(qū)域中

18、存在磁場分布22208rIm rIB20 HBVWmm 21 單位長度的能量單位長度的能量1220ln4dRRlIVWVmm 令令 l=1，可得單位長度磁場的儲能，可得單位長度磁場的儲能單位長度的自感系數(shù)單位長度的自感系數(shù)12022ln2221RRIWLLIWmm 例例12.5.3：設兩線圈分別通以電流：設兩線圈分別通以電流 I1、I2求求：(1) 解相鄰兩通電線圈的能量解相鄰兩通電線圈的能量(2) 證明兩線圈相互的互感系數(shù)相等證明兩線圈相互的互感系數(shù)相等解解：兩線圈儲存的磁場能量兩線圈儲存的磁場能量線圈線圈 1 電流從電流從 0 達到達到 I1 過程中自感儲能過程中自感儲能211121ILW

19、 線圈線圈 2 電流從電流從 0 達到達到 I2 過程中自感儲能過程中自感儲能222221ILW 線圈線圈 1 充電充電至至 I1 后，后，線圈線圈 2 (0I2 )充電過程中保持充電過程中保持 I1不變，儲能不變，儲能2121212112121ddddIIMttiIMtIW 系統(tǒng)磁場儲存總能量系統(tǒng)磁場儲存總能量212122221121212121IIMILILWWWW 如先讓如先讓線圈線圈2 通以電流通以電流 I2，再讓，再讓線圈線圈1 通以電流通以電流 I1，系統(tǒng)儲能為，系統(tǒng)儲能為211222221112212121IIMILILWWWW 證明兩線圈的互感系數(shù)相等證明兩線圈的互感系數(shù)相等上

20、述過程的最終狀態(tài)完全相同，磁場儲存的能量應相同上述過程的最終狀態(tài)完全相同，磁場儲存的能量應相同2112MMWW (1) 非閉合電路中的安培環(huán)路定理問題非閉合電路中的安培環(huán)路定理問題在截面在截面 S1 上應用安培環(huán)路定理上應用安培環(huán)路定理 0dd11 IsJlHSl在截面在截面 S2 上應用安培環(huán)路定理上應用安培環(huán)路定理 0dd22 IsJlHSl結論結論：在同一環(huán)路中使用安培定理得到不同結論；安培定理失效：在同一環(huán)路中使用安培定理得到不同結論；安培定理失效 (2) 位移電流位移電流A 位移電流的引入位移電流的引入傳導電流傳導電流 tjtStStqIfddddd)(ddd 高斯定理高斯定理 tt

21、DDdddd fDjj 位移電流位移電流結論結論：將變化的電場視為位移電流，則傳導電流與位移電流相等：將變化的電場視為位移電流，則傳導電流與位移電流相等B 全電流連續(xù)性方程全電流連續(xù)性方程由高斯定理由高斯定理 tqstDqsDsfs dd由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程 tqsjs d sfssjstDdd0d)( sfstDj(3) 全電流下的安培環(huán)路定理全電流下的安培環(huán)路定理DflIIlH d積分形式積分形式 tDjHf 微分形式微分形式 例例12.6.1：半徑：半徑 R=0.1 m的圓板電容器，以的圓板電容器，以 dE/dt=1013 V/m s 勻速充電勻速充電求求：(1) 電容器兩板極間的位

22、移電流電容器兩板極間的位移電流 (2) 電容器內兩板中心連線電容器內兩板中心連線 r (rR)處的處的 Br 和和 r=R 處的處的 BR r E 解解： 位移電流位移電流8 . 2dddddd02 tERtDStIDd 磁感應強度分布磁感應強度分布)(dd)2(dd20rtErHstDIlHSfl r E tErHrdd20 同理同理 600106 . 5dd2 tERBR 例例12.6.2：電量為：電量為 q 的點電荷以勻角速度的點電荷以勻角速度 作半徑為作半徑為 R 圓周運動，設圓周運動，設 t0 坐標為坐標為 x0R，y00，以，以 i、j 分別表示分別表示 x、y 軸上的單位矢量軸上

23、的單位矢量求求：圓心處：圓心處 o 點的位移電流密度點的位移電流密度 itRq sin42(A) (B) jtRq cos42(C) kRq24 (D) )cos(sin42j ti tRq 答答：(D) 對，對，q 在在 o 點產(chǎn)生的電場點產(chǎn)生的電場 j ti tqRRqE sincos4)(4030 位移電流密度位移電流密度 )cos(sin420j ti tRqtEjd 設設：E(1)、D(1)： 表示靜電場中的電場強度矢量、電位移矢量表示靜電場中的電場強度矢量、電位移矢量 E(2)、D(2)：表示變化磁場產(chǎn)生的電場強度矢量、電位移矢量：表示變化磁場產(chǎn)生的電場強度矢量、電位移矢量 E 、

24、D： 表示總的總電場強度矢量、電位移矢量表示總的總電場強度矢量、電位移矢量 B(1)、H(1)：表示穩(wěn)恒磁場中的磁感應強度矢量、磁場強度矢量：表示穩(wěn)恒磁場中的磁感應強度矢量、磁場強度矢量 B(2)、H(2)：表變化電場產(chǎn)生的磁感應強度矢量、磁場強度矢量：表變化電場產(chǎn)生的磁感應強度矢量、磁場強度矢量 B 、H：表示總磁場的磁感應強度矢量、磁場強度矢量：表示總磁場的磁感應強度矢量、磁場強度矢量 則則 )2()1(EEE )2()1(DDD )2()1(BBB )2()1(HHH 麥克斯維方程的積分形式和微分形式麥克斯維方程的積分形式和微分形式 lfSlSfIlHsBlEqsDd0d0dd)1()1()1()1( lDSlBStlHsBtlEsEddd0dddd0d)2()2()2()2( lSSlSSfstDjlHsBstBlEqsDd)(d0dddd tDjHBtBEDff0 對應物性方程對應物性方程 ED r 0 er 1HB r 0 mr 1EPe 0 BMm 洛倫茲力公式洛倫茲力公式 BqEqF v結論結論：洛侖茲力與麥克斯維方程組構成經(jīng)典電磁學的理論基礎：洛侖茲力與麥克斯維方程組構成經(jīng)典電磁學的理論基礎 例例12.7.1：推導真空中無源空間的電磁波波動方程：推導真空中無源空間的電磁波波動方程推導推導：在：在 =0