高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修23

1、§3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念.2.會(huì)通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果.3.掌握建立線性回歸模型的步驟知識(shí)點(diǎn)一線性回歸模型思考某電腦公司有5名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號(hào)12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345請(qǐng)問如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關(guān)關(guān)系？y關(guān)于x的線性回歸方程是什么？答案畫出散點(diǎn)圖，由圖可知，樣本點(diǎn)散布在一條直線附近，因此可用回歸直線表示變量之間的相關(guān)關(guān)系設(shè)所求的線性回歸方程為x，則0.5，0.4.所以年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程為0.5x0.4

2、.梳理(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系(2)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法(3)對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，回歸直線ybxa的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為， ，其中(，)稱為樣本點(diǎn)的中心(4)線性回歸模型ybxae，其中a和b是模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差，自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量知識(shí)點(diǎn)二線性回歸分析具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的線性回歸方程為x.思考1預(yù)報(bào)變量與真實(shí)值y一樣嗎？答案不一定思考2預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差大了好還是小了好？答案越小越好梳理(1)殘差平方和

3、法iyiiyixi (i1,2，n)稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差殘差平方和(yii)2越小，模型的擬合效果越好(2)殘差圖法殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高(3)利用相關(guān)指數(shù)r2刻畫回歸效果其計(jì)算公式為：r21，其幾何意義：r2越接近于1，表示回歸的效果越好知識(shí)點(diǎn)三建立回歸模型的基本步驟1確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量2畫出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)3由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程)4按

4、一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù)5得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等1求線性回歸方程前可以不進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)(×)2在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)()3利用線性回歸方程求出的值是準(zhǔn)確值(×)類型一求線性回歸方程例1某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)

5、的判斷力考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)如圖：(2)iyi6×28×310×512×6158，9，4，6282102122344，0.7，40.7×92.3，故線性回歸方程為0.7x2.3.(3)由(2)中線性回歸方程可知，當(dāng)x9時(shí)，0.7×92.34，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.反思與感悟(1)求線性回歸方程的基本步驟列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系計(jì)算：，iyi.代入公式求出x中參數(shù)，的值寫出線性回歸方程并對(duì)實(shí)際問題作出估計(jì)(2)需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸方程才有實(shí)際意

6、義，否則求出的回歸方程毫無意義跟蹤訓(xùn)練1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：x23456y2.23.85.56.57.0由此資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系(1)求線性回歸方程；(2)求使用年限為10年時(shí)，該設(shè)備的維修費(fèi)用為多少？考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)由上表中的數(shù)據(jù)可得4，5，90，iyi112.3，1.23，51.23×40.08.線性回歸方程為1.23x0.08.(2)當(dāng)x10時(shí)，1.23×100.0812.38.即使用年限為10年時(shí)，該設(shè)備的維修費(fèi)用約為12.38萬元類型二回歸分析例2在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)

7、格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x1416182022y1210753求出y對(duì)x的線性回歸方程，并說明擬合效果的程度考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解(1416182022)18，(1210753)7.4.1421621822022221 660，iyi14×1216×1018×720×522×3620，可得回歸系數(shù)1.15，所以7.41.15×1828.1，所以線性回歸方程為1.15x28.1.列出殘差表：yii00.30.40.10.2yi4.62.60.42.44.4則(yii)20.3，(yi)253.2.r

8、210.994.所以回歸模型的擬合效果很好反思與感悟(1)該類題屬于線性回歸問題，解答此類題應(yīng)先通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)r2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助線性回歸方程對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析(2)刻畫回歸效果的三種方法殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適殘差平方和法：殘差平方和(yii)2越小，模型的擬合效果越好相關(guān)指數(shù)法：r21越接近1，表明回歸的效果越好跟蹤訓(xùn)練2關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070有如下的兩個(gè)線性模型：(1)6.5x17.5；(2)7

9、x17.試比較哪一個(gè)擬合效果更好考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解由(1)可得yii與yi的關(guān)系如下表：yii0.53.5106.50.5yi201010020(yii)2(0.5)2(3.5)2102(6.5)20.52155，(yi)2(20)2(10)2102022021 000.r110.845.由(2)可得yii與yi的關(guān)系如下表：yii15893yi201010020(yii)2(1)2(5)282(9)2(3)2180，(yi)2(20)2(10)2102022021 000.r110.82.由于r0.845，r0.82,0.845>0.82，r>r.(

10、1)的擬合效果好于(2)的擬合效果例3某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值(xi)2(wi)2(xi)·(yi)(wi)·(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3

11、)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為， .考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(2)令w，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于68，56368×6.8100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為100.668.(3)由(2)知，當(dāng)

12、x49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值100.668576.6，年利潤z的預(yù)報(bào)值576.6×0.24966.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值0.2(100.668)xx13.620.12.所以當(dāng)6.8，即x46.24時(shí)，取得最大值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大反思與感悟求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)(3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程(4)分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程跟蹤訓(xùn)練3在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的

13、5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析解由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)，令t，則kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.062 57.753694.2521.312 5所以1.55，7.2.所以4.134 4，0.8.所以4.134 4t0.8.所以y與x之間的回歸方程

14、是0.8.1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是()a角度和它的余弦值b正方形的邊長和面積c正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和d人的年齡和身高考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案d解析函數(shù)關(guān)系就是變量之間的一種確定性關(guān)系a，b，c三項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，分別為f()cos ，g(a)a2，h(n)(n2).d選項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于年齡確定的人群，仍可以有不同的身高，故選d.2設(shè)有一個(gè)線性回歸方程21.5x，當(dāng)變量x增加1個(gè)單位時(shí)()ay平均增加1.5個(gè)單位by平均增加2個(gè)單位cy平均減少1.5個(gè)單位dy平均減少2個(gè)單位考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回

15、歸方程的應(yīng)用答案c解析由回歸方程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以得到3如圖四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是()a b c d考點(diǎn)回歸分析題點(diǎn)回歸分析的概念和意義答案b解析由圖易知兩個(gè)圖中樣本點(diǎn)在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型4某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：x16171819y50344131由上表可得回歸直線方程x中的5，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)零售價(jià)為14.5元時(shí)，每天的銷售量為()a51個(gè) b50個(gè)c54個(gè) d48個(gè)考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案c解析由題意知17.5，39，代入回歸直線方程得126.5,126

16、.514.5×554，故選c.5已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357(1)分別計(jì)算：，x1y1x2y2x3y3x4y4，xxxx；(2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出線性回歸方程考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40×11×32×53×734，xxxx0212223214.(2)2， 42×1.51，故線性回歸方程為2x1.回歸分析的步驟：(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是

17、否存在線性關(guān)系等)；(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程x)；(4)按一定規(guī)則估算回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等一、選擇題1對(duì)于線性回歸方程x (>0)，下列說法錯(cuò)誤的是()a當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，的值平均增加個(gè)單位b點(diǎn)(，)一定在x所表示的直線上c當(dāng)xt時(shí)，一定有ytd當(dāng)xt時(shí)，y的值近似為t 考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案c解析線性回歸方程是一個(gè)模擬函數(shù)，它表示的是一系列離散的點(diǎn)大致所在直線的位置及其大致變化規(guī)律，所以有

18、些散點(diǎn)不一定在回歸直線上2給定x與y的一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r0.690，則()ay與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)by與x的相關(guān)性很強(qiáng)cy與x正相關(guān)dy與x負(fù)相關(guān)考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案d解析因?yàn)閞<0，所以y與x負(fù)相關(guān)，又|r|0.75,1才表示y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，所以選d.3某校小賣部為了了解奶茶銷售量y(杯)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天賣出的奶茶杯數(shù)與當(dāng)天的氣溫，得到下表中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)用最小二乘法建立了線性回歸方程2x60，則樣本數(shù)據(jù)中污損的數(shù)據(jù)y0應(yīng)為()氣溫x()1131018杯數(shù)yy0343824a58 b64 c62 d60考點(diǎn)線

19、性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案b解析由表中數(shù)據(jù)易知10，代入2x60中，得40.由40，得y064.4已知變量x與y負(fù)相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)求得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程可能是()a.2x9.5 b.2x2.4c.0.3x4.4 d.0.4x2.3考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程答案a解析因?yàn)樽兞縳與y負(fù)相關(guān)，所以排除b，d，將樣本平均數(shù)3，3.5代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知，選項(xiàng)a符合題意5對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用答案a解析用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘

20、差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高6根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為x，則()a.>0，>0 b.>0，<0c.<0，>0 d.<0，<0考點(diǎn)線性回歸分析題點(diǎn)線性回歸方程的應(yīng)用答案b解析作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖象可知，回歸直線x的斜率<0，當(dāng)x0時(shí)，>0.故>0，<0.7已知某地的財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程ybxae(單位：億元)，其中b0.8，a2，|e|0.5，如果今年該地區(qū)的財(cái)政收入為10億元，

21、那么年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過()a9億元 b10億元c9.5億元 d10.5億元考點(diǎn)殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點(diǎn)殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用答案d解析y0.8×102e10e10.5.8下列數(shù)據(jù)符合的函數(shù)模型為()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3a.y2x by2excy2dy2ln x考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析答案d解析分別將x值代入解析式判斷知滿足y2ln x.9為了考查兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做了100次和150次試驗(yàn)，并且利用最小二乘法求得的回歸直線分別為l1和l2.已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)

22、的平均值都是s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說法中正確的是()al1與l2有交點(diǎn)(s，t)bl1與l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t)cl1與l2必定平行dl1與l2必定重合考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用答案a解析回歸直線l1，l2都過樣本點(diǎn)的中心(s，t)，但它們的斜率不確定，故選項(xiàng)a正確二、填空題10在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為_考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案1解析根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義可知，當(dāng)

23、所有樣本點(diǎn)都在一條直線上時(shí)，相關(guān)系數(shù)為1.11若一個(gè)樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)r2為_考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案0.25解析r210.25.12已知一個(gè)線性回歸方程為1.5x45，x1,5,7,13,19，則_.考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用答案58.5解析9，且1.5x45，1.5×94558.5.13在研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條指數(shù)曲線yebxa的周圍令ln y，求得線性回歸方程為0.25x2.58，則該模型的回歸方程為_考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析答案ye0.25x2.58解析因?yàn)?.25

24、x2.58，ln y，所以ye0.25x2.58.三、解答題14某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程x，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線；(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？(注：，)考點(diǎn)線性回歸方程題點(diǎn)求線性回歸方程解(1)散點(diǎn)圖如圖(2)由表中數(shù)據(jù)得iyi52.5，3.5，3.5，54，所以0.7，所以 3.50.7×3.51.05.所以0.7x1.05.回歸直線如圖中所示(3)將x10代入回歸直線方程，得0.7×101.058.05，所以預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí)四、探究與拓展15甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對(duì)a，b兩變量進(jìn)行回