32周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析

1、3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 重點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 難點(diǎn)：難點(diǎn)：傅里葉級(jí)數(shù)的公式推導(dǎo)傅里葉級(jí)數(shù)的公式推導(dǎo)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 1112 , , tttf 基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號(hào)周期信號(hào)在滿(mǎn)足在滿(mǎn)足狄利克雷條件狄利克雷條件時(shí)，可展成時(shí)，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 tttttfta00d)(1

2、0余弦分量的幅度余弦分量的幅度 tttnttntfta00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 tttnttntftb00dsin)(21 稱(chēng)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱(chēng)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)一、三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一、三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1.1.定義定義 tntn11sin,cos 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,. 0sincos2211 tttmtn nmnmttmtntt, 0,2coscos2211 nmnmttmtntt, 0,2sinsin2211 由積分可知由積分可知2.2.補(bǔ)充：三角函數(shù)集補(bǔ)充：三角函

3、數(shù)集3.3.其他形式其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 關(guān)系曲線(xiàn)稱(chēng)為幅度頻譜圖關(guān)系曲線(xiàn)稱(chēng)為幅度頻譜圖關(guān)系曲線(xiàn)稱(chēng)為相位頻譜圖關(guān)系曲線(xiàn)稱(chēng)為相位頻譜圖可畫(huà)出可畫(huà)出頻譜圖頻譜圖周期信號(hào)頻譜具有周期信號(hào)頻譜具有離散性，諧波性，收斂性離散性，諧波性，收斂性 nc n4.4.幅度頻率特性和相位頻率特性幅度頻率特性和相位頻率特性的線(xiàn)性組合的線(xiàn)性組合

4、基波角頻率的整數(shù)倍）基波角頻率的整數(shù)倍）（）和各次諧波）和各次諧波，基波（，基波（周期信號(hào)可分解為直流周期信號(hào)可分解為直流:11 n 頻譜圖頻譜圖幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線(xiàn)離散譜，譜線(xiàn)曲線(xiàn)曲線(xiàn)或或 nnfc曲線(xiàn)曲線(xiàn) n二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 1. 1.定義定義 由前知由前知 由歐拉公式由歐拉公式 這就是指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。這就是指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。 )sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenftf1)()(1其中其中)(21)(1nnjbanf)(21)(1nnjbanf0)0(af引入了負(fù)頻率引入了負(fù)頻率 傅里葉級(jí)數(shù)的系

5、數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)nfnf)(11001)(11ttttjnndtetftfnnncbanf2121)(221 相頻特性相頻特性 nnnabarctan 2.2.幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于 )( 11nnfnbnann3.3.周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖 nnfnf1111n1n1n0000000adcf)(21nnjnnjbaeffn)(21nnjnnjbaeffn4.4.兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系兩種傅氏

6、級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系22212121nnnnnnbadcffnnncffnnnaffnnnbffj)(nnnnnnffbadc422225.5.周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖的特點(diǎn)周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖的特點(diǎn)l引入了負(fù)頻率變量，沒(méi)有物理意義，只是引入了負(fù)頻率變量，沒(méi)有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)；數(shù)學(xué)推導(dǎo)；l cn cn 是實(shí)函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，fn fn 一般是復(fù)函數(shù)，一般是復(fù)函數(shù)，l 當(dāng)當(dāng) fn fn 是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用fn fn 的正的正 負(fù)表示負(fù)表示0 0和和相位，相位， 幅度譜和相幅度譜和相 位譜合一；位譜合一；6 6周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的功率這是這是帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)

7、情況下的具體體現(xiàn)在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn); ;表明：表明： 周期信號(hào)平均功率周期信號(hào)平均功率= =直流、基波及各次諧波分直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，時(shí)域和頻域的能量是守恒時(shí)域和頻域的能量是守恒的的. . 繪成的線(xiàn)狀圖形，表示繪成的線(xiàn)狀圖形，表示 各次諧波的平均功各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱(chēng)為率隨頻率分布的情況，稱(chēng)為功率譜系數(shù)功率譜系數(shù)。 2nf nnnnnfbac212220 tttftp02d)(1三、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系三、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系三種對(duì)稱(chēng)： 偶函數(shù) ：f (t )=f (-t) 奇函數(shù) ：f

8、 (t )= - f (-t) 奇諧函數(shù) ：半周期對(duì)稱(chēng) 任意周期函數(shù)有： 偶函數(shù)項(xiàng) 奇函數(shù)項(xiàng))2()(1nttftf)sincos()(11101tnbtnaatfnnn1.1.周期偶函數(shù)只含直流和周期偶函數(shù)只含直流和 其中其中a a是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù) b bn n=0=0 f fn n是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(411tttndttntfta2nnnafftjnnenftf1)()(1例如例如: :周期三角函數(shù)是偶函數(shù)周期三角函數(shù)是偶函數(shù).)5cos2513cos91(cos42)(1112ttteetfef(t)t1/2-t1/2t2.2.周期奇

9、函數(shù)只含正弦項(xiàng)周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)tnbtfnn11sin)(1011.sin).(4tndttntftb000naaf fn n為虛數(shù)為虛數(shù) nnnnjbjbanff2121)(1 例如周期鋸齒波是奇函數(shù)例如周期鋸齒波是奇函數(shù).)3sin312sin21(sin)(111tttetfe/2-e/2t1/2-t1/2f(t)t0 3. 3.奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) )2()(1ttftfl沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；l 反轉(zhuǎn)；反轉(zhuǎn)；l 波形不變；波形不變；l半周期對(duì)稱(chēng)半周期對(duì)稱(chēng))2()2(11nttfnttf奇諧函數(shù)的波形：奇諧函數(shù)的波形： f(t) f(t)t t1 1/2/2-t1/20 0t t 奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0 0dtttftat.cos)(4201111dtt