牛頓法最優(yōu)潮流

1、電力系統(tǒng)潮流計算方法電力系統(tǒng)潮流計算方法-牛頓法牛頓法電力系統(tǒng)分析包括潮流、最優(yōu)潮流、預(yù)想故障分析、電壓穩(wěn)定、暫態(tài)穩(wěn)定和其他分析，電力系統(tǒng)分析是輸電系統(tǒng)規(guī)劃中的關(guān)鍵技術(shù)之一。潮流計算是電力系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，所謂潮流計算即在給定電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?、元件參?shù)和發(fā)電、負(fù)荷參量條件下，計算有功功率、無功功率及電壓在電力網(wǎng)中的分布。手算如何計算？手算如何計算？一般來說，各個母線所供負(fù)荷的功率S是已知的，各個節(jié)點V是未知的（平衡節(jié)點外）可以根據(jù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣B，然后由B列寫功率方程，由于功率方程里功率是已知的，電壓的幅值和相角是未知的，這樣潮流計算的問題就轉(zhuǎn)化為求解非線性方程組的問題了。數(shù)學(xué)描述潮流

2、計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析為了便于用迭代法解方程組，需要將上述功率方程改寫成功率平衡方程，并對功率平衡方程求偏導(dǎo)，得出對應(yīng)的雅可比矩陣，給未知節(jié)點賦電壓初值，一般為額定電壓，將初值帶入功率平衡方程，得到功率不平衡量，這樣由功率不平衡量、雅可比矩陣、節(jié)點電壓平衡量（未知的）構(gòu)成了誤差方程，解誤差方程，得到節(jié)點電壓不平衡量，節(jié)點電壓加上節(jié)點電壓不平衡量構(gòu)成新的節(jié)點電壓初值，將新的初值帶入原來的功率平衡方程，并重新形成雅可比矩陣，然后計算新的電壓不平衡量，這樣不斷迭代，不斷修正，一般迭代三到五次就能收斂。數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析牛頓法是解非線性方程式的一個有效方法，所以也被廣泛的應(yīng)用于潮流計算。核

3、心是修正方程式的建立與求解。如圖所示利用泰勒公式展開，取其線性部分代替非線性方程近似求解。0000000000022()()( )()()().2!()( )()()()0,()fxxxf xf xfxxxf xf xf xfxxxxxfx數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析1123121232123(,.)(,.).(,.)nnnnnfxxxxyfxxxxyfxxxxy其近似解與精確解分別相差12,.,nxxx0001112210002112220001122(, .)(, .).(, .)nnnnnnnnfxxxxxxyfxxxxxxyfxxxxxxy 上式全部用泰勒展開即可000111112

4、12112000121212(,.), .(,.), .nnnnnnnnnnnffffxxxxxxyxxxffffxxxxxxyxxx數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析111000111121220001212(,.).(,.)nnnnnnnnnnfffxyfxxxxxxxfffyfxxxxxxxfJ xJ稱函數(shù)的雅克比矩陣；x為列向量， f稱不平衡量的列向量，把初始值X（0）代入，可得f，J中的元素，然后運(yùn)用解線性方程的方法，求得第一次迭代計算出的值然后把計算值再次代入求得f，J中的元素，直到滿足精確度即可。但是，初值一定要選取的足夠接近精確值，否則迭代過程可能不收斂。（何以見得） 0ix 1

5、00iiixxx數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析潮流方程的描述對于N個節(jié)點的電力網(wǎng)絡(luò)若元件參數(shù)已知則網(wǎng)絡(luò)方程表示為YUI其中Y為n*n階節(jié)點導(dǎo)納矩陣， U為N*1階，I*為N*1階節(jié)點注入電流列向量但是電力網(wǎng)絡(luò)中給定的往往是S而不是電流，所以線性方程就變成*E YUS令 展開得iiiVejf()()(),()()iiiiijijjjj iiiiiiiiijjijjj iiijjijjj iPjQejfGjBejfPjQejfajbaG eB fbG fB e*E IS*iiiijjj iPjQVY Vj=1,2N數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析若 則潮流方程的極坐標(biāo)形式如下：iiiVV()()

6、 cossin(cossin)1,2,.(sincos)1,2,.iiiiijijjjj iiiijijijijijj iiijijijijijj iiijijijijijj iPjQVGjBVPjQVV GjBjPVV GBiNQVV GBiN上式即為電力系統(tǒng)的潮流方程數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析綜上所述，若一個電力系統(tǒng)含有N個節(jié)點，選取第N個作平衡節(jié)點，剩余n=N-1各節(jié)點中有r個節(jié)點是PV節(jié)點，有n-r個節(jié)點是PQ節(jié)點，因此出平衡節(jié)點外，有n個節(jié)點注入有功P，有n-r個節(jié)點注入無功Q，有r個節(jié)點的電壓是已知的。在直角坐標(biāo)系下，待求未知數(shù)共有2n個，1221232222.1,2,3,.

7、1,2,3,.1,.TTTTnspiiiiispiiiiispiiiixe fe e ee f ffPPe af binQQf ae binrVVefinrn代求變量潮流方程線性化 給節(jié)點i的有功無功給定值 為注入功率和給定電壓的不平衡量上式方程一共2n個方程，2n個代求量，兩者個數(shù)相等。spPiP數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析(cossin)1,2,.(sincos)1,2,.spiiijijijijijj ispiiijijijijijj iPPPVV GBinQQQVV GBinr為了清晰的表達(dá)潮流方程中的未知量請看下表。平衡節(jié)點為第N節(jié)點、剩余N-1=n個節(jié)點中，含有r個PQ節(jié)點，n

8、-r個PV節(jié)點。節(jié)點節(jié)點PQPV平衡平衡變量12, .nrPPP12,.nrQQQ12, .nr12, .nrVVV1, .nrnPP1, .nrnQQ1, .nrn1, .nrnVVNPNQNNV數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析電力網(wǎng)絡(luò)方程的一般形式可以寫成 ( )( )0spspyy xf xyy x牛頓法求解如下，在給定初始值的條件下，對上式做一階泰勒展開 001000Txff xxxJf xx 用x修正X的初始值得到新值，用k表示迭代次數(shù)寫成表達(dá)式即為 11kkkkkkxJ xf xxxx （偏差形式）數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析 22222,*,( ,),spspTspiTTTT

9、TTTTTTPP e fP e ffxQ e fQP e fJxVe fVVe fPPeffQQxe fJxefVVef數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析,()()(),(),(),iiiiijijjjj iiiiiiiiijjijjiijjijjj ij ispspiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijijiijHNJMLPjQejfGjBejfRSPjQejfajbaG eB fbG fB ePPe af bQQf aebPPHaG eB fHG eee 22,2 ,0,2,0ijiiiiiiiiiiiiijijiijiijiiiiiiiiiiiijijijiiiiiiiiiiiij

10、ijijiiiijiiiijiiB fPPNbB eG fNB eG fffQQMbB eG fMNeeQQLaG eB fLHffVVRe RSf Sef 數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析由于歐拉公式的存在，我們也可以把直角坐標(biāo)系下的功率方程變形為極坐標(biāo)系下的功率方程，那么極坐標(biāo)系的牛頓法是怎樣的？ 11,*,.,.,spTspTTTTTnn rTTTPVPPVfxJxQVQQVPPfVxVVVJQQxV 我們注意到：由于r個PV節(jié)點1個平衡節(jié)點n-r個PQ節(jié)點的存在，所以A1應(yīng)該為n維的，A2為n-r維的，就是說有n個未知的 ，有n-r個未知的V。所以雅克比矩陣為(2n-r)*(2n-r)

11、維。數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析上式右側(cè)對電壓幅值的偏導(dǎo)數(shù)中電壓幅值的階次減少了1，為使雅克比矩陣各部分矩陣具有一樣的形式，在實際計算中往往乘以電壓幅值，并【V/V】列向量作為修正量。,TTTTTPPVH NfVJM LQQxVV () cossin(cossin)1,2,.(sincos)1,2,.iiijijijijijj iiijijijijijj iiijijijijijj iPjQVV GjBjPVV GBiNQVV GBiN數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析22(cossin),(sincos)(cossin),(cossin)2spiiiiijijijijijjispiiiii

12、jijijijijjiiiiijijijijijjiiiijijijijijijjiiiiiiPPVGVVGBQQVBVVGBPHVVBGPHV VBGPNVVV (cossin),(cossin)(cossin),(cossin)(siiijjijijijijjiiijjjiijijijijjiiiijijijijijjiiiijijijijijijijjiiiiijijiV GVGBPNVVVGBVQMVVGBQMV VGBNQLVVVGV ncos)2,(cossin)ijijijiijjiiijjijijijijijijjBV BQLVV VBGHV當(dāng)j=i時，所有的V、均為變量，當(dāng)j

13、i時，只有特定節(jié)點的V、為變量。數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析迄今為止還沒提到節(jié)點分類時約束條件，不等式約束大致分為三類：注入功率的約束威脅電源機(jī)組的安全運(yùn)行節(jié)點電壓的約束影響用戶供電電壓的質(zhì)量對相位角的約束危及電力系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定性所以，在迭代時要注意是否滿足約束條件，其中，前者具有優(yōu)先性，那么問題就來了？PV到PQ節(jié)點的轉(zhuǎn)化問題。在迭代時發(fā)現(xiàn)，為保持給定的V，某一個PV節(jié)點的無功功率已經(jīng)越限，為保證源設(shè)備正常運(yùn)行，不得以將其固定在邊界上，令其Q等于Qmin或者Qmax為一定值。任憑電壓偏移給定值V，實現(xiàn)PV節(jié)點到PQ節(jié)點的轉(zhuǎn)化。一旦發(fā)生PV到PQ節(jié)點類型的轉(zhuǎn)化，修正方程的結(jié)構(gòu)將要發(fā)生改變，若

14、采用直角坐標(biāo)時，該節(jié)點關(guān)于Q的關(guān)系式將取代V的關(guān)系式。若采用極坐標(biāo)則要增加一組Q的關(guān)系式即 maxmin,kkkkiiiiiiQQQQQQ數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析最優(yōu)潮流數(shù)學(xué)模型最先是法國電力公司提出來的，其本身是數(shù)學(xué)上的優(yōu)化，數(shù)學(xué)模型描述為確定一組解使得目標(biāo)函數(shù)的值極小。min( ). . ( )0( )0uf xst g xh x控制變量狀態(tài)變量，統(tǒng)一寫成x來表示。最優(yōu)潮流的重點在于如何確定修正量x和不等式約束。其中解決不等式約束尤為重要，方法也多種分類方法，不在一一陳述。總的來說牛頓法最優(yōu)潮流是一種具有二階收斂的算法，在最優(yōu)潮流領(lǐng)域有較為成功的應(yīng)用。最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)一般為系統(tǒng)的

15、總發(fā)電成本，有功損耗，等式約束就是潮流方程，不等式約束為控制變量約束如發(fā)電機(jī)有功出力極端電壓以及狀態(tài)變量約束如負(fù)荷節(jié)點上的電壓幅值以及各種函數(shù)不等式約束如線上傳輸功率以及發(fā)電機(jī)的無功出力。數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析min( )( , )( )( )( , )=. . ( )0( )( , )=( )( ) =0TuTTTTTf xLLL xf xg xL xxst g xLfgLfgg xL xg xxxxxxg x則我們注意到在最優(yōu)點牛頓法一般不區(qū)分控制變量和狀態(tài)變量優(yōu)化計算在全變量上進(jìn)行，在最優(yōu)解處，全部等式約束應(yīng)當(dāng)滿足，當(dāng)有越界發(fā)生時將其固定在限值上，將不等式約束化為等式約束，這些

16、約束是原問題的起作用的不等式約束。F中既有等式約束又有不等式約束中因越界而轉(zhuǎn)化為等式約束的方程。如果預(yù)先已知在最優(yōu)解點處全部起作用的不等式約束，并把他們用等式約束引入，則全部化為只包含等式約束的優(yōu)化問題。數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析2000*000( )()()().*=( , )( , )0()( )( )*( )*.kkkTTTTTTf xf xfxxxLzLL xxL xfgfgg xg xxxxxxxfgg xxx 泰勒公式：則在極小值（,）處展開得必要條件2200000000.()*.=-=H *J*TTTTTgfgfgxxxxxxxfgxxx 數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析0

17、00000000000( )0( )()*.0,*(),0()KTL=00Tgg xxg xg xxJxg xxLfgxHJxxxxxLJg xx 在初始值 泰勒展開得，用迭代的方法計算，然后修正 ，直到滿足條件，或者說，變化為 。加入不等式約束，而不等式約束條件h(x) 0，用二次罰函數(shù)來處理，擴(kuò)展后的Lagrange 函數(shù)表示為minmax2i( , )( )( )( )( )01( )()PS12PS2 CiTiiiiiiiiiiL xf xg xh xh xxxxh xC xxx，當(dāng) 越限時為罰因子 為越限的個數(shù)數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析0000000202( , )( )( )

18、( )( )( )( )( , )( )( ),0()()TiiiiTTTL xf xg xh xfxf xh xL xfxg xLfgxHJxxxLJg xgfxHxx 令眼熟不？可見，不Hessian等式約束只影響矩陣系數(shù)和等式的右側(cè)。數(shù)學(xué)描述潮流計算最優(yōu)潮流總結(jié)分析H為拉格朗日函數(shù)中的海森矩陣，J是起約束作用的雅克比矩陣，計算可得到修正量。與常規(guī)潮流不同的是，在最優(yōu)潮流迭代過程中潮流方程并不滿足，只有在最優(yōu)點解出潮流方程才滿足。如果已知最優(yōu)點處的起作用的不等式約束集，使用前面迭代格式算法將具有二階收斂，但對于復(fù)雜的大電力網(wǎng)絡(luò)，在獲得最優(yōu)解之前，起作用的不等式約束集一般是未知的，估計正確的起作用的不等式約束是重點，最優(yōu)潮流的難點在于如何確定起作用的不等式的約束集。一般都是在迭代過程中不斷的調(diào)整起作用的不等式約束。牛頓法的缺點是：約束集的確定比較困難，目前普遍用試驗迭代法來確定約束集；編程實現(xiàn)困難；對應(yīng)控制變量的 Hessian陣對角元容易出現(xiàn)小值或零值，造成矩 陣奇異；引入的Lagrange乘子的初值對迭代計 算的穩(wěn)定性影響大。數(shù)學(xué)描述潮流計算最