高等數(shù)學(xué)課件：D1_5 函數(shù)的極限

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期 第一章第一章 一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限0(2) xx0 xx 0 xx (1) x x x 對對y = f(x)自變量變化過程的六種形式自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :2.函數(shù)極限函數(shù)極限 第一章第一章 第五節(jié)函數(shù)的極限函數(shù)的極限高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期sin.xxx 觀觀察察函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時的的變變化化趨趨勢勢高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)

2、141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142

3、015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限觀察函數(shù)觀察函數(shù)xxsin當(dāng)當(dāng) x時的變化趨勢時的變化趨勢. .問題問題: :如何用數(shù)學(xué)語言刻畫下述過程如何用數(shù)學(xué)語言刻畫下述過程: :要點要點: :(1)過程過程: x, 0 X;|Xx (2)函數(shù)函數(shù))(xf與與A無限接近無限接近:, 0 有有.|)(| Axf函數(shù)函數(shù)“無限接近無限接近”確定值確定值)(xfA. .當(dāng)當(dāng)時時, ,x 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函

4、數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)| x大于某一正數(shù)時有定義大于某一正數(shù)時有定義.如果對任意給定的正數(shù)如果對任意給定的正數(shù) (不論它多么小不論它多么小),總存在總存在著正數(shù)著正數(shù),X使得對于滿足不等式使得對于滿足不等式Xx |的一切的一切,x恒有恒有,|)(| Axf那么常數(shù)那么常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時的極限時的極限,記作記作Axfx )(lim或或Axf)(當(dāng)當(dāng)). x注注:可用可用Axfx )(limX 語言語言描述如下描述如下:, 0 , 0 X使得使得Xx |時時, 恒有恒有.|)(| Axf成立成立高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期類似的可

5、定義單側(cè)極限類似的可定義單側(cè)極限lim( )xf xA lim( )xf xA 0, 0,XxX 時時( )f xA 當(dāng)當(dāng)有有0, 0,XxX 時時( )f xA 當(dāng)當(dāng)有有定理定理1Axfx )(limAxfx )(lim且且.)(limAxfx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期XXAAoxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋:直線直線 y = A 為曲線為曲線( )yf x 的水平漸近線的水平漸近線XX11( ),( )1f xg xxx 例如，例如，都有水平漸近線都有水平漸近線0y x1x11oyx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20

6、142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期-20-101020-1.5-1-0.50.511.5例如例如xxf1arctan)( 0)(lim xfx0)(lim xfx0)(lim xfx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期分析 證明證明 0 01X 當(dāng)|x|X 時 有 例例1. 證明證明1lim0 xx 因為因為 0, ,時當(dāng)Xx 所以所以就有就有0, 欲使欲使10,x 即即1,x 1lim0 xx 11( )|0|f xAxx 11( )|0|f xAxx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例 2證

7、明證明. 0sinlim xxx證證因為因為0sin xxxxsin ,1x , 0 于是于是可取可取,1 X則當(dāng)則當(dāng)Xx 時時,恒有恒有,0sin xx故故. 0sinlim xxx證畢證畢.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期二、二、 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限0 xx時時,對應(yīng)函數(shù)對應(yīng)函數(shù)f(x)無限接近于無限接近于A問題問題: :如何用數(shù)學(xué)語言刻畫下述過程如何用數(shù)學(xué)語言刻畫下述過程: :要點要點: :(1)過程過程0:xx0, 00 |;xx (2)函數(shù)函數(shù))(xf與與A無限接近無限接近:, 0 有有.|)(|

8、 Axf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期定義定義2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x) 在點在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0, 0, 當(dāng)當(dāng)00 xx 時時, 有有( )f xA 則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù)f(x) 當(dāng)當(dāng)0 xx時的極限時的極限,0lim( )xxf xA 或或0( )()f xA xx即即0, 0, 當(dāng)當(dāng)時時, 有有若若記作記作( )f xA 0lim( )xxf xA 幾何解釋幾何解釋:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 極限存在極限存在函數(shù)局部有界函數(shù)局部有界這表明這表明: 00 xx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)

9、 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期注意注意考慮空心鄰域，是什麼意思？考慮空心鄰域，是什麼意思？ 考慮函數(shù)在一點的極限時，不考慮函數(shù)考慮函數(shù)在一點的極限時，不考慮函數(shù)在該點處是否有定義，定義的值是什麼，在該點處是否有定義，定義的值是什麼，但是，在附近必須要有定義。但是，在附近必須要有定義。例例?11lim21 xxx11lim11lim121 xxxxx21 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例3. 證明證明0limxxCC 證證:( )f xA CC0故故0, 對任意的對任意的0, 當(dāng)當(dāng)00 xx 時時 , 0C

10、C 因此因此0limxxCC 總有總有(C為常數(shù)為常數(shù))高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例4. 證明證明2lim(35)11xx證證:( )f xA (35)11x 32x欲使欲使0, 取取,3 則當(dāng)則當(dāng)02x 時時 , 必有必有( )(35)11f xAx 因此因此( ),f xA 只要只要23x 2lim(35)11xx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期證明證明1lim(21)1xx證證:( )f xA (21)1x21x欲使欲使0, 取取,2 則當(dāng)則當(dāng)01x 時時 , 必有必有( )(21

11、)1f xAx 因此因此( ),f xA 只要只要12x 1lim(21)1xx練習(xí)練習(xí)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期單側(cè)極限單側(cè)極限左極限左極限 :0()f x 0lim( )xxf xA 0, 0, 當(dāng)當(dāng)00(,)xxx 時時, 有有( )f xA 右極限右極限 :0()f x 0lim( )xxf xA 0, 0, 當(dāng)當(dāng)00(,)xxx 時時, 有有( )f xA 定理定理2. 0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期

12、例例5. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)1,0( )0,01,0 xxf xxxx 討論討論 0 x時時f(x)的極限是否存在的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 .因為因為0lim( )xf x 0lim(1)xx 1 0lim( )xf x 0lim(1)xx 1 顯然顯然(0 )(0 ) ,ff 所以所以0lim( )xf x不存在不存在 .高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例 6 設(shè)設(shè),2121)(11xxxf 求求).(lim0 xfx解解)(xf在在0 x處沒有定義處沒有定義,0lim( )xf x 11021lim

13、21xxx 1 0lim( )xf x 11012lim12xxx 1 故故)(lim0 xfx不存在不存在.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)下面僅以下面僅以0 xx 的極限形式為代表給出這的極限形式為代表給出這些性質(zhì)些性質(zhì),至于其他形式的極限的性質(zhì)至于其他形式的極限的性質(zhì), 只需作出些修只需作出些修改即可得到改即可得到.唯一性定理唯一性定理若若)(lim0 xfxx存在存在, 則極限唯一則極限唯一.有界性定理有界性定理若若,)(lim0Axfxx 則存在常數(shù)則存在常數(shù)0 M和和, 0 使得當(dāng)使得當(dāng) |00 xx時時

14、,有有.| )(|Mxf 保號性定理保號性定理若若,)(lim0Axfxx 且且0 A( (或或),0 A則則, 0 使得當(dāng)使得當(dāng) |00 xx時時,有有0)( xf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期推論推論若若,)(lim0Axfxx 且在且在0 x的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0)( xf(或或),0)( xf則則0 A(或或).0 A高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期子序列收斂性子序列收斂性定義定義設(shè)在過程設(shè)在過程ax a(可以是可以是 00,xx或或)0 x中有中有數(shù)列數(shù)列nx),(a 使得使

15、得 n時時,axn則稱數(shù)列則稱數(shù)列)(nxf為函數(shù)為函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)ax 時的時的子序列子序列.定理定理若若0lim( ),xxf xA 數(shù)列數(shù)列)(nxf是是)(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時的一個子序列時的一個子序列, 則有則有l(wèi)im().nnf xA 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是函數(shù)極限存在的充要條件是都存在且相等都存在且相等.例如例如,設(shè)設(shè). 1sinlim0 xxx則則, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn. 11sin1lim22 nnnnn它的任何

16、子列的極限它的任何子列的極限高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期1122nxn 且且且且 , 0lim, 0limnnnnxx0 nx0 nx, ,而而 nxnnnsinlim1sinlim , 0 11limsinlimsin(2)2nnnnx 1lim n. 1 二者不相等二者不相等, 故故xx1sinlim0不存在不存在.例如例如證明證明xx1sinlim0不存在不存在.證證取取,1 nxn 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期1. 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)Anfn )(lim

17、AxfAxfAxfxxx )(lim)(lim)(limAxfAxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim000Axf )(lim , 0 時刻，時刻，從該時刻從該時刻以后，以后， 恒有恒有 |)(|Axf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期)(xf n xxxNNn |xX xX xX |)(|Axf)(xf |)(|Axf 0 xx 0 xx 0 xx |00 xx 00 xx00 x x 過過 程程時時 刻刻過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后從此時刻以后從此時刻以后內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)X高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、14

18、2 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期2.)(X 定義論證方法定義論證方法對對, 0 找找 （或（或, 0) X使當(dāng)使當(dāng) |00 xx（或（或)|Xx 時，時，總有總有.|)(| Axf具體運用時，常用分析法倒推具體運用時，常用分析法倒推 :即從即從 |)(|Axf出發(fā)，出發(fā)， 將不等式左端變形將不等式左端變形若干步后再令其若干步后再令其, 解出解出)(|0 xx(或或),(| x取取)( (或或),( X然后用定義敘述和然后用定義敘述和下結(jié)論下結(jié)論 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期2.)(X 定義論證方法定義論證方法3. 函數(shù)極限的主要性質(zhì)函數(shù)極限的主要性質(zhì)函數(shù)極限的唯一性函數(shù)極限的唯一性局部有界性局部有界性局部保號性局部保號性 . .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 20142015學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)課堂