參數(shù)法求軌跡方程

1、參數(shù)法求軌跡方程一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)深入理解曲線的參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)一步掌握參數(shù)方程與普通方程的互化方法-（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)掌握運(yùn)用參數(shù)求軌跡方程的方法，了解設(shè)參的基本原則和選參的一般依據(jù)，能順利消參并討論軌跡的純 粹性和完備性，培養(yǎng)多向思維的流暢性-（三）學(xué)科滲透點(diǎn)通過(guò)學(xué)習(xí)選參方法，學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象挖掘本質(zhì)的哲學(xué)思想方法-二、教材分析1 重點(diǎn)：運(yùn)用參數(shù)求軌跡方程的方法-2 難點(diǎn)：選擇參數(shù)應(yīng)遵循的一般依據(jù)，消參的技術(shù)與軌跡的純粹性完備性討 論.3疑點(diǎn)：設(shè)參的基本原則-三、活動(dòng)設(shè)計(jì)1 -活動(dòng)：?jiǎn)柎?、思?2教具：投影儀-四、教學(xué)過(guò)程（一）回憶、點(diǎn)題和明確任務(wù)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，如

2、果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系比較明顯，那么可以用直接法，也 就是建系、列式、化簡(jiǎn)-如果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系比較隱蔽，但動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng) 過(guò)程中符合某種二次曲線的定義，那么可以用定義法，也就是定型（曲線類型）、 定位（曲線位置）、定量（曲線幾何量），然后直接運(yùn)用二次曲線的方程寫出動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程-如果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系很隱蔽并且很難判斷動(dòng)點(diǎn)符合某種二 次曲線的定義，那么就可以引進(jìn)一些參數(shù)，用這些參數(shù)把x、y之間的那種隱蔽關(guān)系間接地連起來(lái)，然后消掉參數(shù)，這就是所謂的參數(shù)法求軌跡方程-同學(xué)們常用的交軌法、換標(biāo)法，實(shí)際上也是消去一些元，留下動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y的方，去，者B可以 叫參數(shù)法-在實(shí)踐家已經(jīng)知道

3、，參數(shù)法求軌跡方程的步驟是：首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng) 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)參，然后運(yùn)用這些參數(shù)列式，再?gòu)倪@些式子中消參，最后討論軌跡 的純粹性和完備性，我們稱之為議參-其中，最關(guān)鍵的一步是設(shè)參，參設(shè)得不同，整 個(gè)思維和運(yùn)算過(guò)程不同，參設(shè)得不好，運(yùn)算量增大，甚至根本就算不出來(lái)；最畏難一 步是消參，經(jīng)常遇到參消不了而越消越復(fù)雜的情況；最易錯(cuò)的一步就是軌跡的純粹 性完備性討論-如何做到設(shè)參合理、列式簡(jiǎn)易、消參順利、議參嚴(yán)密，大家可以從下 面的例子中來(lái)思考和總結(jié)-（二）講例1，設(shè)參基本原則請(qǐng)看屏幕（投影，讀題）-例1矩形ABC沖，AB=2a BC=b a>b, E、F分另tj是AB CD的中點(diǎn)，平 行于EC 的

4、直線I分別交線段EF、FC于M N兩點(diǎn)，求直線AM與BN交點(diǎn)P的軌跡（圖3. 9） 首先需要建立坐標(biāo)系，請(qǐng)考慮，建立直角坐標(biāo)系一般應(yīng)選擇什么位置？學(xué)生1答：選擇邊界、中心等特殊位置那么，這一題如何建立坐標(biāo)系？解：以E為原點(diǎn)，EB為x軸建立直角坐標(biāo)系各點(diǎn)坐標(biāo)如圖（投影換片,力口坐 標(biāo)系與相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)）-運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，I主動(dòng)，M N從動(dòng)，P隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)思考，在這一運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中有幾種 設(shè)參方法？學(xué)生2答：（1）I的縱截距c，（2） |OM|=t，（3）|FM|=t -為什么可以這樣設(shè)參？一參對(duì)一點(diǎn)p, P對(duì)一參,參變化P運(yùn)動(dòng)，參固定P靜止，一句話：一切可以控 制運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的量都可以設(shè)參.這就是設(shè)參的基本原則

5、.設(shè)|FM|=t，t 0 , b , P （x, y） 下面解答,請(qǐng)考慮，需要建垃T的是參數(shù)耀；禹嗎？學(xué)生3答：不必要，只要找x、y、t間的最簡(jiǎn)單式子，從中能消參即可，這是列式的基本要求.k-Bp =£ EN *用2)篝y _ b-tx + a ay _ b2x -a a(t -b)上面的消參方法，可以視X、y為常數(shù)代入消參，也可以是兩式作用消參,參數(shù)t 0 , b圍明顯，但由于沒有顯參數(shù)方程，所以不便通過(guò)議參來(lái)確定x、y的圍，此時(shí) 可根據(jù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，由幾何直觀討論軌跡的純粹性和完備性.軌跡為橢I過(guò)F時(shí)，P合于F, I 0C時(shí)，P B故x0，y0.+ £二1在第一

6、象限（含左端點(diǎn)）的一段?。〒Q投 aD影片，顯示軌跡）.（三）講例2,選參的一般依據(jù)上面例1，設(shè)一個(gè)參數(shù)就可以了，并且消參也容易，下面的例2就不是這種情況，請(qǐng)看屏幕（投影，讀題）.例2點(diǎn)A （1 , 1）、B C是拋物線y2=x上的動(dòng)點(diǎn)，滿足AB.AQ作矩形ABPC 求P點(diǎn)的軌跡方程（圖3-10）.運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中5表面上看有B C兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，實(shí)際上由于AB _L AC,所以若B主動(dòng)，則 C從動(dòng)，P隨之運(yùn)動(dòng)，故實(shí)際上只有一個(gè)自由變量就可以控制整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng). 請(qǐng) 思考，這題有幾種設(shè)參方法？各種設(shè)參通過(guò)什么途徑把參數(shù)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)連系起 來(lái)？學(xué)生4答：設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)(t 2，t) TkAB- kA尸CAP.上述兩種

7、設(shè)參方法中，參數(shù)與動(dòng)點(diǎn)P的關(guān)連都比較遠(yuǎn)，課后大家可以計(jì)算一下，實(shí)現(xiàn)這一關(guān)連，計(jì)算很是復(fù)雜.那么再考慮，能否再找一種設(shè)參方法，這種設(shè)參方法 不局限于一個(gè)參數(shù)，但確使參數(shù)與動(dòng)點(diǎn)P間的關(guān)連比較近？學(xué)生5答：解：設(shè) B (t 12, ti) , C (t22, t2)TP (x, y).參數(shù)與P的關(guān)連很近，但參數(shù)多了一個(gè)，大家向來(lái)怕參數(shù)多，實(shí)際上，11、t 2之間本身有一個(gè)關(guān)系，F(xiàn) (口，t2)=0，而這一關(guān)系在消參的運(yùn)用上或許無(wú)需顯解 成tl=f (t2)，只需要將F (ti，t2)=0用一下就可以達(dá)到消參目的,而前面的兩 種設(shè)參方法在消參過(guò)程中，實(shí)際上就是把ti、t2的關(guān)系F (ti, t2)=。

8、顯解成tl=f (t 2)，然后消參時(shí)又恢復(fù)成F (ti，t2)=0的重復(fù)計(jì)算過(guò)程.這種重復(fù)計(jì)算就是一開 始所說(shuō)的有時(shí)很復(fù)雜，有時(shí)根本就算不出來(lái).是否真的如此，算算看：(t 1+t 2) 2=ti2+t 22+2tit 2,(y+1) 2=x+1+2-(y+1)-2即:(y+2) 2=x-2 .想一想看，如果顯解出t仁f(t2)再兩式消t 2，將會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)關(guān)于t2的二次方 程， 這就是消參計(jì)算復(fù)雜性的原因，因此在根據(jù)設(shè)參基本原則確定的所有可設(shè)的參數(shù) 中，選擇與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)連密切的為參數(shù).這就是選參的一般依據(jù)，并且選參不要求唯一，多個(gè)參之間不一定獨(dú)立-例1中一個(gè)參數(shù)需二個(gè)式，例2中二個(gè)參數(shù)需三個(gè)式

9、，所以一般來(lái)說(shuō)，n個(gè)參數(shù)需列n+1個(gè) 式，而消參時(shí)更要充分運(yùn)用恒等式進(jìn)行整體消參.最后來(lái)討論純粹性和完備性.同例1不一樣，顯然x、y是參數(shù)的顯示數(shù)，但是兩個(gè)參 數(shù)的函數(shù)，且兩個(gè)參數(shù)有關(guān)連，并非獨(dú)立，所以x、y圍難求.而用幾何 直觀也比較 困難，把兩者結(jié)合起來(lái)：3八L亍3/.匕學(xué)“即，二箸與盤+即十-2的交點(diǎn)除掉（換投勒片，顯示軌跡）.由此可知，討論軌跡的純粹性和完備性，可以把幾何直觀與參數(shù)函數(shù)相結(jié)合.（四）小結(jié)（已在教學(xué)過(guò)程中逐條總結(jié)并板書）參數(shù)法求軌跡方程的步驟：設(shè)參：一切可以控制運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的量都可以設(shè)參（基本原則），從中選擇與動(dòng)點(diǎn)關(guān)連密切 的為參數(shù)（一般依據(jù)）.設(shè)參數(shù)不要求唯一，多個(gè)參數(shù)之間

10、不一定獨(dú)立.用參：列式要棄繁就簡(jiǎn)，n個(gè)參數(shù)需列n+1個(gè)式.消參：視x、y為常數(shù)，代人消參，兩式作用消參，整體元消參.假含參式（即雖 有x、y，但并非動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)）不能參與消參.議參：幾何直觀與參數(shù)函數(shù)相結(jié)合.五、布置作業(yè)1. E、F是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD勺邊ADBC中點(diǎn)，長(zhǎng)為血的線段在直線AC上運(yùn)動(dòng)在N下方），求直線E啦與F血點(diǎn)F 的軌跡（圖311）.解：以EF為x軸，EF中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則E (-1 , 0),F1,0)，設(shè) Mj ，ta)，則 V2|ta2,坊如 ta-tx=1.EMIfx-1即 x 2-y 2=1.據(jù)M點(diǎn)從A到OA中點(diǎn)及角到。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，畫圖可知，軌跡為雙曲線左上和右下兩個(gè)部分，即L曠=12.點(diǎn) A (1 7 )， 軌跡方程(圖312).B、C是x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，且AB _L AC,求BC中點(diǎn)P的解：設(shè) B(2cos a, 2si n a )、C(cos B, 2si n B )、P(x, y).x 2+y2=2+2(cos a cos B +sin a sin B ).kAC kABF