《開集與閉集》ppt課件

1、第二節(jié) 開集、閉集與完備集第二章 n 維空間中的點(diǎn)集假設(shè)E = E , 那么稱E為開集E中每個(gè)點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)) 假設(shè) ,那么稱E為閉集與E緊挨的點(diǎn)不跑到E外lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等價(jià)于故的孤立點(diǎn)全體由于闡明：要證E是開集，只需證 要證E是閉集，只需證)(顯然因?yàn)镋EEE)(顯然因?yàn)榛駿EEEEEEE (1) 開集、閉集例1：開區(qū)間(a,b)為開集闡明：要證E是開集，只需證 )(顯然因?yàn)镋EEEabx),(),(baOx 證明：任取x(a,b),取=min|x-a|,

2、|x-b|, 那么 ,從而x是a,b的內(nèi)點(diǎn)，故(a,b)是開集。 證明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 那么 ,例2：閉區(qū)間a,b為閉集闡明： 要證E是閉集，只需證()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因?yàn)轱@然a b xcxbaO,),(從而x不是a,b的接觸點(diǎn)，從而a,b的接觸點(diǎn)都在a,b內(nèi)，從而a,b是閉集。注：閉集為對(duì)極限運(yùn)算封鎖的點(diǎn)集 即：A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)A中的恣意收斂點(diǎn)列收斂于A中的點(diǎn)0limppnn0limppnn假設(shè) 或 ,那么稱E為閉集。 與E接近的點(diǎn)不跑到E外EE EE ),(xO E為開集為開集，即從而EEE)(EOOxy),() ,(則)

3、,(yOEEOx),()(Ex)(EE ),(xOy),(yxdEOx),(, 0使得Ex E為閉集)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）) , (xOE( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex E為閉集E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）為閉集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EE(2)開集與閉集的對(duì)偶性lP0為 E的接觸點(diǎn)

4、：lP0為 E的聚點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：lP0為 E的外點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.假設(shè)E為開集，那么Ec為閉集; 假設(shè)E為閉集，那么Ec為開集。ccccEEEE)()()()(a.開集的余集是閉集 lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得 從而x不是Ec的接觸點(diǎn)， 也即Ec的接觸點(diǎn)一定在Ec內(nèi)， 從而 ，即Ec為閉集。 ccEE EOExx),(, 0,使得證明：設(shè)E為開集，即( , )cxOE 從而閉集的余集是開集EE 證明：設(shè)E為閉集，即cx

5、E 任取 ，假設(shè)x不是Ec的內(nèi)點(diǎn)， 那么x的任一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)屬于E的點(diǎn)，cxE 從而x為E的接觸點(diǎn)，由為閉集可知x在E內(nèi)， 這與 矛盾，所以Ec中的點(diǎn)都為Ec的內(nèi)點(diǎn)，即Ec為開集。lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得開集的性質(zhì) a. 空集，Rn為開集;b. 恣意多個(gè)開集之并仍為開集；c. 有限個(gè)開集之交仍為開集。注：無限多個(gè)開集的交不一定為開集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只需空集和Rn既開又閉，存在大量既不開又不閉的集合，如：E=0,1)A Bb. 恣意一族開集的并是開集證明.)(是開集是一族開集，下證設(shè)GGIGI.,),(,0

6、00110為開集的任意性知的內(nèi)點(diǎn)，由是的領(lǐng)域?yàn)殚_集，故存在已知，使則非空，任取設(shè)GxGxGGxGGxIGxGc. 有限多個(gè)開集的交仍是開集證明.), 2 , 1(,1iiiniGxGxniGGG則任取為開集設(shè).),(),(,min,max,),(11iiiiniiniiiiiGxGxG則取的領(lǐng)域?yàn)殚_集，故存在因.),(1的內(nèi)點(diǎn)是因此所以GxGGxini閉集的性質(zhì)a.空集，Rn為閉集；b.恣意多個(gè)閉集之交仍為閉集；c.有限個(gè)閉集之并仍為閉集。注：無限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：En=0,1-1/n(5) Heine-Borel有限覆蓋定理 設(shè)F為有界閉集，假設(shè)開集簇 覆蓋F 即 ， 那么 中存

7、在有限個(gè)開集N1 ，N2， ,Nn，它同樣覆蓋F.),(,),(, 0. 10iNxOFxO都有使先證明:IiNiiIiNF:IiNi證明.)n1,(,n1,的開領(lǐng)域中不包含在任何屬于使因而必有都有若不然，對(duì)nnxOFxn.00出現(xiàn)無限多次素，則至少有一點(diǎn)只有有限多個(gè)不同的元若，則有聚點(diǎn)有無限多個(gè)不同的元素若有界有界，則由于xxxxFxFnnn.,00FxFxxxxiinnn是閉集，故又使的一個(gè)子序列因此總有).,(),(, 0),(.0000yNxNyNNNxNF使則有設(shè)，因此有覆蓋而.),(),()1,(,21,2),(,0000的定義矛盾這與于是充分大，使取由iiiininininxyN

8、xNnxOnxxnxx. 2小于塊中任意兩點(diǎn)的距離都有限多個(gè)小塊，使每一分成面的超平面將有界，用平行于坐標(biāo)平因?yàn)镕F.),(),(,21iiiiiimNxNNxNxFFFF使則有作中任取一點(diǎn)，在每一，設(shè)這些小塊是.,1121imiimimNFFNNN顯然的有限多個(gè)開領(lǐng)域于是得出屬于例3：設(shè)F為R1中的有界閉集，G為開集且那么存在0，使得當(dāng)|x| 時(shí) ，有證明：對(duì)恣意的yF，由于yG ，F(xiàn)GGFyxyxF:GOyyy),(,0使得故存在),(121iyiyniOF使得:),(21FyOyy由 組成F的一個(gè)開覆蓋及有限子覆蓋定理，知存在y1, y2, yn F ,min2121nyyy取iiiyy

9、yiiyyyzzy2121| |且y與Gc中的任一點(diǎn)z之間的間隔為GxF 那么當(dāng) |x|時(shí)有 y+xG ，即于是對(duì)每個(gè)yF至少屬于某個(gè) ),(21iyiyO(6) 完備集 定義1i假設(shè) ，即 的每一點(diǎn)都是 本身的聚點(diǎn)，那么稱 是自密集； ii假設(shè) ，那么稱 是完備集合。 (自密的閉集或沒有孤立點(diǎn)的閉集)EEEEEEE定義2 (i) 設(shè)A、B 是直線上恣意兩個(gè)集，假設(shè)B的恣意一點(diǎn)x 的恣意領(lǐng)域 中總含有A的點(diǎn)，那么稱A在B中稠密. 當(dāng) 時(shí)，稱A是直線上的稠密集. (ii) 假設(shè)直線上任何開區(qū)間 中總有子區(qū)間 使得 不含有A的點(diǎn)，那么稱A是疏朗集 (無處稠密集). ),(1RB ),(),(),(

10、),(問題：能否在直線上找到既完備有是疏朗的問題：能否在直線上找到既完備有是疏朗的 集合？集合？Cantor集的構(gòu)造: 將0，1均分為三段，刪去中間的開區(qū)間 ，將剩下的兩個(gè)區(qū)間 再次三等分，刪去中間的兩個(gè)區(qū)間 .如此繼續(xù)下去，最終剩下的點(diǎn)集記作E，稱之為Cantor集，那么E是一個(gè)完備集。 32,311 ,32,31,098,97,92,91Cantor集對(duì)0,1區(qū)間三等分，去掉中間一個(gè)開區(qū)間，然后對(duì)留下的兩個(gè)閉區(qū)間三等分，各自去掉中間一個(gè)開區(qū)間，此過程不斷進(jìn)展下去，最后留下的點(diǎn)即為Cantor集Cantor 集合E是一完備集合1) E是一閉集.設(shè)A是一切被刪去的點(diǎn)作成的集合，那么A是可數(shù)多個(gè)

11、開集的和，所以A是開集., 1 , 0 1 , 0是閉集故而EAAEc2) E是一自密集.312nnnCantor個(gè)閉區(qū)間的長(zhǎng)度是的次刪去以后，所余下來集的構(gòu)成，在進(jìn)根據(jù).31, 0,min),( ,00nnxxxEx充分大時(shí)有故當(dāng)則的任意一開區(qū)間，令是包含設(shè).),(),(,000ExExIInxExinin，這說明的點(diǎn)屬于中至少有一異于所以則次后所余的某一閉區(qū)間也應(yīng)屬于刪去故又Cantor 集合E是一疏朗集合.),(),(的點(diǎn)，則顯然成立不含若任取開區(qū)間E.31, 0,min),(00nnxxxE充分大時(shí)，便有故當(dāng)則，令的點(diǎn)中有若.),(),(),(),(,),(,0000000是疏朗集所以

12、，且，則中間的開區(qū)間，設(shè)為三等分時(shí)，所挖去的再將則設(shè)該閉區(qū)間為中，次后所余的某一閉區(qū)間也應(yīng)屬于刪去故是永遠(yuǎn)刪不去的點(diǎn)既然EEnxxCantor 集合E是直線上的一個(gè)無處稠密的完備集Cantor集的性質(zhì)ininIG)(,1 .分割點(diǎn)一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc為閉集注：第n次共去掉2n-1個(gè)長(zhǎng)為1/3n的開區(qū)間11231323111nnn2. P的“長(zhǎng)度為0，去掉的區(qū)間長(zhǎng)度和3. P沒有內(nèi)點(diǎn)( )x- x x+第 n+1次等分去掉的區(qū)間第n次等分留下的區(qū)間()130,nniIO（ x, ）當(dāng)時(shí) ， 有但由Cantor集的作法知，我們要對(duì)繼續(xù)三等分去掉中間一個(gè)開區(qū)間，從而 內(nèi)至少有一點(diǎn)不屬于P，所以x不能夠是P的內(nèi)點(diǎn)。O（x, ）證明：對(duì)恣意x P, x必含在“去掉手續(xù)進(jìn)展到第n次時(shí)留下的2n個(gè)長(zhǎng)為1/3n的互不相交的某個(gè)閉區(qū)間中( )niI4. P中的點(diǎn)全為聚點(diǎn),從而沒有孤立點(diǎn))(),(xPOx從而從而x為P的聚點(diǎn)，當(dāng)然不為孤立點(diǎn)。)(, 0),(xPOx有 證明：對(duì)恣意x P ， 只需證：第n次等分留下的區(qū)間( )x- x x+nniI31|)( )1( , )3,nnxiniOI及某個(gè)，使)(niI 由Cantor集的作法知 而 的兩個(gè)端點(diǎn)定在P中，5. Cantor 集合的基數(shù)是延續(xù)