第1章二維線性系統(tǒng)分析1-傅里葉變換.ppt

1、sinc(x)d d (x-1) =tri(x)d d (x + 0.5) =sinc(x)*d d (x-1) =tri(x) * d d (x + 0.5) =0sinc(x-1)1x2010.5 d d (x + 0.5)1x0-110.5-0.5tri(x + 0.5)0-0.510.5-1.5x恩格斯(Engels) 把傅里葉傅里葉的數學成就與他所推崇的哲學家黑格爾(Hegel) 的辯證法相提并論.他寫道：傅里葉傅里葉是一首數學的詩，黑格爾是一首辯證法的詩. 第一章第一章 二維線性系統(tǒng)分析二維線性系統(tǒng)分析Analysis of 2-Dimensional Linear System

2、1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換三角傅里葉級數三角傅里葉級數第一章第一章 二維線性系統(tǒng)分析二維線性系統(tǒng)分析Analysis of 2-Dimensional Linear System 1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換三角傅里葉級數三角傅里葉級數滿足狄氏條件的函數 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展為三角傅里葉級數:展開系數零頻分量, 基頻, 諧頻, 頻譜等概念， 奇、偶函數的三角級數展開 , )2sin2cos(2)(1000nnnxnfbxnfaaxgtt00)(2dxxgatt00)2cos()(2dxxnfxgantt00)2sin()(2dxxnfxgbn 1 )

3、, .2 , 1 , 0( 0tfn三角傅里葉展開的例子三角傅里葉展開的例子-1.201.2012345) 2cos(2x) 6cos(32x21前3項的和周期為t =1的方波函數.)6cos(32)2cos(221)(xxxfan fn013頻譜圖1/22/-2/3三角傅里葉展開的例子三角傅里葉展開的例子練習練習 0-15：求函數：求函數g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里葉級數展開系數的傅里葉級數展開系數周期 t =1寬度 =1/212)(24141220dxdxxgattt2sinc4/14/1)2sin()2cos(2)2cos()(2414122nnnxdxnxdxnxx

4、ganttt0)2sin()(2220tttdxxnfxgbn頻率 f0 =1采用指數傅里葉級數展開，可以使展開系數的表達式統(tǒng)一而簡潔。采用指數傅里葉級數展開，可以使展開系數的表達式統(tǒng)一而簡潔。1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換指數傅里葉級數指數傅里葉級數滿足狄氏條件的函數滿足狄氏條件的函數 g(x) 具有有限周期具有有限周期t t,可以在可以在(- ,+ )展為展為指數傅里葉級數指數傅里葉級數: 1 ), .2, 1, 0( , )2exp()(00tfnxnfjcxgnn展開系數展開系數tt00)2exp()(1dxxnfjxgcn零頻分量零頻分量, 基頻基頻, 諧頻諧頻, 頻譜等概念頻

5、譜等概念指數傅里葉級數和三角傅里葉級數是同一種級數的兩種表指數傅里葉級數和三角傅里葉級數是同一種級數的兩種表示方式，一種系數可由另一種系數導出。示方式，一種系數可由另一種系數導出。1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換指數傅里葉級數指數傅里葉級數思考題思考題利用歐拉公式，證明指數傅里葉系數與三角傅里葉系數之間利用歐拉公式，證明指數傅里葉系數與三角傅里葉系數之間的關系：的關系：2 ,2 ,200nnnnnnjbacjbacac1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級數到傅里葉變換函數 (滿足狄氏條件) 具有有限周期t,可以展為傅里葉級數:)1 2exp()1 2

6、exp()(1)(22xnjdxxnjxgxgnttttt展開系數Cn頻率為n/t的分量22)1 2exp()(1)1 2exp()(tttttdxxnjxgCxnjCxgnnnn級諧波頻率:n/t相鄰頻率間隔: 1/t1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級數到傅里葉變換非周期函數可以看作周期為無限大的周期函數非周期函數可以看作周期為無限大的周期函數:)1 2exp()1 2exp()(1lim)(22xnjdxxnjxgxgntttttt由于由于t t 分立的分立的n級諧波頻率級諧波頻率 n/t t f, f: : 連續(xù)的頻率變量連續(xù)的頻率變量 相鄰頻率

7、間隔相鄰頻率間隔: : 1/t t 0, 0, 寫作寫作df, 求和求和積分積分) 2exp() 2exp()()(fxjdxfxjxgdfxg展開系數展開系數,或頻率或頻率f分量的權重分量的權重, G(f), 相當于分立情形的相當于分立情形的Cn1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級數到傅里葉變換 寫成兩部分對稱的形式:這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換dffxjfGxgdxfxjxgfG) 2exp()()() 2exp()()(1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義及存在條件一、定義及存在條件函數函數f(

8、x,y)在整個在整個x-y平面上絕對可積且滿足狄氏條件平面上絕對可積且滿足狄氏條件(有有有限個間斷點和極值點有限個間斷點和極值點,沒有無窮大間斷點沒有無窮大間斷點), 定義函數定義函數dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(為函數f(x,y)的傅里葉變換, 記作: F(fx,fy)= f(x,y)=F.T.f(x,y), 或或 f(x,y) F(fx,fy)F.T.f(x,y): 原函數, F(fx,fy): 像函數或頻譜函數dxKfxF),()()(變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2fx)1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、

9、定義(續(xù))由頻譜函數求原函數的過程稱為傅里葉逆變換由頻譜函數求原函數的過程稱為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(fx,fy)稱為傅里葉變換對記作: f(x,y)= -1F(fx,fy). 顯然 -1 f(x,y)= f(x,y) 綜合可寫: f(x,y) F(fx,fy)F.T.F.T.-1x (y) 和和 fx (fy )稱為一對共軛變量稱為一對共軛變量, 它們在不同它們在不同的范疇的范疇(時空域或頻域時空域或頻域) 描述同一個物理對象描述同一個物理對象.yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義

10、(續(xù))描述了各頻率分量的相對幅值和相移描述了各頻率分量的相對幅值和相移.x, y, fx , fy 均為實變量，F(fx,fy)一般是復函數, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf f (fx,fy)振幅譜振幅譜位相譜yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(F(fx,fy)是是f(x,y)的頻譜函數的頻譜函數1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform廣義 F.T.對于某些不符合狄氏條件的函數, 求F.T.的方法.例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可積對某個可變換函數組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數,函數系列變換式的極限原來

11、函數的廣義F. T.可定義: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 則 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 二、廣義 F.T.根據廣義傅立葉變換的定義和d 函數的定義: g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) t 則 rect(x/t)rect(y/t) =t2sinc(tfx)sinc(tfy) 1 = d(fx, fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數的F.T.rect( )tx) (sinc )sin()( 21)

12、 2exp( 21) 2exp() 2exp()(rect2/2/2/2/xxxfjfjxxxxxfffeefjxfjfjdxxfjdxxfjxxxtttttttttt思考題:利用 rect(x)=sinc(f)計算dfff0)sin(重要推論: rect(x) =sinc(fx)1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 二、二、 極坐標下的二維傅里葉變換和傅里葉極坐標下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換貝塞爾變換特別適合于圓對稱函數的特別適合于圓對稱函數的F.T. 依F.T.定義: sincos )(tan122ryrxxyyxr空域fffsinco

13、s )(tan122yxxyyxffffff頻域極坐標變換dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 極坐標下的二維傅里葉變換極坐標下的二維傅里葉變換令:)sin ,cos(),()sin ,cos(),(fffrrfrgFG 則在極坐標中:fff200)cos(2exp)sin,cos( )sin,cos(rdrrjrrfdF則極坐標下的的二維傅里葉變換定義為：ffff200200)cos(2exp),(),()cos(2exp),(),(drjGdrgdrrjrrgdG1-2 二維傅里葉變換

14、二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 傅里葉傅里葉-貝塞爾變換貝塞爾變換0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圓對稱函數的F.T.仍是圓對稱函數, 稱為F-B (傅-貝)變換,記為G() = g(r), g(r) = -1G()drdrjrrgG020)cos(2exp)( ),(ff 當 f 具有園對稱性，即僅是半徑r的函數:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定義: 利用貝塞爾函數關系利用貝塞爾函數關系)(2)cos(exp020aJdjaf1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 傅里葉-貝

15、塞爾變換例: 利用F-B變換求圓域函數的F.T.定義: 是圓對稱函數22 , , 01 , 1)(circyxrrr其它100)2(2)(circdrrrJr作變量替換, 令r =2r, 并利用:xxxJdJ010)()( )2() (21)(circ12002JdrrJrr1-2 二維傅里葉變換2-D Fourier Transform三. 虛、實、奇、偶函數的 F.T.將頻譜函數G(f)分別寫成實部(余弦變換)和虛部(正弦變換), 然后根據g(x)的虛、實、奇、偶 性質討論頻譜的相應性質.注意注意: 并非實函數的頻譜一定是實函數并非實函數的頻譜一定是實函數.只有厄米函數只有厄米函數(實部實

16、部為偶函數為偶函數,虛部為奇函數虛部為奇函數)的頻譜才一定是實函數的頻譜才一定是實函數.例例: rect (x) (實、偶實、偶) sinc(fx) (實、偶實、偶) F.T.但是但是, rect (x-1) (實、非偶實、非偶) 復函數復函數 F.T.1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform四、 F.T.定理 - F.T.的基本性質1. 線性定理線性定理 Linearity 設 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.2. 空間縮放空間縮放 Scaling (相似性定理）相似性定理）g(x,y)+b h(x,y)= G(f

17、x,fy) + b H(fx,fy)F.T.是線性變換 bfafGabbyaxgyx,1),(1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 空間縮放注意空域坐標(x,y)的擴展(a,b1),導致頻域中坐標(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化. 反之亦然.g(x)x0 1/21/21g(ax) a=2x01/41/41fG(f)01-11f02-21/2)(1afGax空域壓縮F.T.F.T.頻域擴展1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2

18、(fxa+fyb) 設 g(x,y) G(fx,fy), F.T.頻率位移頻率位移:原函數在空間域的相移原函數在空間域的相移,導致頻譜的位移導致頻譜的位移.g(x,y) expj2(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空間位移空間位移:原函數在空域中的平移原函數在空域中的平移,相應的頻譜函相應的頻譜函數振幅分布不變數振幅分布不變,但位相隨頻率線性改變但位相隨頻率線性改變.推論: 由1= d (fx,fy)expj2(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)復指函數的復指函數的F.T.是移位的是移位的d d 函數函數1-2 二維傅里葉變換Fourier Tran

19、sform四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理若若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓代表加在單位電阻上的電流或電壓,則則| g(x) |2dx 代表信號的總能量代表信號的總能量(或總功率或總功率) | G(f) |2代表能量代表能量(功率功率)的譜密度的譜密度(單位頻率間隔單位頻率間隔的能量或功率的能量或功率)yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),( 設 g(x,y) G(fx,fy), F.T.Parseval定理說明,信號的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說等于各頻率分量的能量之和能量守恒1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 - Parseval定理的證明dxdfxfjfGdffxjfGdxxgxgdxxg)2exp() (*)2exp()()(*)()(2交換積分順序交換積分順序,先對先