北理工信號與系統(tǒng)實驗(3)

1、實驗3 信號的頻域分析一、 實驗?zāi)康?. 深入理解信號頻譜的概念，掌握信號的頻域分析方法。2. 觀察典型周期信號和非周期信號的頻譜，掌握其頻譜特性。二、 實驗原理1. 連續(xù)周期信號的頻譜分析如果周期信號滿足Dirichlet條件，就可以展開為傅里葉級數(shù)的形式，即 ， 式中，表示基波周期， 為基波周期，表示任一個基波周期內(nèi)的積分。上述兩式定義為周期信號復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，系數(shù)Ck稱為的傅里葉級數(shù)。周期信號的傅里葉級數(shù)還可以由三角函數(shù)的線性組合來表示，即其中第一式中同頻率的正弦項和余弦項可以合并，從而得到三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，即其中可見，任何滿足Dirichlet條件的周期信號都可以表示成

2、一組諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的疊加。一般來說周期信號表示為傅里葉級數(shù)時需要無限多項才能完全逼近原信號，但是在實際應(yīng)用中經(jīng)常采用有限項級數(shù)來替代，所選項數(shù)越多就越逼近原信號。2. 連續(xù)非周期信號的頻譜分析對于非周期連續(xù)時間信號，信號的傅里葉變換和傅里葉逆變換定義為 , 上述兩式把信號的時域特性和頻域特性聯(lián)系起來，確定了非周期信號和頻譜之間的關(guān)系。采用MATLAB可以方便的求取非周期連續(xù)時間信號的傅里葉變換。1）符號運算法MATLAB的符號數(shù)學(xué)工具箱提供了直接求解傅里葉變換和反變換的函數(shù)，fourier函數(shù)和ifourier函數(shù)，基本調(diào)用格式為，默認的時域變量為t，頻域變量為。2）數(shù)值積分法

3、除了采用符號運算的方法外，我們還可以利用MATLAB的quad函數(shù)，采用數(shù)值積分的方法來進行連續(xù)信號的頻譜分析。quad函數(shù)是一個用來計算數(shù)值積分的函數(shù)。利用quad函數(shù)可以計算非周期連續(xù)時間信號的頻譜。quad函數(shù)的一般調(diào)用格式為：y = quad(fun,a,b)，y = quad(fun,a,b,TOL,TRACE,p1,p2,)其中fun是指定被積函數(shù)，可以采用inline命令來創(chuàng)建，也可以通過傳遞函數(shù)句柄的形式來制定，a、b表示定積分的下限和上限，TOL表示允許的相對或絕對積分誤差，TRACE表示以被積函數(shù)的點繪圖形式來跟蹤該函數(shù)的返回值，如果TOL和TRACE為空矩陣，則使用缺省值

4、，“p1，p2，”標識被積函數(shù)除時間t之外所需的其他額外輸入?yún)?shù)。3）數(shù)值近似法我們還可以利用MATLAB的數(shù)值計算的方法近似計算連續(xù)時間傅里葉變換。傅里葉變換可以近似計算 當x(t)為時限信號，且足夠小，則上式可以演變?yōu)槎街星蠛筒糠钟挚梢员硎境梢粋€行向量和一列向量的乘積可以很方便地用MATLAB實現(xiàn)。3. 離散周期時間信號的頻域分析基波周期為N的周期序列x(n)可以用N個成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和表示，即 將周期序列表示成上式的形式，稱為離散傅里葉級數(shù)，而系數(shù)Ck則稱為離散傅里葉系數(shù)。離散傅里葉系數(shù)Ck可由下式確定。傅里葉系數(shù)Ck也稱x(n)的頻譜系數(shù)，而且可以證明Ck是以N為周期的離

5、散頻率序列。這說明了周期的離散時間函數(shù)對應(yīng)于頻域為周期的離散頻率。用周期N與傅里葉系數(shù)Ck的乘積來表示周期離散時間信號的頻譜，即X(k)可以利用MATLAB提供的函數(shù)fft用來計算，調(diào)用格式為該函數(shù)返回X(k)一個周期內(nèi)的值，其中x表示x(n)一個周期內(nèi)的樣本值。4. 離散非周期時間的頻域分析非周期序列x(n)可以表示成一組復(fù)指數(shù)序列的連續(xù)和 其中 第二式稱為x(n)的離散時間傅里葉變換，兩式確立了非周期離散時間信號x(n)及其離散時間傅里葉變換之間的關(guān)系。是連續(xù)頻率的函數(shù)，稱為頻譜函數(shù)，且是周期的連續(xù)頻率函數(shù)，其周期為。可見，非周期離散時間函數(shù)對應(yīng)于頻域中是一個連續(xù)的周期的頻率函數(shù)。對于有限

6、長的離散時間序列，上式可以表示為可以很方便地利用MATLAB實現(xiàn)。三、 實驗內(nèi)容1.已知x(t)是周期矩陣脈沖信號(1) 計算該信號的傅里葉變換解：,該信號的傅里葉級數(shù)為：(2) 利用MATLAB繪出由前N次諧波合成的信號波形，觀察隨著N的變化合成信號波形的變化規(guī)律解：設(shè)t0= t=-1.5:0.01:1.5;N=input('N='); A=input('A=');t0=input('t0=');T=input('T='); x=t0*A/T*ones(size(t);for k=1:1:N x=x+2*A/(k*pi)*sin

7、(t0*k*pi/T)*cos(k*2*pi/T*t);endplot(t,x);方波的信號波形如下：A=1 T=1 t0=0.5 N=5A=1 T=1 t0=0.5 N=10A=1 T=1 t0=0.5 N=20(3) 利用MATLAB繪出周期矩形脈沖信號的頻譜，觀察參數(shù)T和變化時對頻譜波形的影響解：A=input('A=');T=input('T=');t0=input('t0=');N=10;k1=-N:-1;c1=A./(k1*pi).*sin(k1*pi*t0./T);c0=A*t0/T;k2=1:N;c2=A./(k2*pi).*si

8、n(k2*pi*t0./T);cn=c1 c0 c2;n=-N:N;subplot(2,1,1);stem(n,abs(cn),'filled');subplot(2,1,2);stem(n,angle(cn),'filled');方波信號的頻譜如下：A=1 T=1 t0=0.5A=1 T=1 t0=0.7A=1 T=1 t0=0.9T不變的時候，若t0=增大，方波信號的占空比增加，頻譜的有效寬度下降。A=1 T=2 t0=0.5A=1 T=3 t0=0.5t0=不變的時候，若T增加，方波信號的占空比減小，頻譜的有效寬度增加。綜上，當方波信號的占空比增加時，頻譜

9、的有效寬度下降，占空比減小時，頻譜的有效寬度增加。觀察實驗結(jié)果，思考如下問題：Q11 什么事吉伯斯現(xiàn)象？產(chǎn)生吉伯斯現(xiàn)象的原因是什么？A11 吉伯斯現(xiàn)象即為用傅里葉級數(shù)的分量之和擬合原信號時，若分量的個數(shù)增加，擬合效果越好。N越大，變化合成信號與原方波信號越接近。Q12 以周期矩形脈沖信號為例，說明周期信號的頻譜有什么特點A12 周期脈沖信號經(jīng)過傅里葉變換得到其頻譜為離散的非周期圖像。Q13 周期矩形脈沖信號的有限頻帶寬度與信號的時域?qū)挾戎g有什么關(guān)系？A13 時域?qū)挾仍酱?，則在其他參數(shù)不變的情況下，頻域的有效寬度會減小。Q14 隨著矩形脈沖信號參數(shù)的變化，其頻譜結(jié)構(gòu)（如頻譜包絡(luò)形狀、過零點、譜

10、線間隔等）如何變化？A14 脈沖信號參數(shù)即代表該方波信號的占空比，當該信號參數(shù)變化時，頻譜的包絡(luò)形狀不變，過零點性質(zhì)不變。當占空比變大時，譜線間隔變小。2.已知x(t)是矩形脈沖信號(1) 求該信號的傅里葉變換解：信號的傅里葉變換為(2) 利用MATLAB繪出矩形脈沖信號的頻譜，觀察矩形脈沖寬度變化時對頻譜波形的影響解：設(shè)t0=syms t wt0=input('t0=');A=input('A=');X=int(A*exp(-j*w*t),t,-t0/2,t0/2);ezplot(X,-6*pi,6*pi);grid on; A=1 t0=1 A=1 t0=5

11、A=1 t0=10由圖像可知，A不變的時候，越大，頻譜越密(3) 讓矩形脈沖的面積始終等于1，改變矩形脈沖寬度，觀察矩形脈沖信號時域波形和頻譜隨矩形脈沖寬度的變化趨勢設(shè)t0=syms t wt0=input('t0=');A=1/t0;X=int(A*exp(-j*w*t),t,-t0/2,t0/2);ezplot(X,-6*pi,6*pi);grid on; =1 =5 =10由圖像可知，面積為1且不變時，越大，時域波形寬度越大而頻域波形的有效寬度越小。Q21 比較矩形脈沖信號和周期矩形脈沖信號的頻譜，兩者之間有何異同？A21 矩形周期信號的頻譜為離散信號，而矩形脈沖信號的頻

12、譜為連續(xù)信號。兩者對應(yīng)的頻譜均為非周期信號。Q22 根據(jù)矩形脈沖寬度變化時頻譜的變化規(guī)律，說明信號的有效頻帶寬度與其時域?qū)挾戎g有什么關(guān)系。當脈沖寬度，脈沖的面積始終等于1，其頻譜有何特點？A22 越大，時域波形寬度越大而頻域波形的有效寬度越小。3.已知x(n)為周期方波序列，利用MATLAB繪制周期方波序列的頻譜波形，改變參數(shù)和的大小，觀察頻譜波形的變化趨勢。觀察實驗結(jié)果，思考如下問題：Q31 以周期方波序列為例，說明周期序列與連續(xù)周期信號的頻譜有何異同Q32 隨著周期方波序列占空比的變化，其頻譜如何隨之變化？解：N1=input('N1=');N=input('N=

13、'); syms n k; F1 = symsum(exp(-j*2*pi*k*n/N),n,-N1,N1); F = inline(F1); for n1=0:1:N X=F(n1); stem(n1,X,'filled'); hold on;endN1=2 N=10N1=3 N=10代表該周期方波序列的占空比，越大，則其頻譜越密。A3-1 離散周期序列其頻譜為周期圖像，而連續(xù)周期信號的頻譜為非周期圖像。共同點均為離散信號。A3-2 代表該周期方波序列的占空比，越大，則其頻譜越密。4.已知一矩形脈沖序列利用MATLAB繪制周期方波序列的頻譜波形，改變矩形脈沖序列的寬度，觀察頻譜波形的變化趨勢解： w = -pi:0.01*pi:pi;N1 = input('N1='); n = -N1:N1; x = ones(size(n); X = x*exp(-j*n'*w); subplot(211); stem(n,x,'filled'); subplot(212); plot(w/pi,abs(X); grid on;N1=1N1=5N1=10N1=15觀察實驗結(jié)果，思考如下問題：Q41 隨著矩形脈沖序列寬度的變化，其頻譜如何隨之變化？其寬度與頻率的有效頻帶寬度有何關(guān)系？A4-1 N1代表該信號的脈沖寬