大學(xué)概率統(tǒng)計(jì) 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

1、第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 離散型 連續(xù)型返回主目錄隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量 xgyYxX取值時(shí)，取值當(dāng)?shù)诹?隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布本節(jié)的任務(wù)就是： 的分布要求隨機(jī)變量，的分布，并且已知已知隨機(jī)變量YXgYX的函數(shù)，是是一隨機(jī)變量，設(shè)XYX XgYY則,返回主目錄一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù),2, 1npxXPnnX1x2x，nxP1p2p，np或，nyyy21，其中21nxgynn第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布返回主目錄設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為 量，它的取值為也是離散型隨機(jī)變，則的函數(shù)：是YXgYXY第 一 種 情 形如果，nyyy21兩

2、兩不相同，則由， 21nxXPyYPnn的分布律為可知隨機(jī)變量Y,2, 1npyYPnn或Y1y2y，nyP1p2p，np第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布返回主目錄第 二 種 情 形如果，nyyy21有相同的項(xiàng)， .的分布律隨機(jī)變量應(yīng)的概率相加，即可得相（看作是一項(xiàng)），并把則把這些相同的項(xiàng)合并XgY 第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布返回主目錄例例 1 1的的分分布布律律為為設(shè)設(shè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量XX -2 0 3 P 61 31 21 的的分分布布律律，試試求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量YXY1 解：解：的的取取值值為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量1 XY. 2, 1, 3 5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第二章 隨

3、機(jī)變量及其分布這這些些取取值值兩兩兩兩互互不不相相同同由此得隨機(jī)變量由此得隨機(jī)變量1 XY的的分分布布律律為為Y -3 -1 2 P 61 31 21 退 出前一頁后一頁目 錄例例 2 2的分布律為設(shè)離散型隨機(jī)變量 XX-3-10269P25212525252152523525270252126的分布律，試求隨機(jī)變量YXY32解：的取值為隨機(jī)變量32XY，1591359第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布返回主目錄例例 2 2（續(xù)）（續(xù)）Y-9-5-31915P2521252525215252352527025212632XY第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布這些取值兩兩互不相同由此得隨機(jī)變量的分布律為

4、返回主目錄 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有以下的分布律，試求 Y = (X-1)2 的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: Y 有可能取的值為 0，1，4. 且 Y=0 對應(yīng)于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, PY=0=PX=1=0.1,第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例例3 3返回主目錄同理,PY=1=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4= PX= -1= 0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，Y=(X-1)2 的分布律為：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)2第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例例

5、 3 3（續(xù)）（續(xù)）返回主目錄例例 4 4的分布律為設(shè)離散型隨機(jī)變量 XX12nP21221n21 為偶數(shù)若為奇數(shù)若XXXgY11的分布律試求隨機(jī)變量Y解：第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布返回主目錄例例 4 4（續(xù)）（續(xù)）為奇數(shù)nnXPYP1012kkXP01221kk32為偶數(shù)nnXPYP102kkXP0221kk31第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布Y-11P3231的分布律為所以，隨機(jī)變量Y二二. .連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 ，其密度函數(shù)為是一連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)xfXX 隨機(jī)變量也是連續(xù)型，我們假定的函數(shù)是再設(shè)YXXgY 的密度函數(shù)我們要求

6、的是yfXgYY解解 題題 思思 路路 yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函數(shù)先求 yFyfXgYXgYYY的密度函數(shù)關(guān)系求之間的的分布函數(shù)與密度函數(shù)利用 ., 0, 10,2)(其它其它xxXfX設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 具有具有概率密度：概率密度：試求試求 Y=X-4 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y =X-4 的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY(y)：)(yYPyFY 例例 5 55 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第二章 隨機(jī)變量及其分布44 yXPyXP退 出前一頁后一頁目 錄可可以以求求得得：利利用用)()()2(yfyFYY )4()4()( yyfyfXY

7、4.)()(yXYdxxfyF ., 0, 10,2)(其它其它xxXfX例例 5 5（續(xù)）（續(xù)）5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第二章 隨機(jī)變量及其分布 , 140 y.其它其它, 1)4(2 y, 0退 出前一頁后一頁目 錄., 0, 40,8)(其它xxXfX設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度：試求 Y=2X+8 的概率密度.解：解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函數(shù) FY(y)：2882)(yXPyXPyYPyFY第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例例 6 6返回主目錄可以求得：利用)()()2(yfyFYY., 0, 4280,21)28(81)28()28()(其它yyyyfyfXY28.)(

8、)(yXYdxxfyF., 0, 40,8)(其它xxXfX第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例例 6 6（續(xù)）（續(xù)）返回主目錄., 0,168,328)(其它yyyfY 整理得 Y=2X+8 的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx則如果第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例例 6 6（續(xù)）（續(xù)）設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度,),(xxfX求 Y = X 2 的概率密度.解：解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函數(shù) FY(y)：. 0)(0, 0120yFyXYY時(shí)故當(dāng)由于yyXYdxxfyXyPyXPyYPyFy.)()

9、(,0220時(shí)當(dāng)?shù)诹?隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例例 7返回主目錄得：及變限定積分求導(dǎo)公式利用)()()2(yfyFYY. 0, 0, 0),()(21)(yyyfyfyyfXXYyyXYdxxfyF.)()(第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例例 7 7（續(xù)）（續(xù)）返回主目錄例例 8 8 的密度函數(shù)求隨機(jī)變量，試，的密度函數(shù)為隨機(jī)變量設(shè)yfYXYxfXYX解： yFYyFXYX的分布函數(shù)為，隨機(jī)變量的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量 yYPyFYyXP，則若0y yYPyFYyXP P0第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布返回主目錄例例 8 8（續(xù)）（續(xù)），則若0yyXyP yYPyFYyXP yFyFXX的分布函數(shù)為綜上所述，得隨機(jī)變量Y 000yyyFyFyFXXY第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布的密度函數(shù)為對上式求導(dǎo)，可得XY 000yyyfyfyfXXY返回主目錄 1 引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要求會(huì)用隨機(jī)變量表 示隨機(jī)事件。 2 給出了分布函數(shù)的定義及性質(zhì)，要會(huì)利用分布 函數(shù)示事件的概率。 3 給出了離散型隨機(jī)變量及其分布率的定義、性 質(zhì)，要會(huì)求離散型隨機(jī)變量