習(xí)題課學(xué)案3集合間的運算

1、開始開始 學(xué)點一學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點二學(xué)點三學(xué)點三學(xué)點四學(xué)點四學(xué)點五學(xué)點五學(xué)點六學(xué)點六學(xué)點七學(xué)點七1.一般地，由所有屬于集合一般地，由所有屬于集合a或?qū)儆诩匣驅(qū)儆诩蟗的元素組成的集合，稱為集合的元素組成的集合，稱為集合a與與b的的 ，記作，記作 ，即，即ab= 。 2.一般地，由屬于集合一般地，由屬于集合a且屬于集合且屬于集合b的所有元素組成的集合，稱為集合的所有元素組成的集合，稱為集合a與與b的的 ，記作，記作 ，即，即ab= .3.（1）一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，）一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為那么就稱這個集合為 ，

2、通常記作，通常記作 .（2）對于一個集合，由全集）對于一個集合，由全集u中不屬于集合中不屬于集合a的所有元素組成的集合稱的所有元素組成的集合稱 為集合為集合a相對于全集相對于全集u的的 ，記作，記作 ，即即 .并集并集abx|xa或或xb交集交集abx|xa,且且xb全集全集u補補 集集uacuaxux|xacu且返回返回 4.（1）1.并集并集abx|xa或或xb對于任意的集合對于任意的集合a， b，有，有aa= ，aa= ，ab= ,ab= .若若ab=b,則則a b；若；若ab=b,則則b a.（2）由補集的定義可知，對任意集合）由補集的定義可知，對任意集合a，有，有a(cua)= ,

3、a(cua)= .5.用集合語言描述下面幾個圖：用集合語言描述下面幾個圖：（1）a b,ab= ,ab= ；（2）a b,ab= ,ab= ；（3）a =b，ab= ,ab= .baaba(b)a(b)aababau返回返回 學(xué)點一學(xué)點一 基本概念的考查基本概念的考查已知已知u=1,2,3,8,a=1,2,3,4,b=2,3,4,5.求求:（1）ab; （2）a(cub);（3）(cua)(cub); （4）(cua)(cub)【分析】【分析】由集合的交、并、補概念直接求解由集合的交、并、補概念直接求解. 【解析】【解析】 u=1,2,3,8,a=1,2,3,4,b=2,3,4,5, cua=

4、5,6,7,8, cub=1,6,7,8. （1）ab=1,2,3,42,3,4,5=2,3,4. （2）a(cub)=1，2，3，41,6,7,8=1,2,3,4,6,7,8. （3）(cua)(cub)=5，6，7，81,6,7,8= 6,7,8. （4）(cua)(cub)=5，6，7，81,6,7,8=1,5,6,7,8 .【評析】集合的簡單運算可由基本概念直接求解【評析】集合的簡單運算可由基本概念直接求解.返回返回 已知集合已知集合s=x|1x7,a=x|2x5,b=x|3x7.求：求：(1)(csa)(csb); （2）cs（ab）;(3)(csa)(csb); （4）cs（ab）

5、.解解：ab=x|3x5, ab=x|2x7,csa=x|1x 2x|5x7, csb=x|1x37.（1）（）（csa）(csb)=x|1x2或或x=7.（2）cs（ab）=x|1x2或或x=7.（3）（）（csa）(csb)=x|1x3或或5x7.（4）cs（ab）=x|1x3或或5x7.返回返回 【解析】【解析】m=x|y2=x+1=x|x+10 =x|x-1， p=x|y2=-2(x-3)=x|x3， mp=x|x-1，且，且x3=x|-1x3.故應(yīng)選故應(yīng)選c.學(xué)點二學(xué)點二 交交 集集【分析】【分析】由集合的定義由集合的定義,集合集合m表示方程表示方程y2=x+1中中x的范圍的范圍,集

6、合集合p表示方程表示方程y2=-2(x-3)中中x的范圍的范圍,故應(yīng)先化簡集合故應(yīng)先化簡集合m,p.【評析】理解集合的表示形式【評析】理解集合的表示形式,掌握其意義掌握其意義,利用交利用交 集定義可解決所給問題集定義可解決所給問題. 已知集合已知集合m=x|y2=x+1,p=x|y2=-2(x-3),那么那么mp=( )a. (x,y) |x= ,y= b.x|-1x3c.x|-1x3 d.x|x3 35362c返回返回 設(shè)集合設(shè)集合a=(x,y)|2x+y=1,x,yr,b=(x,y)|a2x+2y=a,x,yr,若若ab= ,求求a的值的值.解解：集合：集合a,b的元素分別是二元一次方程的

7、元素分別是二元一次方程2x+y=1和和a2x+2y=a的解的解,因為兩方程的公共解集因為兩方程的公共解集ab= ,所以方程組所以方程組無解無解.列方程組列方程組 得得(4-a2)x=2-a則則 即即a=-2. 1222yxayxa02042aa返回返回 學(xué)點三學(xué)點三 并并 集集設(shè)設(shè)a=4,5,6,8,b=3,5,7,8,下列集合中與下列集合中與ab相等的集合相等的集合是是( )a.4,5,6,7,8 b.3,4,6,7,10，16c.3,4,5,6,7,8,9 d.3,4,5,6,7,8【分析】【分析】注意到集合注意到集合a與集合與集合b的并集的定義中的并集的定義中: (1)集合集合ab中的元

8、素必須是集合中的元素必須是集合a或集合或集合b的元素的元素, (2)集合集合ab包含集合包含集合a與集合與集合b中的所有元素中的所有元素.d返回返回 已知已知a=x|x-1或或x3,b=x|ax4,若若ab=r,則實數(shù)則實數(shù)a的的取值范圍是取值范圍是( )a.3a4 b.-1a4 c.a-1 d.a-1解解：a=x|x-1或或x3,b=x|ax2m-1，即，即m2， 此時總有此時總有ab=a =a成立成立.（2）若）若b ，則，則 解得解得2m3. 綜合綜合(1)(2)知知,m的取值范圍是的取值范圍是m|m2m|2m3=m|m3. 51212121mmmm【評析】由【評析】由ab=a可得可得b

9、 a,而而b a包括兩種情況，包括兩種情況，即即b= 和和b .本題常犯的錯誤是把本題常犯的錯誤是把b= 漏掉而只討論漏掉而只討論b 這一種情況這一種情況.返回返回 設(shè)集合設(shè)集合a=a2, a+1,-3,b=a-3,2a-1,a2+1,ab=-3,求實數(shù)求實數(shù)a的值的值.解：解：ab=-3,-3b.a-3= -3或或2a-1= -3,a=0或或a= -1.當當a=0時時,a=0,1,-3,b=-3,-1,1,此時此時ab=1,-3,與與ab=-3矛盾矛盾,故舍去故舍去.當當a= -1時時,a=1,0,-3,b=-4,-3,2,滿足滿足ab=-3,a= -1.返回返回 學(xué)點六學(xué)點六 vennve

10、nn圖的應(yīng)用圖的應(yīng)用【分析】【分析】關(guān)于集合的交、并、補的問題關(guān)于集合的交、并、補的問題,通常可以由分析法通常可以由分析法找出集合中一定有或一定沒有的元素找出集合中一定有或一定沒有的元素,對它們逐一檢驗對它們逐一檢驗;或利用或利用venn圖圖,把元素一一放入圖中相應(yīng)位置把元素一一放入圖中相應(yīng)位置,從而寫出所從而寫出所求集合求集合.【解析】【解析】解法一：利用解法一：利用venn圖圖,在圖中在圖中標出各個元素的相應(yīng)位置標出各個元素的相應(yīng)位置,可以直接寫可以直接寫出出a與與b,a=2,3,5,7,b=1,2,9.若集合若集合u=x|x是小于是小于10的正整數(shù)的正整數(shù),a u,b u,且且(cua)

11、b=1,9,ab=2,(cua)(cub)=4,6,8,試求試求a與與b.返回返回 解法二：解法二：ab=2,(cua)b=1,9,b=（ab）(cua)b=1,2,9.ab=cu(cua)(cub)=1,2,3,5,7,9,又又b=1，2，9，ab=2,a=2,3,5,7.【評析】事實上【評析】事實上,在解決這類問題時在解決這類問題時,將將venn圖的使用與分圖的使用與分析法相結(jié)合更準確簡捷析法相結(jié)合更準確簡捷.返回返回 設(shè)設(shè)a，b都是不超過都是不超過8的正整數(shù)組成的全集的正整數(shù)組成的全集u的子集的子集ab=3,(cua)(cub)=1,8,(cua)b=4,6,求集合求集合a，b.解解：u

12、=1,2,3,4,5,6,7,8，在，在venn圖中將圖中將1,2,3,4,5,6,7,8分別填入到相應(yīng)的位置中去，分別填入到相應(yīng)的位置中去，則由則由ab=3,cuacub=1,8,(cua)b=4,6得得a(cub)=2,5,7.a=2,3,5,7,b=3,4,6.返回返回 學(xué)點七學(xué)點七 集合運算的應(yīng)用集合運算的應(yīng)用已知集合已知集合s=1,3,x3+3x2+2x,a=1,|2x-1|,如果如果csa=0,則這樣的實數(shù)則這樣的實數(shù)x是否存在是否存在?若存在若存在,求出求出x;若不存在若不存在,說明理由說明理由.【分析】【分析】解決此問題的關(guān)鍵是正確理解解決此問題的關(guān)鍵是正確理解csa=0的意義

13、的意義,它有兩層含義它有兩層含義,即即0s,但但0 a,這樣解題思路就清楚了這樣解題思路就清楚了.【解析】【解析】csa=0,0s,但但0 a, x3+3x2+2x=0,即即x(x+1)(x+2)=0,解得解得x1=0,x2= -1,x3= -2. 當當x=0時時,|2x-1|=1,a中已有元素中已有元素1,不滿足集合的性質(zhì)不滿足集合的性質(zhì);當當x=-1時時,|2x-1|=3,3s;當當x= -2時時,|2x-1|=5,但但5 s.實數(shù)實數(shù)x的值存在的值存在,且它只能是且它只能是-1.返回返回 【評析】解答此題時【評析】解答此題時,我們由我們由csa=0求出求出x1=0,x2=-1,x3=-2

14、之后之后,驗證其是否符合題目的隱含條件驗證其是否符合題目的隱含條件a s是必要的是必要的,否否則就會誤認為則就會誤認為x1=0或或x3=-2也是所求的實數(shù)也是所求的實數(shù)x,從而得出錯誤從而得出錯誤的結(jié)論的結(jié)論.集合概念及其基本理論是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)集合概念及其基本理論是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一的內(nèi)容之一,學(xué)好這部分知識的目的之一就是在于應(yīng)用學(xué)好這部分知識的目的之一就是在于應(yīng)用. 因因此，一定要學(xué)會讀懂集合的語言和符號此，一定要學(xué)會讀懂集合的語言和符號,并能運用集合的并能運用集合的觀點研究、判斷和處理簡單的實際問題觀點研究、判斷和處理簡單的實際問題.返回返回 解解：（：（1）如）如a=

15、1,2,3,b=2,3,4,則則a-b=1.（2）不一定相等，由（）不一定相等，由（1）知）知b-a=4，而，而a-b=1，b-aa-b.再如再如a=1，2，3，b=1,2,3,a-b= ，b-a= ,此時此時a-b=b-a.故故a-b與與b-a不一定相等不一定相等.（3）因為）因為a-b=x|x6, b-a=x|-6x4, a-(a-b)=x|4x6, b-(b-a)=x|4x4,b=x|x|6，求，求a-（a-b）及）及b-（b-a），由此），由此你可以得到什么更一般的結(jié)論？（不必證明）你可以得到什么更一般的結(jié)論？（不必證明）返回返回 1.1.在解題時如何用好集合語言在解題時如何用好集合語

16、言? ?解集合問題解集合問題, ,不僅僅是運用集合語言不僅僅是運用集合語言, ,更重要的是明確集合語言更重要的是明確集合語言所蘊含的真實的數(shù)學(xué)含義所蘊含的真實的數(shù)學(xué)含義, ,集合語言的轉(zhuǎn)換過程集合語言的轉(zhuǎn)換過程, ,實質(zhì)就是在進實質(zhì)就是在進行數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)換時行數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)換時, ,向著我們熟悉的能夠解決的問題轉(zhuǎn)向著我們熟悉的能夠解決的問題轉(zhuǎn)化化. .2.2.在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意什么問題在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意什么問題? ?(1)(1)對于交集、并集、全集、補集等概念的理解對于交集、并集、全集、補集等概念的理解, ,要注意教材中要注意教材中的實例和的實例和vennvenn圖的直觀作用圖的直觀作用. .(

17、2)(2)要善于將三者進行比較記憶要善于將三者進行比較記憶, ,找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別. .返回返回 (3)(3)注意在集合運算中注意在集合運算中, ,運用運用vennvenn圖圖, ,借助于數(shù)軸等幾何方借助于數(shù)軸等幾何方法直觀理解法直觀理解. .(4)(4)學(xué)會集合語言的運用學(xué)會集合語言的運用, ,并逐漸學(xué)會用集合的觀點研究并逐漸學(xué)會用集合的觀點研究事物的內(nèi)涵與外延事物的內(nèi)涵與外延. .3.3.怎樣理解全集和補集？怎樣理解全集和補集？全集并非包羅萬象，含有任何元素的集合，它僅僅含有全集并非包羅萬象，含有任何元素的集合，它僅僅含有我們所要研究的問題中所涉及的所有元素，

18、如研究方程我們所要研究的問題中所涉及的所有元素，如研究方程實根，全集取為實根，全集取為r;r;研究整數(shù)，全集取為研究整數(shù)，全集取為z z，同時，要理，同時，要理解補集的定義的解補集的定義的 用法用法. .返回返回 1.1.交集與并集是集合的兩種不同運算交集與并集是集合的兩種不同運算, ,對它們概念的理對它們概念的理解要特別注意解要特別注意“且且”與與“或或” ” 的區(qū)別的區(qū)別. .交集和并集的交集和并集的符號符號“”“”“”既有相同的地方既有相同的地方, ,但又完全不同但又完全不同, ,不不要混淆要混淆. .2.2.對于交集對于交集“ab=x|xa,ab=x|xa,且且xb”,xb”,不能簡單地認不能簡單地認為為abab中的任一元素都是中的任一元素