旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型解析及在中考題中的應(yīng)用

1、.旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型解析及在中考題中的應(yīng)用 陽新縣木港鎮(zhèn)東春中學(xué) 陳開茂 陳迪富 相信大部分老師和成績比較好的學(xué)生對旋轉(zhuǎn)相似模型（個(gè)人覺得嚴(yán)謹(jǐn)點(diǎn)可叫旋轉(zhuǎn)放縮相似模型）都不陌生：將確定ABC繞A點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動一個(gè)角度得到，再將以A點(diǎn)為中心按某種比例縮放成ADE，則根據(jù)夾角相等及兩邊對應(yīng)成比例，ABDACE，動線段BD：CE=定線段AB：AC=定值。（這個(gè)模型也可簡述成共頂點(diǎn)A的相似三角形ABC和ADE，BD與CE對應(yīng)）此模型在中考中應(yīng)用很多，但非要講的主題，故只是簡單提一提。要講的模型我稱為旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型，前面RtABC中，C=90°，ABC=，將ABC繞A點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動一

2、個(gè)角度得到，再將以A點(diǎn)為中心按某種比例縮放成AFE，最后將AFE關(guān)于AE作對稱得ADE。注意ABC還是和ADE為共頂點(diǎn)A的相似三角形，B和D對應(yīng)，C和E對應(yīng)，看起來和上個(gè)模型很像，那到底還有沒有動線段BD：CE=定值呢？根本是沒有的，因?yàn)橹挥蠧E：BF=AC：AB=定值sin，而BD和BF根本不一樣了。那到底該模型有何特別之處呢？我們擦去過渡三角形和AEF，只保留ABC和AED。（再次提醒，現(xiàn)在的是旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型，多了一個(gè)對稱，和一開始的模型完全不一樣了）我們連接兩個(gè)非A的對應(yīng)銳角定點(diǎn)B和D得到線段BD，取BD中點(diǎn)G，再連接G和兩個(gè)直角頂點(diǎn)C、E之間的線段，得到三角形GCE，它有如

3、下特點(diǎn)：GC=GE，CGE=2（即2倍ABC） 先舉個(gè)特例來說明該模型的體現(xiàn)和證明：2007年廣州中考數(shù)學(xué)壓軸題已知RtABC中，AB=AC，在RtADE中，AD=DE，連結(jié)EC，取EC中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM，（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖，求證：BM=DM且BMDM；（2）如圖中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明。證法一：在RtEBC中，M是斜邊EC的中點(diǎn) BM= 在RtEDC中，M是斜邊EC的中點(diǎn) DM= BM=DM,且點(diǎn)B、C、D、E在以點(diǎn)M為圓心，BM為半

4、徑的圓上BMD=2ACB=90°即BMDM證法二：證明BM=DM與證法一相同，下面證明BMDMDM=MC MDC=MCDEMD=2ECDBM=MC MBC=MCBEMB=2ECBEMD+EMB=2（ECD+ECB）ECD+ECB=ACB=45° BMD=2ACB=90°，即BMDM該題解法應(yīng)該是很多，給出三種做法。一是以倍長中線為基礎(chǔ)證全等的做法，照搬標(biāo)準(zhǔn)答案。延長DM至點(diǎn)F，使得DM=MF，連接CD和EF，連接BD，連接BF、FC，延長ED交AC于點(diǎn)HDM=MF，EM=MC四邊形CDEF是平行四邊形DECF，ED=CFED=AD AD=CFDECF AHE=AC

5、FBAD=45°DAH=45°（90°AHE）=AHE45°，BCF=ACF45°BAD=BCF又AB=BCABDCBFBD=BF，ABD=CBFABD+DBC=CBF+DBCDBF=ABC=90°在RtDBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BMDM二是利用直角三角形斜邊中線及中位線的全等做法：取AE中點(diǎn)P，AC中點(diǎn)Q，連PM、PD、QB、QM，顯然，且四邊形PAQM為平行四邊形，則APM=AQMAPM=90°=AQM 即DPM=MQBPDMQMB DM=MB又PMBQ QBM+BMP=PMD+BMP=90

6、76;BMDM三是結(jié)合第一個(gè)旋轉(zhuǎn)相似模型的相似解法： 將C點(diǎn)關(guān)于AB做對稱，得等腰直角AGB,由旋轉(zhuǎn)相似模型可知AGEABD GE：BD=AE：AD= 又GE=2BM BD：BM=DBM=90°-(ABD+MBC)= 90°-(AGE+EGC)= 45°DBM為等腰直角三角形在這三種方法中，個(gè)人更喜歡第二種利用直角三角形斜邊中線和中位線證全等的方法，既簡單巧妙，也應(yīng)用面廣。我們來看一道一般性普遍性的旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型的題型： 已知：ABC中，AB=AC，N為BC的中點(diǎn)，DBE中，DB=DE，M為BE中點(diǎn)，ABC=DBE，P為AD中點(diǎn)，連接PM、PN.如圖1

7、，當(dāng)BE與BA重合時(shí)，求證：PM=PN；如圖2，把圖1中的DBE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°180°），其它條件不變，中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由。如果對模型足夠敏感，不難發(fā)現(xiàn)RtBMD和RtBNA恰好符合這個(gè)模型，所以不妨采用前面第二種解法：證明：連接AN、MDAB=AC N為BC的中點(diǎn)ANBCP為AD的中點(diǎn)PN=同理PM=PM=PN取BD中點(diǎn)F，AB中點(diǎn)G，M為BE的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)MFED MF=同理可證：GPBD GP=DE=DB MF=GP同理可證：PF=GNPGN=180°-AGP-BGN MFP=180°-MFB-PFD而AGP=ABD=PF

8、D BGN=BAC=EDB=MFBPGN=MFPPMFPNG(SAS) PM=PN最后再來看一下2015年重慶中考A卷的倒數(shù)第二道幾何大題。如圖1，在ABC中，ACB=90°，BAC=60°，點(diǎn)E角平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的線段，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DHAC，垂足為H，連接EF，HF。（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC=，求AB，BD的長。（2）如圖1，求證：HF=EF。（3）如圖2，連接CF，CE，猜想：CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由。 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形

9、中位線定理 分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可得到結(jié)果； （2 ）如圖1，連接AF ，證出 DAEADH， DHF AEF ，即可得到結(jié)果； （3 ）如圖2 ，取AB 的中點(diǎn)M，連接CM，F(xiàn)M，在R ADE 中，AD=2AE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由 CAE=CAB=30°CMF= AMF AMC=30°，證得 ACEMCF ，問題即可得證 解答：,連接AF易證：DAEADH，故DH=AE故 易證：DHFAEF HF=EF（方法不唯一，有很多，合理即可）（法一）取AB的中點(diǎn)M，連接CM、FM在RTADE中，AD=2AEFM是ABD的中位線，故AD=2FM FM=AE易證ACM為等邊三角形，故AC=CM 故ACEMCF（手拉手全等模型）故易證：CEF為等邊三角形（法二）延長DE至點(diǎn)N，使EN=DE，連接AN；延長BC至點(diǎn)M，使CB=CM，連接AM；延長BD交AM于點(diǎn)P易證：ADEANE，ABCAMC易證：ADMANB（手拉手全等模型），故DM=BNCF是BDM的中位線，