1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)題思考題改

1、1-1.質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r R(cos w t sin w t)其中 為常量.求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)速度和速率。解：1)由 r R(cos wt sin wjt)知x R cos wty R sin wt2 2 2消去t可得軌道方程x y R2)drvdtwRsin wtiwRcos wtjv ( wRsin wt)2 (wRcoswt)2 2wR1-2.質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r4t2i(3 2t)j，式中r的單位為m , t的單位為s.求: ( 1)質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)從t 0到t 1秒的位移;(3)t 0和t 1秒兩時(shí)刻的速度。解:由 r 4t2i (32t) j

2、 可知4t23 2t消去t得軌道方程為：x(y 3)2dr2) v8tidt1& vdt02j10(8ti2j)dt 4i2j3)v(0) 2jv(1) 8i2j1-3.質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為t2i2tj ,式中r的單位為m , t的單位為s.求:( 1)任一時(shí)刻的速度和加速度;drdt dv解：1) vdt(2)任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。2ti 2j2i2121dv2) v (2t)24 22(t21) 2 at dt2t.t2 11-4. 一升降機(jī)以加速度 a上升，在上升過(guò)程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相 距為d，求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間

3、。解：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為y1V°t12at21y2hv°t1 . 22gt2y1y23解之t右g a圖1-41-5. 一質(zhì)量為m的小球在高度h處以初速度Vo水平拋出，求:(1)(2)小球的運(yùn)動(dòng)方程； 小球在落地之前的軌跡方程;dr3落地前瞬時(shí)小球的dv dv, , .dt dtdt解：1xv°t式1yh Zgt22式2r(t)v°ti (h -1 2 -gt )j22聯(lián)立式1、式2)得y3dr dtv°i - gtj而落地所用時(shí)間2 gx 2v2所以drdt2 2V ,Vx VyVoi - . 2gh j(g

4、t)2dvg2tg ;2ghdt M (gt)212(v2 2ghf2dVdtgj1-6.路燈距地面的高度為，一身高為h2的人在路燈下以勻速Vi沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度V2 .證明：設(shè)人從0點(diǎn)開始行走,t時(shí)刻人影中足的坐標(biāo)為，人影中頭的坐標(biāo)為 X2，由幾何關(guān)系可圖1-6X2hix2x1h2而 x1Vot所以，人影中頭的運(yùn)動(dòng)方程為h1x1h-jtX2V0h1h2h1h2人影中頭的速度v2dx2dth1h1 h2V01-7. 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為2 4t 2t2 (m)，在t從0秒到3秒的時(shí)間間隔內(nèi)，那么質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程為多少？dx解：V 坐 4 4tdt解的is

5、X1 X1 X0(242)2mX3 X3X1(2432)(242) 8mX| x2 10m1-8. 一彈性球直落在一斜面上，下落高度對(duì)水平的傾角30，問(wèn)它第二次碰到斜面落點(diǎn)多遠(yuǎn)(假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等, 反射角)。的位置距原來(lái)的下碰撞時(shí)人射角等于h 20cm，斜面圖1-8解：小球落地時(shí)速度為V0,2gh建立直角坐標(biāo)系,以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖vx0 v0 cos600x v0cos60°t0Vy0 V0 sin 600yv0 sin 60 t10 2g cos60 t2a1 0 2g sin 60 t2(1)2vo第二次落地時(shí)所以x v0cos60°t2gc

6、os6o0t22vpg0.8m1-9.地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到假設(shè)干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球？已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為3.4cm/s2，設(shè)赤道上重力加速度為9.80m/s2.解：赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足現(xiàn)在赤道上物體3.4 10R9.8.3.4 10171-10.子彈的軌跡為拋物線，初速為V0，并且V0與水平面的夾角為.試分別求出拋物線頂點(diǎn)及 落地點(diǎn)的曲率半徑。解：在頂點(diǎn)處子彈的速度 V v0 cos ，頂點(diǎn)處切向加速度為 0。2因此有：g (v0 cos )22 2v。cosg22在洛地點(diǎn)速度為v0vgcosv。g cos1-11.飛機(jī)以v0 1

7、00m/s的速度沿水平直線飛行，在離地面高 h 98m時(shí)，駕駛員要把物品投到 前方某一地面目標(biāo)上， 問(wèn)：投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度 ？此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下 方地點(diǎn)多遠(yuǎn)？解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為x有：x v0th gt2聯(lián)立方程解得：x 447marcta 77.5°h1-12.設(shè)將兩物體 A和B分別以初速va和vb拋擲出去.va與水平面的夾角為；vb與水平面的 夾角為 ，試證明在任何時(shí)刻物體 B相對(duì)物體A的速度是常矢量。解：兩個(gè)物體在任意時(shí)刻的速度為va Vo cos i(vo sin gt)jvbvo cos i(vosin -gt)jVbaVb -Va(

8、Vo COSvocos )i(vo sinVo sin ) j與時(shí)間無(wú)關(guān)，故 B相對(duì)物體A的速度是常矢量。1-13. 一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為vo49.0m/s，而氣球以速度v 19.6m/S勻速上升，問(wèn)氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少?物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為vyv0gt故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度V Vy V代入時(shí)間t可以得到第二秒末物體速度v 9.8S第三秒末物體速度v 0第四秒末物體速度v 9.8聽1-14.質(zhì)點(diǎn)沿x在軸向運(yùn)動(dòng)，加速度 a kvk為常數(shù).設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為v0，求運(yùn)動(dòng)方程x x(t)dv,v 1t解：kv

9、dvkdtdtVo v0dxktxtktV0edxVoedtdt00vv0ex 匹(1 e kt) k1-15.跳水運(yùn)發(fā)動(dòng)自10m跳臺(tái)自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設(shè)加速度akv2,0.4m 1求運(yùn)發(fā)動(dòng)速度減為入水速度的10%時(shí)的入水深度。解：取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸跳水運(yùn)發(fā)動(dòng)入水速度Vo,2gh 14,2 dv kvdtdvV -dx紐dvVo Vkdxx 1l n105.76mk11-16. 一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：x ut u tln1 bt，其中b是與燃料燃燒速率有關(guān)的量,bu為燃?xì)庀鄬?duì)火箭的噴射速度。求：1火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系；2火箭的加速度。解：1v2adxdt

10、dvdtul n(1 bt)ub1 bt1-17.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： x量。求：1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程;hRcos t, y Rsin t, zt,式中 R、h、 為正的常22質(zhì)點(diǎn)的速度大??；3質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。解：1軌道方程為 x2R2h2在Oxy平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為2 vx"這是條空間螺旋線。R的圓，螺距為hR sin dt'2 2 2v vx vy vzh22(3) ax R 2 cos tay2 sin taz思考題1-1.質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為瞬時(shí)速率為v，平均速度為V ,平均速率為V ,那么它們之間的以下四種關(guān)系中哪一種是正確的(1) vv, vv

11、,|v|(3) vv, v；4 v答：3個(gè)速度不同的運(yùn)度小？1-5.如下列圖,兩船A和B相距R，1-2.質(zhì)點(diǎn)的xt關(guān)系如圖，圖中a , b, c三條線表示三 動(dòng)問(wèn)它們屬于什么類型的運(yùn)動(dòng) ？哪一個(gè)速度大？哪一個(gè)速答：Va Vb Vc1-3.結(jié)合Vt圖，說(shuō)明平均加速度和瞬時(shí)加速度的幾何意義。答：平均加速度表示速度 V在t時(shí)間內(nèi)的平均變化率，它只能粗略地反映運(yùn)動(dòng)速度的變化程度和 方向，而瞬時(shí)加速度能精確反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的變化及方向。1-4.運(yùn)動(dòng)物體的加速度隨時(shí)間減小，而速度隨時(shí)間增加，是可能的嗎? 答：是可能的。加速度隨時(shí)間減小，說(shuō)明速度隨時(shí)間的變化率減小。分別以速度Va和Vb勻速直線行駛，它們會(huì)不

12、會(huì)相碰？假設(shè)不相碰，求兩船相靠最近的距離. 圖中 和 為。答：方法一 如圖，以A船為參考系，在該參考系中船 A是靜止的，而船 B的速度v VB VA.BC,它不與船A相交，這說(shuō)明兩船V是船B相對(duì)于船A的速度，從船B作一條平行于V方向的直線 不會(huì)相碰由A作BC垂線AC,其長(zhǎng)度rmin就是兩船相靠最近的距離rmin Rsin作FD/AB,構(gòu)成直角三角形 DEF,故有vBs invAs insin -一V在三角形BEF中,由余弦定理可得v . vA v- 2vavb cos()r minv- sinVa sinvA V-2VaV- cos(方法二：兩船在任一時(shí)刻t的位置矢量分別為rA(vAt cos

13、 )i(v-tsin ) jr-(R v-tcos )i(v-tsin ) jr rB - rA R (vB cosvA cos )ti(vB sin vA sin )t j任一時(shí)刻兩船的距離為r .R (vB cos vAcos )t2(vB sin vA sin )t2dr(t) 0dtvb cosva cos(vb cosVa cos )22 R(vb sin va sin )r minvb sin va sin2 2a Vb2VaVb cos(1-6.假設(shè)質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng)，試指出符合以下條件的各應(yīng)是什么樣的運(yùn)動(dòng)?0 ； 3翌 0，空 0 dtdtdr0，dr _dv0 ； 2dtdtdt答：(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)動(dòng)0 ,(1)dvdt1-7. 一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，用