21數列的應用

1、典型例題典型例題解解: 設第二個數為設第二個數為a, 則第三個數為則第三個數為 12- -a. 前三個數成等差數列前三個數成等差數列, 第一個數為第一個數為 3a- -12. 從而從而第四個數為第四個數為16- -(3a- -12)=28- -3a. 依題意得依題意得: (12- -a)2=a(28- -3a). 化簡整理得化簡整理得 a2- -13a+36=0. 解得解得 a=4 或或 9. 這四個數分別為這四個數分別為 0, 4, 8, 16 或或 15, 9, 3, 1. 1.有有四個四個數數, 前三個數成等差數列前三個數成等差數列, 后三個數成等比數列后三個數成等比數列, 并且第一個數

2、與第四個數的和是并且第一個數與第四個數的和是 16, 第二個數與第三個數的第二個數與第三個數的和是和是 12, 求這四個數求這四個數.a2=1 從而從而 a1=1- -d, a3=1+d. 整理得整理得 4(2d)2- -17(2d)+4=0. 故故 an=2n- -3 或或 an=- -2n+5. 2.設設 an 是等差數列是等差數列, bn=( )an, 已知已知 b1+b2+b3= , b1b2b3= , 求等差數列求等差數列 an.1282118解解: 設設 an 的公差為的公差為d. b1b3=( )a1( )a3=( )a1+a3=( )2a2=b22,12121212由由 b1b

3、2b3= 得得 b23= . 1818 b2= . 12又由又由 b1+b2+b3= 得得 ( )1- -d+ +( )1+d= . 821121212821解得解得 2d=22 或或 2- -2. d=2 或或 - -2. 當當 d=2 時時, an=a2+(n- -2)d=1+2n- -4=2n- -3; 當當 d=- -2 時時, an=a2+(n- -2)d=1- -2n+4=- -2n+5. f(x)=2- -10 4x.(2)由已知由已知 an=log2 f(n)=log2(2- -10 4n)=2n- -10. 3.已知函數已知函數 f(x)=abx 的圖象過點的圖象過點 a(4

4、, ) 和和 b(5, 1). (1)求函求函數數 f(x) 的解析式的解析式; (2)記記 an=log2 f(n), n為正整數為正整數, sn 是數列是數列 an 的前的前 n 項和項和, 解關于解關于 n 的不等式的不等式 ansn0; (3)對于對于(2)中的中的 an 與與 sn, 整數整數 104 是否為數列是否為數列 ansn 中的項中的項? 若是若是, 則求出相應的項則求出相應的項數數; 若不是若不是, 則說明理由則說明理由.14解解: (1)由已知由已知 ab4= , ab5=1, 14解得解得 b=4, a=2- -10. sn=n(n- -9).ansn=2n(n- -

5、5)(n- -9).n n*, 由由 ansn0 得得 (n- -5)(n- -9)0.解得解得 5n9, n n*. n=5, 6, 7, 8, 9.(3)a1s1=64, a2s2=84, a3s3=72, a4s4=40;當當 5n9 時時, ansn0;當當 10n22 時時, ansna22s22=9724104;故整數故整數 104 不是數列不是數列 ansn 中的項中的項.解解: (1)由已知數列由已知數列 an+1- -an 是首項為是首項為 - -2, 公差為公差為 1 的等差數列的等差數列.an+1- -an=(a2- -a1)+(n- -1) 1=n- -3.an=a1+

6、(a2- -a1)+(a3- -a2)+(an- -an- -1) 4.設數列設數列 an 和和 bn 滿足滿足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且數列且數列an+1- -an (n n*) 是等差數列是等差數列, 數列數列 bn- -2 (n n*) 是等比數列是等比數列. (1)求數列求數列 an 和和 bn 的通項公式的通項公式; (2)是否存在是否存在 k n*, 使使 ak- -bk (0, )? 若存在若存在, 求出求出 k, 若不存在若不存在, 說明理由說明理由. 12an- -an- -1=n- -4(n2).=6+(- -2)+(- -1)+0+1+2+

7、(n- -4) = (n2- -7n+18)(n2). 12而而 a1=2 亦適合上式亦適合上式, = (n2- -7n+18)(n n*). 12an 又數列又數列 bn- -2 是首項為是首項為 b1- -2=4, 公比為公比為 的等比數列的等比數列, 12 bn- -2=4( )n- -1=( )n- -3. 1212 bn=( )n- -3+2. 12故數列故數列 an 和和 bn 的通項公式分別為的通項公式分別為: an= (n2- -7n+18),12bn=( )n- -3+2. 12解解: (2)顯然當顯然當 k=1, 2, 3 時時, ak- -bk=0, 不適合題意不適合題意

8、; 數列數列 ak 是遞增數列是遞增數列, bk 是遞減數列是遞減數列.不不存在存在 k n*, 使使 ak- -bk (0, ).12當當 k4 時時, ak= (k2- -7k+18), bk=( )k- -3+2, 1212數列數列 ak- -bk 是遞增數列是遞增數列. ak- -bk a4- -b4=3- -( +2)= 1212 (0, ). 12 4.設數列設數列 an 和和 bn 滿足滿足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且數列且數列an+1- -an (n n*) 是等差數列是等差數列, 數列數列 bn- -2 (n n*) 是等比數列是等比數列. (1

9、)求數列求數列 an 和和 bn 的通項公式的通項公式; (2)是否存在是否存在 k n*, 使使 ak- -bk (0, )? 若存在若存在, 求出求出 k, 若不存在若不存在, 說明理由說明理由. 12 5.已知已知等比數列等比數列 an 的各項均為正數的各項均為正數, 公比公比 q 1, 數列數列 bn 滿滿足足 b1=20, b7=5, 且且 (bn+1- -bn+2)logma1+(bn+2- -bn)logma3+(bn- -bn+1) logma5=0. (1)求數列求數列 bn 的通項公式的通項公式; (2)設設 sn=|b1|+|b2|+|bn|, 求求 sn. 楊景波楊景波

10、解解: (1)將將 logma3=logma1+2logmq, logma5=logma1+4logmq 代入已代入已 知等式整理得知等式整理得: 2(bn- -2bn+1+bn+2)logmq=0. bn- -2bn+1+bn+2=0.q 1, logmq 0. 即即 bn+bn+2=2bn+1.數列數列 bn 是等差數列是等差數列. 設其公差為設其公差為 d, 52- - .bn=20+(n- -1)(- - ).52即即 bn=- - n+ .52245則由則由 b7=b1+6d 可得可得 d= 解解: (2)令令 bn=0, 得得 n=9. 當當 n9 時時, bn0. 則則 sn=b

11、1+b2+bn=20n+ (- - ) n(n- -1) 252=- - n2+ n. 54485當當 n9 時時, bn9. 54485- - n2+ n, n9, 54485sn= 5.已知已知等比數列等比數列 an 的各項均為正數的各項均為正數, 公比公比 q 1, 數列數列 bn 滿滿足足 b1=20, b7=5, 且且 (bn+1- -bn+2)logma1+(bn+2- -bn)logma3+(bn- -bn+1) logma5=0. (1)求數列求數列 bn 的通項公式的通項公式; (2)設設 sn=|b1|+|b2|+|bn|, 求求 sn. 6.設設 a0 為常數為常數, 且

12、且 an=3n- -1- -2an- -1(n n*). (1)證明證明: 對任意對任意 n1, an= 3n+(- -1)n- -1 2n+(- -1)n 2n a0; (2)假設對于任意假設對于任意 n1, anan- -1, 求求 a0 的取值范圍的取值范圍.15(1)證證: 由由 an=3n- -1- -2an- -1 知知: 3 +1 2令令 =- - 得得 =- - . 15則則 an- - 3n 是以是以a0- - 為首項為首項, 公比為公比為 - -2 的等比數列的等比數列. 1515an- - 3n=(a0- - )(- -2)n.1515即即 an= 3n+(- -1)n-

13、 -1 2n+(- -1)n 2n a0. 15(2)解解: 由由 anan- -1 及及 an=3n- -1- -2an- -1 知知: an- -an- -1=3n- -1- -3an- -10.an- -10.0an- -130 成立的成立的 n 的最小值的最小值. 12解解: (1)由已知可由已知可設設等比數列等比數列 an 的公比為的公比為 q, 依題意得依題意得:a1q+a1q2+a1q3=28, a1q+a1q3=2(a1q2+2), 解得或解得或 ( (舍去舍去) )a1=2, q=2, a1=32, q=, 12an=2 2n- -1=2n. 即即 an 的通項公式為的通項公

14、式為 an=2n.(2) bn=anlog an=- -n 2n, 12-sn=1 2+2 22+3 23+n 2n.-2sn=1 22+2 23+3 24+n 2n+1.sn=2+22+23+2n- -n 2n+1=2n+1- -2- -n 2n+1.為為使使 sn+n 2n+130 成立成立, 應有應有 2n+132. n4.使使 sn+n 2n+130 成立的成立的 n 的最小值為的最小值為 5. sn=- -(1 2+2 22+3 23+n 2n). 9.以數列以數列 an 的任意相鄰兩項為坐標的點的任意相鄰兩項為坐標的點 pn(an, an+1)(n n*)均在一次函數均在一次函數

15、y=2x+k 的圖象上的圖象上, 數列數列 bn 滿足條件滿足條件: bn=an+1- -an (n n*, b1 0). (1)求證求證: 數列數列 bn 是等比數列是等比數列; (2)設數列設數列 an, bn 的前的前 n 項和分別為項和分別為 sn, tn, 若若 s6=t4, s5=- -9, 求求 k 的值的值. (1)證證:pn(an, an+1) (n n*) 均在一次函數均在一次函數 y=2x+k 的圖象上的圖象上, an+1=2an+k, 即即: an+1+k=2(an+k). 又又 bn=an+1- -an=an+k, 則則 bn+1=an+1+k, bn+1bn = =

16、2. an+1+k an+k數列數列 bn 是等比數列是等比數列. 解得解得: k=8. (2)解解: b1=a1+k, bn=(a1+k)2n- -1, an=bn- -k=(a1+k)2n- -1- -k, s6=t6- -6k=(a1+k)(26- -1)- -6k=63a1+5k, t4=(a1+k)(25- -1)=15(a1+k), s5=31a1+26k=- -9, s6=t4a1=- - k, 78 10.(1)已知數列已知數列 cn, 其中其中 cn=2n+3n, 且數列且數列 cn+1- -pcn 為等比為等比數列數列, 求常數求常數 p; (2)設設 an, bn 是公比

17、不相等的兩個等比數列是公比不相等的兩個等比數列, cn=an+bn, 證明證明: 數列數列 cn 不是等比數列不是等比數列.(1)解解: 數列數列 cn+1- -pcn 為等比數列為等比數列, (cn+1- -pcn)2=(cn+2- -pcn+1)(cn- -pcn- -1). 又又 cn=2n+3n,2n+1+3n+1- -p(2n+3n)2 =2n+2+3n+2- -p(2n+1+3n+1)2n+3n- -p(2n- -1+3n- -1).即即(2- -p)2n+(3- -p)3n2 =(2- -p)2n+1+(3- -p)3n+1(2- -p)2n- -1+(3- -p)3n- -1.

18、整理得整理得 (2- -p)(3- -p) 2n 3n0. 16解得解得 p=2 或或 3.(2)證證: 設設 an, bn 的公比的公比分別為分別為 p, q, p q. 為證為證 cn 不是等比數列不是等比數列, 只須證只須證 c22 c1 c3. 事實上事實上, c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq,c1 c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2 +a1b1(p2+q2).p q, p2+q22pq.又又 a1, b1 不為零不為零, c22 c1 c3. 故故 cn 不是等比數列不是等比數列. 11.設等比數列設等比數列 an

19、的各項為實數的各項為實數, 前前 n 項的和為項的和為sn, 公比為公比為q. (1)若若 s5, s15, s10 成等差數列成等差數列, 求證求證: 2s5, s10, s20- -s10 成等比數列成等比數列; (2)若若 2s5, s10, s20- -s10 成等比數列成等比數列, 試問若試問若 s5, s15, s10一定成等差一定成等差數列嗎數列嗎? 請說明理由請說明理由.(1)證證: 由已知由已知q 1( (若若 q=1, 則則 s5=5a1, s15=15a1, s10=10a1, 不滿足不滿足 s5, s15, s10 成等差數列成等差數列) ).1- -q a1 記記 t

20、 = , 則由則由 s5, s15, s10 成等差數列得成等差數列得: s5+s10- -2s15=0. t(1- -q5+1- -q10- -2+2q15)=0. 即即 tq5(2q10- -q5- -1)=0. tq5 0, 2q10- -q5- -1=0. 以下有兩種證法以下有兩種證法: 法法1: q 1, 可解得可解得: q5=- - . 12s102= t2(1- -q10)2= t2, 169 2s5(s20- -s10)=2t2(1- -q5)(q10- -q20)= t2=s102. 1692s5, s10, s20- -s10 成等比數列成等比數列. 法法2: 1+q5=2

21、q10. s102s5 = = (1+q5)=q10. 1- -q10 2(1- -q5) 12s20- -s10 s10又又 = - -1=1+q10- -1=q10.1- -q20 1- -q10 = . s102s5s20- -s10 s102s5, s10, s20- -s10 成等比數列成等比數列. (2)解解: 不一定成立不一定成立. 例如例如 q=1 時時, 顯然顯然 2s5, s10, s20- -s10 成等比數列成等比數列,但但 s5, s15, s10 不成等差數列不成等差數列. 11.設等比數列設等比數列 an 的各項為實數的各項為實數, 前前 n 項的和為項的和為sn

22、, 公比為公比為q. (1)若若 s5, s15, s10 成等差數列成等差數列, 求證求證: 2s5, s10, s20- -s10 成等比數列成等比數列; (2)若若 2s5, s10, s20- -s10 成等比數列成等比數列, 試問若試問若 s5, s15, s10一定成等差一定成等差數列嗎數列嗎? 請說明理由請說明理由. 12.設數列設數列 an 的前的前 n 項和為項和為 sn, 若若 sn 是首項為是首項為 s1 各項均各項均為正數且公比為為正數且公比為q 的等比數列的等比數列. (1)求數列求數列 an 的通項公式的通項公式 an ( (用用 s1 和和 q 表示表示) );

23、(2)試比較試比較 an+an+2 與與 2an+1 的大小的大小, 并證明你并證明你的結論的結論.解解: (1)由已知由已知 sn=s1qn- -1(q0). 當當 n=1 時時, a1=s1; 當當 n2 時時, an=sn- -sn- -1=s1(q- -1)qn- -2. (2)當當 n=1 時時, a1+a3- -2a2=s1+s1(q- -1)q- -2s1(q- -1) =s1(q2- -3q+3)0. a1+a32a2; 當當 n2 時時, an+an+2- -2an+1=s1(q- -1)qn- -2+s1(q- -1)qn- -2s1(q- -1)qn- -1, s10,

24、qn- -20, 當當 q=1 時時, (q- -1)3=0an+an+2- -2an+1=0an+an+2=2an+1; an= s1, (n=1) s1(q- -1)qn- -2, (n2) =s1(q- -1)3qn- -2. 當當 0q1 時時, (q- -1)30an+an+2- -2an+10an+an+21 時時, (q- -1)30an+an+2- -2an+10an+an+22an+1. 綜上所述綜上所述, 當當 n=1 時時, a1+a32a2; 當當 n2 時時, 若若 q=1, 則則 an+an+2=2an+1; 若若 0q1, 則則 an+an+21, 則則 an+a

25、n+22an+1. 13.下表給出一個下表給出一個 “三角形數陣三角形數陣” : 已知每一列的數成等差已知每一列的數成等差數列數列, 從第三行起每一行的數成等比數列從第三行起每一行的數成等比數列, 每一行的公比每一行的公比 都相等都相等. 記第記第 i 行第行第 j 列的數為列的數為 aij (ij, i, j n*). (1)求求 a83; (2)寫出寫出 aij 關于關于 i, j 的表達式的表達式; (3)記第記第 n 行的和為行的和為 an, 求數列求數列 an 的前的前 m 項和項和 bm 的表達式的表達式; 3438121416314解解: (1)依題意依題意 ai1 成等差數列成

26、等差數列.a11= , a21= , 1214每行的公比每行的公比 q= . 12a81= +(8- -1) =2. 1414a31= , a32= , 且各行成等比數列且各行成等比數列, 公比都相等公比都相等, 383412a83=2 ( )2 = . 12(2)由由(1)知知 ai1= +(i- -1) = . 1414 i4 i412aij=ai1 ( )j- -1 = ( )j- -1 =i( )j+1. 1212(3) an=an11+2- -1+2- -2+2- -(n- -1)= 2- -2- -(n- -1)= - -n( )n+1. n4n212 bm= (1+2+m)- -

27、 ( + + + ). m 2m 1212243812設設 tm= + + + . m 2m 122438m+2 2m+112由錯位相減法可求得由錯位相減法可求得 tm=1- - ,m+2 2m+1 bm= + - -1. m(m+1) 4 14.設各項均為正數的數列設各項均為正數的數列 an 和和 bn 滿足滿足 5an, 5bn, 5an+1 成等成等比數列比數列, lgbn, lgan+1, lgbn+1 成等差數列成等差數列, 且且 a1=1, b1=2, a2=3, 求求通項通項 an, bn.解解: 5an, 5bn, 5an+1 成等比數列成等比數列, (5bn)2=5an 5a

28、n+1, 2bn=an+an+1.又又lgbn, lgan+1, lgbn+1 成等差數列成等差數列, an+1= bnbn+1 . an= bn- -1bn (n2). 2bn= bnbn+1 + bn- -1bn (n2). 2 bn= bn- -1 + bn+1 (n2).又由又由 lgb1, lga2, lgb2 成等差數列成等差數列, 且且 b1=2, a2=3 得得: b2= . 92 b2 - - b1 = . 22 bn 是以是以 2 為首項為首項, 為公差的等差數列為公差的等差數列. 22 bn = 2 +(n- -1) 222n+1 = . bn= . (n+1)2 2bn

29、- -1= (n2). n2 2an= bn- -1bn = (n2). n(n+1) 2又又 a1=1 亦適合上式亦適合上式, n(n+1) 2an= . 15.設設 an 是由正數組成的等比數列是由正數組成的等比數列, sn 是其前是其前 n 項和項和. (1)證明證明:lgsn+lgsn+2 0, 使得使得 =lg(sn+1- -c)成立成立? 并證明你的結論并證明你的結論. lg(sn- -c)+lg(sn+2- -c) 2(1)證證: 設設等比數列等比數列 an 的公比為的公比為 q, 由題設知由題設知 a10, q0.當當 q=1 時時, sn=na1, snsn+2- -sn+1

30、2=na1(n+2)a1- -(n+1)2a12=- -a120;當當 q 1 時時, sn= , a1(1- -qn) 1- -q snsn+2- -sn+12= - -a12(1- -qn)(1- -qn+2) (1- -q)2 a12(1- -qn+1)2 (1- -q)2 =- -a12qn0.snsn+2- -sn+120. snsn+2sn+12. lgsnsn+2lgsn+12.lgsn+lgsn+22lgsn+1.lgsn+lgsn+2 lgsn+1. 2=- -a120, 使結論成立使結論成立.當當 q 1 時時, (sn- -c)(sn+2- -c) - -(sn+1- -

31、c)2 a1(1- -qn) 1- -q = - -c - -c- - - -c2 a1(1- -qn+2) 1- -q a1(1- -qn+1) 1- -q 當當 q=1 時時, (sn- -c)(sn+2- -c) - -(sn+1- -c)2 (sn- -c)(sn+2- -c)=(sn+1- -c)2, sn- -c0, 解法解法1: 要使要使 =lg(sn+1- -c)成立成立, 則有則有l(wèi)g(sn- -c)+lg(sn+2- -c) 2(2)是否存在常數是否存在常數 c0, 使得使得 =lg(sn+1- -c)成立成立? 并證明你的結論并證明你的結論. lg(sn- -c)+lg(sn+2- -c) 2=- -a1qna1- -c(1- -q), 且且 a1qn 0, 故只能有故只能有 a1- -c(1- -q)=0, 即即 c= , 此時此時, c0, a10, a1 1- -q 0q1. 但當但當 0q1 時時, sn- -c=sn- - a1 1- -q a1qn 1- -q =- - 0, 使結論成立使結論成立.故不存在常數故不存在常數 c0, 使得使