江蘇省南通市2015屆高三第三次調(diào)研測試數(shù)學試題

1、南通市2015屆高三第三次調(diào)研測試數(shù)學學科參考答案及評分建議一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1設(shè)集合A=3，m，B=3m，3，且A=B，則實數(shù)m的值是 【答案】02已知復數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)，則z的實部為 【答案】33已知實數(shù)x，y滿足條件則z=2x+y的最小值是 【答案】-3（第5題）開始輸入xy5x<4yx2-2x+2輸出y結(jié)束YN（第4題）時間（小時）頻率組距0.0040.0080.0120.016050751001251504為了解學生課外閱讀的情況，隨機統(tǒng)計了n名學生的課外閱讀時間，所得數(shù)據(jù)都在50，150中，其頻率分布直方圖

2、如圖所示已知在中的頻數(shù)為100，則n的值為 【答案】10005在如圖所示的算法流程圖中，若輸出的y的值為26，則輸入的x的值為 【答案】-46從集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一個數(shù)記為x，則log2x為整數(shù)的概率為 【答案】7在平面直角坐標系xOy中，點F為拋物線x2=8y的焦點，則F到雙曲線的漸近線的距離為 【答案】8在等差數(shù)列an中，若an+an+2=4n+6（nN*），則該數(shù)列的通項公式an= 【答案】2n+19給出下列三個命題：“ab”是“3a3b”的充分不必要條件；“”是“coscos”的必要不充分條件；“a=0”是“函數(shù)f(x) = x3+ax2（xR）為奇函數(shù)”的充

3、要條件其中正確命題的序號為 【答案】10已知一個空間幾何體的所有棱長均為1 cm，其表面展開圖如圖所示，則該空間幾何體的體積（第10題）ABCDEF（第11題）PV= cm3【答案】11如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點E為AB的中點以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于點F若P為劣弧上的動點，則的最小值為 【答案】12已知函數(shù)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍為 【答案】（-5，0）13在平面直角坐標系xOy中，過點P（-5，a）作圓x2+y2-2ax+2y-1=0的兩條切線，切點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，則實數(shù)a的值為 【答案】3或-

4、214已知正實數(shù)x，y滿足，則xy的取值范圍為 【答案】1，二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟ABCDA1B1C1（第15題）E15（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1CAB，側(cè)面BCC1B1為菱形（1）求證：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果點D，E分別為A1C1，BB1的中點，求證：DE平面ABC1解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1為菱形，故B1CBC12分ABCDA1B1C1（第15題答圖）EF又B1CAB，且AB，BC1為平面ABC1內(nèi)的兩條相交直線，故B1C平面A

5、BC1 5分因B1C平面BCC1B1，故平面ABC1平面BCC1B1 7分（2）如圖，取AA1的中點F，連DF，F(xiàn)E又D為A1C1的中點，故DFAC1，EFAB因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，故DF面ABC1 10分同理，EF面ABC1因DF，EF為平面DEF內(nèi)的兩條相交直線，故平面DEF面ABC112分因DE平面DEF，故DE面ABC114分xyO2-2（第16題）16（本小題滿分14分）已知函數(shù)（其中A，為常數(shù)，且A0，0，）的部分圖象如圖所示（1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）若，求的值解：（1）由圖可知，A=2，2分T=，故，所以，f(x) =4分又，且，故于是，f(x) =

6、7分（2）由，得9分所以，12分=14分17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓(ab0)的兩焦點分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，且經(jīng)過點(，)（1）求橢圓的方程及離心率； （2）設(shè)點B，C，D是橢圓上不同于橢圓頂點的三點，點B與點D關(guān)于原點O對稱設(shè)直線CD，CB，OB，OC的斜率分別為k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4 yxOF1F2BC（第17題）D求k1k2的值；求OB2+OC2的值解：（1）方法一依題意，c=，a2=b2+3，2分由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，從而a2=4故所求橢圓方程為： 離心率e=5分方法二由橢圓的定義知，2a=4，即a=2

7、2分又因c=，故b2=1下略（2）設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則D(-x1，-y1)，于是k1k2=8分方法一由知，k3k4=k1k2=，故x1x2=所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2=，所以，=411分又2=，故所以，OB2+OC2 =514分方法二由知，k3k4=k1k2=將直線y=k3x方程代入橢圓中，得9分同理，所以，=411分下同方法一18（本小題滿分16分）為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為200 m，圓心角為120°的扇形地上建造市民廣場規(guī)劃設(shè)計如圖：內(nèi)接梯形ABCD區(qū)域為運動休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑OP，OQ上，C，D在

8、圓弧上，CDAB；OAB區(qū)域為文化展示區(qū)，AB長為m；其余空地為綠化區(qū)域，且CD長不得超過200 mABCDPQ（第18題）O（1）試確定A，B的位置，使OAB的周長最大？（2）當OAB的周長最大時，設(shè)DOC=，試將運動休閑區(qū)ABCD的面積S表示為的函數(shù)，并求出S的最大值解：（1）設(shè)，在中，即，2分所以，4分所以，當且僅當m=n=50時，取得最大值，此時周長取得最大值A(chǔ)BCDPQ（第18題答圖）OEF答：當都為50 m時，的周長最大6分（2）當AOB的周長最大時，梯形ACBD為等腰梯形過作OFCD交CD于F，交AB于E，則分別為AB，CD的中點，所以，由，得8分在中，又在中，故10分所以，=，

9、12分（一直沒有交代范圍扣2分）令，又y=及y=在上均為單調(diào)遞減函數(shù)，故在上為單調(diào)遞減函數(shù)因0，故0在上恒成立，于是，在上為單調(diào)遞增函數(shù) 14分所以當時，有最大值，此時S有最大值為答：當時，梯形面積有最大值，且最大值為 m216分19（本小題滿分16分）已知數(shù)列an，bn中，a1=1，nN*，數(shù)列bn的前n項和為Sn（1）若，求Sn；（2）是否存在等比數(shù)列an，使對任意nN*恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列an的通項公式；若不存在，說明理由；（3）若a1a2an，求證：0Sn2解：（1）當an=時，bn=2分所以，Sn=4分（2）滿足條件的數(shù)列an存在且只有兩個，其通項公式為an=1和a

10、n=證明：在中，令n=1，得b3=b1設(shè)an=，則bn=6分由b3=b1，得若q=，則bn=0，滿足題設(shè)條件此時an=1和an=8分若q，則，即q2 =1，矛盾綜上，滿足條件的數(shù)列an存在，且只有兩個，一是an=1，另一是an=10分（3）因1=a1a2an，故，01，于是01所以，0，n=1，2，3，所以，Sn=b1+b2+bn013分又，=故，Sn=b1+b2+bn=2所以，0Sn216分20（本小題滿分16分）已知函數(shù)（aR）（1）若a=2，求函數(shù)在(1，e2)上的零點個數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）若恰有一個零點，求a的取值集合；（3）若有兩零點x1，x2(x1x2)，求證：2x1+

11、x2-1解：（1）由題設(shè)，=，故在(1，e2)上單調(diào)遞減2分所以在(1，e2)上至多只有一個零點又0，故函數(shù)在(1，e2)上只有一個零點4分（2）=，令=0，得x=1當x1時，0，在上單調(diào)遞減；當0x1時，0，在(0，1)上單調(diào)遞增，故=f(1)=a-16分當=0，即a=1時，因最大值點唯一，故符合題設(shè)；8分當0，即a1時，f(x)0恒成立，不合題設(shè)；當0，即a1時，一方面，1，0；另一方面，1，2a-ea0(易證：exex)，于是，f(x)有兩零點，不合題設(shè)綜上，a的取值集合為110分（3）證：先證x1+x22依題設(shè)，有a=，于是記=t，t1，則，故于是，x1+x2=x1(t+1)=，x1+

12、x2-2=記函數(shù)g(x)=，x1因0，故g(x)在上單調(diào)遞增于是，t1時，g(t)g(1)=0又lnt0，所以，x1+x2213分再證x1+x2-1因f(x)=0h(x)=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h(x)的兩零點由=a-1-lnx=0，得x=(記p=)仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值點，故有 作函數(shù)h(x)=，則0，故h(x)單調(diào)遞增故，當xp時，h(x)h(p)=0；當0xp時，h(x)0于是，ax1-1=x1lnx1整理，得0，即，0同理，0 故，于是，綜上，2x1+x2-116分21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多

13、做，則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）CABOP（第21（A）題）H如圖，BC為圓O的直徑，A為圓O上一點，過點A作圓O的切線交BC的延長線于點P，AHPB于H求證：PA·AH=PC·HB證：連AC，AB因BC為圓O的直徑，故ACAB又AHPB，故AH2=CH·HB，即5分CABOP（第21（A）題答圖）H因PA為圓O的切線，故PAC=B在RtABC中，B+ACB=90°在RtACH中，CAH+ACB=90°所以，HAC=B所以，PAC=CAH，所以，即所以，即PA

14、3;AH=PC·HB10分B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩陣，點A，B，C在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到的點分別為，求的面積解：因，即6分故10分C選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，r為常數(shù)，r0）以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為若直線l與曲線C交于A，B兩點，且，求r的值解：由，得，即直線l的方程為3分由得曲線的普通方程為，圓心坐標為，6分所以，圓心到直線的距離，由，則10分D選修4-5：不等式

15、選講（本小題滿分10分）已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd，求證：證：因abcd，故a-b0，b-c0，c-d0 故，6分所以，10分【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出ABCDA1B1C1D1（第22題） 文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，（1）求與面所成角的正弦值；（2）點在側(cè)棱上，若二面角E-BD-C1的余弦值為，求的值解：（1）以為原點，DA，DC，DD1分別為軸，軸，軸，ABCDA1B1C1D1（第22題答圖）xyz建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz設(shè)，則D（0，0，0

16、），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2） 2分（1）設(shè)與面所成角的大小為，設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z），則，即令，則，所以，所以與平面所成角的正弦值為6分（2）設(shè)E(1，0，)，02設(shè)平面的法向量為n1=（x1，y1，z1），平面的法向量為n2=（x2，y2，z2），由，得，令，則，由，得，令z2=1，則x2=2，y2=-2，所以，得所以10分23（本小題滿分10分）袋中共有8個球，其中有3個白球，5個黑球，這些球除顏色外完全相同從袋中隨機取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，

17、則該黑球不再放回，并且另補一個白球放入袋中重復上述過程n次后，袋中白球的個數(shù)記為Xn （1）求隨機變量X2的概率分布及數(shù)學期望E(X2)；（2）求隨機變量Xn的數(shù)學期望E(Xn)關(guān)于n的表達式解：（1）由題意可知X2=3，4，5當X2=3時，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)=；當X2=4時，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2=4)=；當X2=5時，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2=5)=3分所以隨機變量X2的概率分布如下表：X2345P（一個概率得一分 不列表不扣分）數(shù)學期望E(X2)=5分（2）設(shè)P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5則p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5P(Xn+1=3)=，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3