線性規(guī)劃例題集錦優(yōu)秀課件

1、(1)若若z=2x+y,求求z的最值的最值.例例 . .已已知知 、 滿滿足足43,13525.1.xyxyxyx maxZ2 5212, minZ2 113. 解：畫(huà)出可行域如圖：解：畫(huà)出可行域如圖：畫(huà)出直線畫(huà)出直線 2x+y=0 并平移得點(diǎn)并平移得點(diǎn)A使使Z最大，最大，點(diǎn)點(diǎn)B使使Z最小。最小。 2x+y=0由由 求出求出A 為（為（5,2)。02553034yxyx由由 求出求出B為（為（1，1)。0341yxx(2)若若z=2x- -y,求求z的最值的最值.解：畫(huà)出可行域如圖：畫(huà)直線2x-y=0并平移得點(diǎn)A使Z最大，點(diǎn)C使Z最小。由 可得C為（1,4.4）025531yxx由 可得A為（

2、5,2）02553034yxyx8252maxz4 . 24 . 412minz例例 . .已已知知 、 滿滿足足43,13525.1.xyxyxyx (3)若若z=x2+ +y2,求求z的最值的最值.min2,zmax29.z 解：畫(huà)出可行域如圖：解：畫(huà)出可行域如圖： 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y)到原點(diǎn)的距離的平方，到原點(diǎn)的距離的平方，22yxz由由 求出求出A 為（為（5,2)。02553034yxyx由由 求出求出B為（為（1，1)。0341yxx 由圖可得點(diǎn)由圖可得點(diǎn)A使使Z最大，點(diǎn)最大，點(diǎn)B 使使Z最小。最小。例例 . .已已知知 、 滿滿足足43,13525.1.xy

3、xyxyx 解：畫(huà)出可行域如圖：解：畫(huà)出可行域如圖：由由 求出求出A 為（為（5,2)。02553034yxyx 由圖可得點(diǎn)由圖可得點(diǎn)C使使Z最大，點(diǎn)最大，點(diǎn)A使使Z最小。最小。(4)若若 求求z 的最值的最值.,yzx 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y)與原點(diǎn)連線的斜率，與原點(diǎn)連線的斜率，,yzx 由 可得C為（1,4.4）025531yxxmax20.4.5OAzkmax4.44.4,1OCzk例例 . .已已知知 、 滿滿足足43,13525.1.xyxyxyx (5)求可行域的面積和求可行域的面積和整點(diǎn)個(gè)數(shù)整點(diǎn)個(gè)數(shù).1|2SBC h 13.446.8.24221110 解：畫(huà)出

4、可行域如圖解：畫(huà)出可行域如圖：求求A出為（出為（5,2），），B為為(1，1)，C為為( 1 , 4.4）。）。.6v例1某校食堂以面食和米食為主，面食每百某校食堂以面食和米食為主，面食每百克含蛋白質(zhì)克含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)個(gè)單位，售價(jià)0.5元；米食每百克含蛋白質(zhì)元；米食每百克含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉個(gè)單位，含淀粉7個(gè)個(gè)單位，售價(jià)單位，售價(jià)0.4元學(xué)校要給學(xué)生配制成盒飯，元學(xué)校要給學(xué)生配制成盒飯，每盒至少有每盒至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉個(gè)單位的淀粉，應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又使費(fèi)用最少，應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又使費(fèi)用最少？v解析：這

5、是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)先設(shè)出目標(biāo)變量和關(guān)鍵變量并建立目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型，選擇合適的方法求最值。目標(biāo)函數(shù)往往是一元二次函數(shù)或分式函數(shù)或三角函數(shù)或二元函數(shù)。如是一元二次函數(shù)一般用配方法求最值，如是三角函數(shù)一般用化一角一函數(shù)的方法求最值，如是分式函數(shù)一般用基本不等式法求最值，如是二元函數(shù)一般用線性規(guī)劃法求最值，有時(shí)也可用基本不等式法求最值。.7解：設(shè)每份盒飯中面食為x百克，米食為y百克，費(fèi)用z元。目標(biāo)函數(shù)為：z0.5x0.4y線性約束條件為：0, 01074836yxyxyx畫(huà)出可行域如圖：畫(huà)出直線畫(huà)出直線 0.5x+0.4y=0 并平移得點(diǎn)并平移得點(diǎn)A使使Z最最小。小。0.5x+0.4

6、y=0 A 求出點(diǎn)A 為1514,1513所以每份盒飯中有面食 百克，米食為 百克，費(fèi)用最省。15131514.8例2某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)1 t產(chǎn)品需要的電力、煤、勞動(dòng)力及產(chǎn)值如下表所示：品種電力(千度)煤(噸)勞動(dòng)力(人)產(chǎn)值(千元)甲4357乙6639v該廠的勞動(dòng)力滿員150人，根據(jù)限額每天用電不超過(guò)180千度，用煤每天不得超過(guò)150 t，問(wèn)每天生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品各多少時(shí)，才能創(chuàng)造最大的經(jīng)濟(jì)效益？.9解：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，可得產(chǎn)值z(mì)千元。目標(biāo)函數(shù)為：z7x9y線性約束條件為：150351506318064yxyxyx畫(huà)出可行域如圖：畫(huà)出直線畫(huà)出直線7x+9y=0 并

7、平移得點(diǎn)并平移得點(diǎn)P使使Z最小。最小。求出點(diǎn)P 為)7100,7150(所以每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品 噸，乙產(chǎn)品 噸時(shí)，效益最大。71507100.10Q已知 滿足不等式y(tǒng)x,3006xyxyx求： (1).xyz3的范圍;(2).12xyz的范圍.解: (1)表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與定點(diǎn)Q（0,-3）連線的斜率,xyz3因?yàn)? 0,2QBQAkk所以z的范圍為. ),02,(例4關(guān)閉程序返回首頁(yè)BCA6y4xO62242420 yx06 yx3x.11(2).表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與定點(diǎn)12xyz因?yàn)?21,25RBRAkkR（-1,-2）連線的斜率,R所以z的范圍為. ),2125,(點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可

8、行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率.關(guān)閉程序返回首頁(yè)BCA6y4xO62242420 yx06 yx3x.12N求： (1).最大值和最小值; (2).222yxxz最大值和最小值; 22yxz22yxz解: (1)表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)),(yx到原點(diǎn))0 , 0 (O的距離的平方.過(guò)O向直線ACBC、作垂線,垂足非別為.A、N易知,)9, 3(C到O距離最大,此時(shí),909322maxz. 00022minz例3已知 滿足不等式y(tǒng)x,3006xyxyx關(guān)閉程序返回首頁(yè)BCA6y4xO62242420 yx06 yx3x.13P3. (2).解:1) 1(22222yxyxxz表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到定點(diǎn))0,

9、1(M距離的平方再減去1.過(guò)M作直線AB的垂線,垂足是P由直角三角形直角邊與斜邊關(guān)系,容易判斷出z的最小值是,21|MPz的最大值為.96|MC點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.關(guān)閉程序返回首頁(yè)MBCA6y4xO62242420 yx06 yx3x.14 變式訓(xùn)練1某人需要補(bǔ)充維生素，現(xiàn)有甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含有維生素A，C，D，E和最新發(fā)現(xiàn)的Z，甲種膠囊每粒含有維生素A，C，D，E，Z分別是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙種膠囊每粒含有維生素A，C，D，E，Z分別是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天攝入維生素A至多19

10、 mg，維生素C至多13 mg，維生素D至多24 mg，維生素E至少12 mg，那么他每天應(yīng)服兩種膠囊各多少粒才能滿足維生素的需要量，并能獲得最大量的維生素Z?.15.16 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 作出5x2y0. 把直線向右上方平移，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，z5x2y取得最大值.17【6】已知已知x, y滿足滿足0,1,1.xyxyy 若若 取得最小值的點(diǎn)有無(wú)取得最小值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，則窮多個(gè)，則m= .)0(mmyxz-1-11zyxmm (2, 1) ( 1, 1) 1 1(,)2 2111mm 【6】已知已知x, y滿足滿足0,1,1.xyxyy 若若 取得最大值的點(diǎn)有

11、無(wú)窮多個(gè)，取得最大值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，則則m= .zxmy1 11zyxmm 0m 時(shí)時(shí), ,11m 1m0m 時(shí)時(shí), , 【1】已知點(diǎn)已知點(diǎn) A(0, 0), B(1, 2), C(5, 1), D(2, - -1),其中其中在不等式組在不等式組 所表示的平面區(qū)域所表示的平面區(qū)域0,0,4312xyxy 內(nèi)的點(diǎn)是內(nèi)的點(diǎn)是( ).【2】滿足滿足 | x | + | y | 4 的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_.41419+2(7+5+3+1)= 41 練習(xí)：練習(xí)：Page 21求二元一次不等式組求二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的面積所表示的平面區(qū)域的面積例例5 5、 x-y+50 y2 0 x2

12、2 2x xo oy y-5-55 5D DC CB BA Ax-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2y=2y=22 2如圖，平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪稳鐖D，平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪? ,易得易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以所以AD=3,AB=2,BC=5AD=3,AB=2,BC=5故所求區(qū)域的面積為故所求區(qū)域的面積為S=S=解析：解析：825321Page 22若二元一次不等式組若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，求求a a的取值范圍的取值范圍變式：變式： x-y+50 ya

13、0 x2Page 23(1)求z=x+y的最值。已知：已知：x,y滿足滿足 2)3()3(22yx(2)求求z= 的最值。的最值。22yx (3)求求z= 的最值。的最值。xy(1)若若z=2x+y,求求z的最值的最值.例例 . .已已知知 、 滿滿足足43,13525.1.xyxyxyx maxZ2 5212, minZ2 113. 解：畫(huà)出可行域如圖：解：畫(huà)出可行域如圖：畫(huà)出直線畫(huà)出直線 2x+y=0 并平移得點(diǎn)并平移得點(diǎn)A使使Z最大，最大，點(diǎn)點(diǎn)B使使Z最小。最小。 2x+y=0由由 求出求出A 為（為（5,2)。02553034yxyx由由 求出求出B為（為（1，1)。0341yxxPa

14、ge 25(1)求z=x+y的最值。已知：已知：x,y滿足滿足 2)3()3(22yx0 xy解：畫(huà)出可行域如圖：解：畫(huà)出可行域如圖：AB畫(huà)出直線畫(huà)出直線 ：x+y=0并平移得點(diǎn)并平移得點(diǎn)A使使Z最大，最大，點(diǎn)點(diǎn)B使使Z最小。最小。ll1l2l設(shè)圓設(shè)圓P與平行的切線為與平行的切線為x+y+t=02233t由由 得得t=4或或t=8所以所以 為為x+y-4=0, 為為x+y-8=01l2l由由 求出求出A 為（為（2,2)。2) 3() 3(0422yxyx由由 求出求出B為（為（4,4)。2)3()3(0822yxyxminz2+2=4maxz4+4=8P解：畫(huà)出可行域如圖：解：畫(huà)出可行域如圖： 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y)到原點(diǎn)的距離的平方，到原點(diǎn)的距離的平方，22yxz 由圖可得點(diǎn)由圖可得點(diǎn)A使使Z最大，點(diǎn)最大，點(diǎn)B 使使Z最小。最小。已知：已知：x,y滿足滿足 2)3()3(22yx(2)求求z= 的最值。的最值。22yx 0 xyABPminzmaxz22)2( POPB222)233(=822)2( POPA222)233(32解：畫(huà)出可行域如圖：解：畫(huà)出可行域如圖：已知：已知：x,y滿足滿足 2)3()3(22yx0 xyABP(3)求求z= 的最值。的最值。xy 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)表示可行