定積分計(jì)算技巧

1、1. 定積分的幾何意義例 1. 0 2x x2dx=解法 1 由定積分的幾何意義知，220 2x x dx 等于上半圓周(x21)2( y 0)與x 軸所圍成的圖形的面積故 0 2x2x dx=22. 利用積分不等式例1.求lim n psinxdx,n n xp,n 為自然數(shù)解法 利用積分不等式因?yàn)槎?limlnnnpn0 ,所以例 2.求 limn1 xn01解法因?yàn)?0于是可得又由于因此n p sin x dx nnpsinxnxlimndxp1dxxlnp sinx dx0dx xx 1 ，故有nxdx1nxndx03.利用被積函數(shù)的奇偶性求定積分例 1.計(jì)算 1112x21 xx2d

2、x分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，1 2x2 x111 x2dx =1xndx0(n ) limnn x 01dx=0x因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性2x2111 x2dx1x11 1dx 2x由于2x2是偶函數(shù)，1 1 x2x1 1 x2是奇函數(shù)，有11 1 x2 dx0,于是1 2x2 x11 1 x2dx=4 01x2011dx =42x1x20(1 1 x ) dx= 4 0 dx 4 0 1 x2dx002x11由定積分的幾何意義可知120 1 x2dx4, 故1 2x2111xdx2x14 0 dx444得原式例 2. 計(jì)算解 雖然 在 上即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)， 更不能直接求出

3、原函數(shù)， 但我們可 以利用4. 設(shè) f(x) 為周期函數(shù)且連續(xù)，周期為 T，則事實(shí)上由于 于是例 1. 設(shè) 表示距離 x 最近整數(shù)的距離，計(jì)算解由且 為周期函數(shù)，周期為 1，于是5.利用積分中值定理n p sinx例1.求 limdx, p, n為自然數(shù)n n x解法 利用積分中值定理設(shè) f (x)sin x, 顯然 f(x)在n,n p上連續(xù), 由積分中值定理得 xn p sinx sindxxnp,n,n p ,當(dāng)n時(shí), 而 sin1,故n又故例 2.解法limnnp sinx dxxsinlim p 0 求 limnn1 x dx 01 x由積分中值定理1016.利用適當(dāng)變量變換求定積分

4、ba f (x)g(x)dxnx dx =x1110f()xndx，limn1xndx01 lim n n 1例 1. 設(shè) f(x) 在0 ， 1 上連續(xù)，計(jì)算ba g(x)dx 可知01 lim 01 xn n 01 x0且12dx 0 111，解 設(shè) 于是得例 2. 設(shè)函數(shù) f(x) 在 內(nèi)滿足 且，計(jì)算解法一于是解法二 當(dāng) 時(shí)，例 46 設(shè)解 原式7.利用定積分公式公式 1：設(shè) f(x) 在0,1 上連續(xù)，則事實(shí)上移項(xiàng)兩邊同除以2得公式 2：于是由于遞推公式每次降2 次，要討論 n 為奇偶數(shù)的情形，由公式 3：證由質(zhì)，有知 的周期為 ，當(dāng)然 也是它的周期，利周期函數(shù)定積分的性而由于 2n 是偶數(shù)，故公式 4. 證例 54 證明證公式5設(shè)f(x) 在0,1 上連續(xù)，則證由