初三數(shù)學(xué)幾何定理的運用

1、:學(xué)幾何定理的運用摘要：教師在教學(xué)時經(jīng)常需要面對不同的學(xué)生，如何 根據(jù)不同的情況采取相應(yīng)的措施顯得非常必要。一些學(xué)生 到了初三仍對幾何證明題書寫感到困難，思考時沒有明確 的目的。本文針對這些情況，充分重視了 “定理教學(xué)”，采 取了先集中講授再平時滲透的方法，提出了從定理的基本 要求出發(fā)，通過建立表象、組合定理、聯(lián)想定理等教學(xué)對 策，從而使學(xué)生具備“用定理”的意識。關(guān)鍵詞：建立表象、組合定理、聯(lián)想定理教師在教途上并不是一帆風(fēng)順的，尤其在農(nóng)村中學(xué)， 有時由于教學(xué)上的需要，往往到了初三，也會出現(xiàn)面對陌 生學(xué)生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學(xué)生 會證的，卻不會書寫或書寫不完整；知道步驟的原因

2、和結(jié) 論，但講不出定理的內(nèi)容；更多的學(xué)生面對幾何題在證明 時憑感覺。面對著時間緊、任務(wù)重，怎么辦呢？經(jīng)過一番 苦思冥想，針對學(xué)生基礎(chǔ)差、底子薄，決定狠抓“定理教 學(xué)”。通過一段時間的復(fù)習(xí)，學(xué)生普遍反映在證題和書寫 時有了 “依靠”，也發(fā)現(xiàn)了定理的價值，基本樹立了“用 定理”的意識。那么，學(xué)生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產(chǎn)生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：不理解定理是進行推理的依據(jù)。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由 一個一個定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴(yán)密，就 因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而 不能嚴(yán)謹(jǐn)推理，造成幾何定理無

3、法具體運用到習(xí)題中去。找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找 不出定理所對應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定 理之間的聯(lián)系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理 或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標(biāo)準(zhǔn)形），學(xué) 生就難以思考。推理過程因果關(guān)系模糊不清。針對以上的原因，我們在教學(xué)中采取了一些自救對策。一、教學(xué)環(huán)節(jié)對幾何定理的教學(xué)，我們在集中講授時分5個環(huán)節(jié)。第1、2環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求；第3環(huán)節(jié)是基本推理 模式，第4環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式，提出了 “模式+定理”的書寫方法；第5環(huán)節(jié)是定理在解題分析 時的導(dǎo)向作用，提出了 “圖形+定理”的思考方法。程序 圖設(shè)計如下：基本

4、要求-*重新建立表象一推理模式-組合定理聯(lián)想定理二、操作分析和說明1. 定理的基本要求我們認(rèn)為，能正確書寫證明過程的前提是學(xué)會對幾何 定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基 本單位。因而在教學(xué)中我們采取了 “一劃二畫三寫”的步 驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理 了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關(guān)的定理）, 集中展示給學(xué)生。例如定理4 3:直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個 直角三角形和原三角形相似。一劃：就是找出定理的題設(shè)和結(jié)論，題設(shè)用直線，結(jié) 論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質(zhì)部分。如：“直角三角形”和“高線”、“相似”。二畫：就是依據(jù)定理的內(nèi)容，能

5、畫出所對應(yīng)的基本 形。如：三寫：就是在分清題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上，能用符號語 言表達，允許采用等同條件。如：abc是rta, c d丄ab于d （條件也可寫成： zacb = 9 0°，zcdb = 90 等）. aacd abcd aabc。學(xué)生在書寫時果然出現(xiàn)了一些問題： 不理解每個定理的條件和結(jié)論。學(xué)生在書寫時往往 漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）; 對條件太簡單的不會寫（如定理3）;或者把條件當(dāng)成結(jié)論（如定理12把三線都當(dāng)成結(jié)論）。 還表現(xiàn)在思維偏差。我們的要求是會用定理，而有 些學(xué)生把定理重新證明一遍（如定理5、6）;或者在一個定 理中出現(xiàn)yxx，又yxx

6、, /.xx的錯誤。 更多的是沒有抓住本質(zhì)。具體表現(xiàn)在把非本質(zhì)的條 件當(dāng)成本質(zhì)條件（如定理7出現(xiàn)和z2是同位角，/. ab/cd）；條件重復(fù)（如定理49 ,結(jié)論zapo=zbpo己經(jīng) 包括過圓心0，學(xué)生在條件中還加以說明）；圖形過于特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多 （些定理譯不出符號語言，用文字代替）等。2. 重新建立表象從具體到抽象，由感性到理性己成為廣大數(shù)學(xué)教師傳 授知識的重要原則。“表象”就是人們對過去感知過的客觀 世界中的對象或?qū)ο笤陬^腦中留下來的可以再現(xiàn)出來的形 象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于 幾何的每一個定理都對應(yīng)著一個圖形，這給我們在教學(xué)

7、中 提供了一定的便利。我們要求學(xué)生對定理的表象不能只停 留在實體的形象上，而是讓學(xué)生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認(rèn)為，這對于理解、鞏固和 記憶幾何定理起著重大的作用。教給學(xué)生想形象的基本方法后，我們接下去的步驟是 用實例引導(dǎo)學(xué)生，下面是一段經(jīng)整理后的課堂教學(xué)主要內(nèi) 容：問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形 象？答：垂徑定理我在想的時候，腦子里留下“兩條等弧、 兩條相等的線段、一個直角”在一閃一閃的，以后看到弧 相等或其他兩個條件之一，腦子里就會浮現(xiàn)出垂徑定理。目的：建立單個定理的表象，要求能想到非標(biāo)準(zhǔn)圖形。繼續(xù)問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他 的定理就沒有想

8、起來嗎？答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等甚至有學(xué)生想到了兩條平行弦目的：通過表象，進行聯(lián)想，使學(xué)生理解定理間的聯(lián) 系。問：從定理21開始，你能找出和它有聯(lián)系的定理嗎?答：有定理22 （擦短使平行直線變成線段），定理25 （特殊化成菱形），定理27目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等變化，加深定理間的聯(lián)系。下面的步驟，我們讓學(xué)生自主思考。學(xué)生在不斷嘗 試的過程中，通過比較、分析、判斷，進一步熟悉定理的 三種語言、定理之間的聯(lián)系和區(qū)別。從學(xué)生思考的角度看 他們主要是在尋找基本圖形，由于定理之間有一定的聯(lián)系 在一個基本圖形中往往存在著另一個殘缺的基本圖形，所 以學(xué)生大多通過連線、延長、作

9、圓、平移、旋轉(zhuǎn)等手段， 也有通過特殊化、找同結(jié)論等途徑把不同的定理聯(lián)系起來下面摘錄的是學(xué)生自主思考后，得到的富有創(chuàng)意性的 結(jié)論。 定理16 （延長中線成矩形）一定理24 （作矩形的外 接圓）定理34。 定理51 （線過圓心，且兩線垂直）一定理36 （ 線平移成切線）-定理47、48 （繞切點旋轉(zhuǎn)）一定理50。 如下圖，把ef向下平移（或繞a點旋轉(zhuǎn)），使定理 37和50聯(lián)系起來（有同結(jié)論zci =zd）:3. 推理模式從學(xué)生各方面的反饋情況看，多數(shù)學(xué)生覺得幾何抽象 還在于幾何推理形式多樣、過程復(fù)雜而又摸不定，往往聽 課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣 將形式多樣的推理過程讓學(xué)生看

10、得清而又摸得著呢？為此， 我們在二步推理的基礎(chǔ)上，經(jīng)過歸納整理，總結(jié)了三種基 本推理模式。具體教學(xué)分三個步驟實施：精心設(shè)計三個簡單的例題，讓學(xué)生歸納出三種基本 推理模式。 條件4結(jié)論一新結(jié)論（結(jié)論推新結(jié)論式） 新結(jié)論（多個結(jié)論推新結(jié)論式） 新結(jié)論（結(jié)論和條件推新結(jié)論式）通過己詳細書寫證明過程的題目讓學(xué)生識別不同的 推理模式。通過具體習(xí)題，學(xué)生有意識、有預(yù)見性地練習(xí)書寫。這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學(xué)生先理解證明題的大致框 架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學(xué)生書寫 的盲目性。但教學(xué)表明學(xué)生仍然出現(xiàn)不必要的跳步，這是 什么原因呢？我們把它歸結(jié)為對推理的因果關(guān)系不明確、 定理是推理的依據(jù)和單位不

11、明白。因而我們根據(jù)需要，又 設(shè)計了以下一個環(huán)節(jié)。4. 組合定理基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因 而在這一環(huán)節(jié)，我們讓學(xué)生在證明的過程中找出單個定理 的因果關(guān)系、多個定理的組合方式，然后由幾個定理組合 后構(gòu)造圖形，進一步強化學(xué)生“用定理”的意識。下面通過一例來說明這一步驟的實施。例1 :已知如圖，四邊形a bcd外接00的半徑為5， 對角線ac與b d相交于e，且ab=ae ac，bd=8。求八 bad的面積。（xx年嘉興市質(zhì)量評估卷六）證明：連結(jié)0b，連結(jié)0a交bd于f。學(xué)生從每一個推測符號中找出所對應(yīng)的定理和隱含的主要定理：比例基本性質(zhì)一s/as/證相似一相似三角形性質(zhì)一垂徑

12、定理一勾股定理一三角形面積公式由于學(xué)生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過 程中確實是由一個一個定理連結(jié)起來的，也讓學(xué)生體會到 把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能 形成嚴(yán)密的推理過程。此時，可順勢布置以下的任務(wù)：給 出勾股定理，你能再結(jié)合一個或多個定理，構(gòu)造圖形，并 編出證明題或計算題嗎？實踐表明：經(jīng)過“模式+定理”書寫方法的熏陶后， 學(xué)生基本具備了完整書寫的意識。5. 聯(lián)想定理分析圖形是證明的基礎(chǔ)，幾何問題給出的圖形有時是 某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構(gòu)造出定理的基 本圖形，為運用定理解決問題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引 發(fā)聯(lián)想（這也是教師分析幾何證明題、學(xué)生證題的基本

13、方 法之一），但對于識圖或想象力較差的學(xué)生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形 呢？在復(fù)雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而 我們從另一側(cè)面，即證明題的“己知、求證”上給學(xué)生以 支招，即由命題的題設(shè)、結(jié)論聯(lián)想某些定理，以配合圖形 想象。例：如圖，001和002相交于b、c兩點，ab是001 的直徑，ab、ac的延長線分別交©02于d、e，過b作001 的切線交ae于f。求證：bf/de。討論此題時，啟發(fā)學(xué)生由題設(shè)中的“a b是00的直徑' 聯(lián)想定理“直徑所對的圓周角是90° ”，因而連結(jié)bc; “過 b作00的切線交ae于f”聯(lián)想定理

14、“切線的性質(zhì)”，得出 zabf=90 °。從而構(gòu)造出基本圖形。由命題的結(jié)論“bf/de”聯(lián)想起“同位角相等，兩直 線平行”定理，構(gòu)造出基本圖形。將上述基本圖形 的性質(zhì)結(jié)合在一起，學(xué)生就易于思考了。這一環(huán)節(jié)我們的引導(dǎo)語有：“由已知中的哪一個條件，你能聯(lián)想起什么定理？ ”、“條件組合后能構(gòu)成哪個定理？ ”、 “有無對應(yīng)的基本圖形？ ”、“能否構(gòu)造出基本圖形？ ”等。 目的是讓學(xué)生樹立起“圖形+定理”的思考方法，把以前 的無意識思考變成有目的、有意識的思考。三、幾點認(rèn)識復(fù)習(xí)的效果最終要體現(xiàn)在學(xué)生身上，只有通過學(xué)生的 自身實踐和領(lǐng)悟才是最佳復(fù)習(xí)途徑，因此在復(fù)習(xí)時，我們 始終堅持主體性原則。在

15、組織復(fù)習(xí)的各個環(huán)節(jié)中，充分調(diào) 動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性：提出問題讓學(xué)生想，設(shè)計 問題讓學(xué)生做，方法和規(guī)律讓學(xué)生體會，創(chuàng)造性的解答共 同完善?！皼]有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個水平升華到 更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認(rèn)為傳授方法或解答后 讓學(xué)生進行反思、領(lǐng)悟是很好的方法，所以我們在教學(xué)時 總留出足夠的時間來讓學(xué)生進行反思，使學(xué)生盡快形成一 種解題思路、書寫方法。集中講授能使學(xué)生對幾何定理的應(yīng)用有一定的認(rèn)識， 但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅持了滲 透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導(dǎo)、反復(fù) 滲透。參考資料：高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)的理論和實踐孟祥東等中學(xué) 數(shù)學(xué)教與學(xué)xx、3

16、全國初中數(shù)學(xué)教育第十屆年會論文集p380、p470附錄：初中數(shù)學(xué)幾何定理集錦（摘錄）1。同角（或等角）的余角相等。3。對頂角相等。5。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之 和。6。在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行 線。7。同位角相等，兩直線平行。12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。16。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。19。在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平 行線間的垂線段相等。22。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。24。有三

17、個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四 邊形是矩形。25。菱形性質(zhì)：四條邊相等、對角線互相垂直，并且 每一條對角線平分一組對角。27。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對 角。3 4。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩 條弦、兩個弦心距中有一對相等，那么它們所對應(yīng)的其余 各對量都相等。36。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對弧。 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的 弧。43o直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角 形和原三角形相似。46。相似三角形對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng) 角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等