高考數(shù)學(xué)廣東卷理科帶答案

1、2011年高考數(shù)學(xué)廣東卷(理科) 參考公式：錐體的體積公式,其中為錐體的底面面積,為錐體的高.球的表面積公式, 其中為球的半徑如果事件、互斥，那么一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的. 1. 已知集合，, 則 a b c d 2. 若復(fù)數(shù)ii是實(shí)數(shù)i是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值為 a b c d3. 已知向量,且，則的值為 a b c d 4. 函數(shù)在區(qū)間上 a是減函數(shù) b是增函數(shù) c有極小值 d有極大值開始 3kk1輸出k ,n 結(jié)束是否 輸入5. 閱讀圖1的程序框圖. 若輸入, 則輸出的值為. a b c d 6. “” 是“”

2、成立的 a充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 7. 將18個(gè)參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3所學(xué)校, 要求每校 至少有一個(gè)名額且各校分配的名額互不相等, 則不同的分配方法種數(shù)為 a96 b114 c128 d136 圖1 8. 如圖2所示,已知正方體的棱長(zhǎng)為2, 長(zhǎng) 為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng), 另一端點(diǎn) 在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng), 則的中點(diǎn)的軌跡的面積為 a b c d 圖2二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.（一）必做題（913題）9.為了了解某地居民月均用電的基本情況, 抽 取出該地區(qū)若干戶居民的用電數(shù)據(jù), 得到

3、頻 率分布直方圖如圖3所示, 若月均用電量在 區(qū)間上共有150戶, 則月均用電 量在區(qū)間上的居民共有 戶. 10. 以拋物線上的一點(diǎn)為圓心作圓，若該圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)， 那么該圓的方程為 . 11. 已知數(shù)列是等差數(shù)列, 若, 則該數(shù)列前11項(xiàng)的和為 .12. 的三個(gè)內(nèi)角、所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為、，已知 , 則的值為 .13. 某所學(xué)校計(jì)劃招聘男教師名,女教師名, 和須滿足約束條件 則該校招聘的教師最多是 名. （二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題） 14. (幾何證明選講選做題) 如圖4, 是圓的切線, 切點(diǎn)為, 點(diǎn)、在圓上，則圓的面積為 . 15. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題)

4、 在極坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)且與 極軸垂直的直線交曲線于、兩點(diǎn)，則 . 圖4三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)(r).(1) 當(dāng)取什么值時(shí),函數(shù)取得最大值,并求其最大值;(2) 若為銳角，且，求的值. 17.（本小題滿分12分） 某企業(yè)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中有一、二、三等品及次品共四個(gè)等級(jí)，1件不同等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：元）如表1，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取出1件產(chǎn)品，該件產(chǎn)品為不同等級(jí)的概率如表2. 若從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取出的1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即數(shù)學(xué)期望)為元.等級(jí)一等品二等品三等品次品 等級(jí)一等品二等品三等品次品利潤(rùn) 表1

5、表2 (1) 求的值； (2) 從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取出3件產(chǎn)品，求這3件產(chǎn)品的總利潤(rùn)不低于17元的概率.18.（本小題滿分14分） 如圖5，在三棱柱中，側(cè)棱底面,為的中點(diǎn), . (1) 求證：平面； (2) 若四棱錐的體積為, 求二面角的正切值. 圖519.（本小題滿分14分） 已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線垂直于軸,動(dòng)點(diǎn)在上,且滿足 (為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)的軌跡為.(1) 求曲線的方程；(2) 若直線是曲線的一條切線, 當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí),求直線的方程. 20.（本小題滿分14分） 已知函數(shù)滿足,對(duì)于任意r都有,且 ,令.(1) 求函數(shù)的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3) 研究函數(shù)在

6、區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).21.（本小題滿分14分） 已知函數(shù)的定義域?yàn)閞, 且對(duì)于任意r,存在正實(shí)數(shù),使得 都成立.(1) 若,求的取值范圍；(2) 當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，. 證明：； 令，證明：.參考答案說明：1參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分

7、3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算共8小題，每小題5分，滿分40分.題號(hào)12345678答案acbcbabd 二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題說明：第10小題寫對(duì)一個(gè)答案給3分. 9. 10. 11. 33 12. 13. 10 14. 15. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16（本小題滿分12分）(本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì), 同角三

8、角函數(shù)的基本關(guān)系、兩倍角公式等知識(shí), 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算求解能力) (1) 解: 1分 2分 . 3分 當(dāng),即z時(shí),函數(shù)取得最大值,其值為. 5分(2)解法1:, . 6分 . 7分 為銳角，即, . . 8分 . 9分 . 10分 . . 或(不合題意,舍去) 11分 . 12分解法2: , . . 7分 . 8分 為銳角，即, . 9分 . 10分 . 12分解法3:, . . 7分 為銳角，即, . . 8分 9分 10分 . 12分17（本小題滿分12分）(本小題主要考查數(shù)學(xué)期望、概率等知識(shí), 考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))（1

9、）解：設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)為隨機(jī)變量，依題意得的分布列為： 2分 ,即. 3分 , 即, 4分 解得. . 6分(2)解：為了使所取出的3件產(chǎn)品的總利潤(rùn)不低于17元，則這3件產(chǎn)品可以有兩種取法：3件都 是一等品或2件一等品，1件二等品. 8分 故所求的概率c. 12分 18. （本小題滿分14分）(本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的平面角、錐體的體積等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)（1）證明: 連接,設(shè)與相交于點(diǎn),連接, 四邊形是平行四邊形,點(diǎn)為的中點(diǎn). 為的中點(diǎn)，為的中位線, . 2分平面,平面,平面. 4分(2)解: 依題意知，

10、 平面,平面, 平面平面，且平面平面.作，垂足為，則平面， 6分設(shè)，在rt中，四棱錐的體積 . 8分依題意得，即. 9分(以下求二面角的正切值提供兩種解法)解法1:,平面，平面，平面.取的中點(diǎn)，連接，則,且.平面.作，垂足為，連接，由于，且，平面.平面,.為二面角的平面角. 12分由rtrt,得,得,在rt中, .二面角的正切值為. 14分解法2: ,平面，平面， 平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,所在直線為軸, 軸和軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 則,. , 設(shè)平面的法向量為, 由及,得 令,得. 故平面的一個(gè)法向量為, 11分 又平面的一個(gè)法向量為, ,. 12分 ,. 13分 ,. 二面角的正切值

11、為. 14分19（本小題滿分14分）(本小題主要考查求曲線的軌跡方程、點(diǎn)到直線的距離、曲線的切線等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí))(1) 解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為. , . 當(dāng)時(shí),得,化簡(jiǎn)得. 2分當(dāng)時(shí), 、三點(diǎn)共線，不符合題意，故.曲線的方程為. 4分(2) 解法1: 直線與曲線相切,直線的斜率存在. 設(shè)直線的方程為, 5分 由 得. 直線與曲線相切, ,即. 6分點(diǎn)到直線的距離 7分 8分 9分 . 10分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí). 12分直線的方程為或. 14分 解法2：由，得， 5分 直線與曲線相切,

12、設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則直線的方程為：，化簡(jiǎn)得. 6分點(diǎn)到直線的距離 7分 8分 9分 . 10分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 12分直線的方程為或. 14分 解法3：由，得， 5分 直線與曲線相切, 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則直線的方程為：，化簡(jiǎn)得. 6分點(diǎn)到直線的距離 7分 8分 9分 . 10分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立,此時(shí). 12分直線的方程為或. 14分20（本小題滿分14分）(本小題主要考查二次函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)、分段函數(shù)等知識(shí), 考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))(1) 解：，. 1分 對(duì)于任意r都有, 函

13、數(shù)的對(duì)稱軸為，即，得. 2分 又，即對(duì)于任意r都成立， ,且， 4分 (2) 解： 5分 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 6分若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 7分 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 8分綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； 9分當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和 10分 (3)解： 當(dāng)時(shí)，由(2)知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn) 11分 當(dāng)時(shí)，則，而， （）若，由于， 且， 此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)； 12分（）若，由于且，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間 上有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 13分 綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 14分2