華壇無(wú)痕數(shù)學(xué)講堂第一講A

1、         華壇無(wú)痕數(shù)學(xué)講堂八年級(jí)第一講A                                  全等三角形（普課）    

2、;              學(xué)習(xí)建議：建議擁有初一數(shù)學(xué)知識(shí)再來(lái)學(xué)習(xí)此課。在數(shù)學(xué)中，有很多相等的量，比如說(shuō)一對(duì)線段的長(zhǎng)度而在圖形中，最基礎(chǔ)的，也非常特殊的一種相等，就為三角形相等。在數(shù)學(xué)上的最標(biāo)準(zhǔn)的讀法為兩三角形完全相等，我們簡(jiǎn)稱(chēng)為三角形全等。那么，什么是全等三角形呢？其定義是什么呢？如圖1，a的對(duì)角為，b的對(duì)角為，c的對(duì)角為，a'的對(duì)角為'，b'的對(duì)角為'，c'的對(duì)角為'，其中a=a'，b=b

3、9;，c=c'，=，='，='，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)三角形全等，其中a，b，c分別與a'，b'，c'為對(duì)應(yīng)邊，分別于'，'，'為對(duì)應(yīng)角。                                 

4、;    圖1一般的，三角形全等有如下定義：1、對(duì)應(yīng)邊相等2、對(duì)應(yīng)角相等3、面積相等4、周長(zhǎng)相等5、對(duì)應(yīng)角平分線，中線，垂線相等6、外切圓，內(nèi)接圓半徑相等若ABC與DEF全等，我們一般用（全等）號(hào)來(lái)相連接表示，即ABCDEF。如果要證明三角形全等，至少需要多少個(gè)條件呢？我們先從最少的開(kāi)始研究。已知一邊相等或一角相等，其另外的邊和角無(wú)法確定，只有一個(gè)條件不能證明三角形全等已知兩邊相等，夾角與其夾角對(duì)邊不確定；兩角相等，三角形邊長(zhǎng)不確定；一角一邊相等，無(wú)法確定另兩角角度與另兩邊長(zhǎng)度。從如上我們可以得知，證明三角形全等至少需要三個(gè)或三個(gè)以上的條件，才可證明得出其結(jié)論。那

5、么，在已知三個(gè)條件的情況下，究竟已知哪一些條件可以證明三角形全等呢？假設(shè)已知兩三角形對(duì)應(yīng)邊相等，由三角形的穩(wěn)定性可以得知，已知三邊可以確定一個(gè)三角形形狀，由邊可確定大小，那么三個(gè)對(duì)應(yīng)角也必然相等。由三邊三角相等，我們可以得知，三角形全等。那么我們可以得到一個(gè)定理：已知兩三角形三個(gè)對(duì)應(yīng)邊相等，則三角形全等。用字母簡(jiǎn)寫(xiě)作SSS，讀作邊邊邊假設(shè)已知兩三角形對(duì)應(yīng)角相等，由于邊長(zhǎng)可以隨意變換，則三角形不等。假設(shè)已知兩三角形兩邊與其夾角相等，由穩(wěn)定性可知，夾角的對(duì)應(yīng)邊也必然相等，由全等三角形SSS定理，可知，這兩個(gè)三角形全等。那么我們又可得一個(gè)定理：已知兩三角形兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊相等，其夾角相等，則三角形全等。用

6、字母簡(jiǎn)寫(xiě)作SAS，讀作邊角邊假設(shè)已知兩三角形兩角一邊相等，那么我們可以由三角形內(nèi)角和180°求出第三個(gè)角的角度，由三個(gè)角，我們可以確定三角形的形狀，由這個(gè)邊，可得知三角形的大小。那么兩三角形大小，形狀相等，其他兩邊必然相等，則兩三角形全等。那么我們得到的定理為：已知兩三角形兩個(gè)對(duì)應(yīng)角和一個(gè)任意邊，則三角形全等，用字母簡(jiǎn)寫(xiě)作ASA或AAS，讀作角邊角與角角邊，其中角邊角是在此邊是兩角的夾邊時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)情況?，F(xiàn)在我們只剩下邊邊角沒(méi)有證明了！那么邊邊角符合三角形全等的條件嗎？我們發(fā)現(xiàn)已知邊邊角的三角形其角的對(duì)邊不具有穩(wěn)定性，這會(huì)影響到證明三角形全等嗎？如圖2、3、4、5，我們發(fā)現(xiàn)，在圖2中，已知

7、兩邊非夾角，會(huì)有兩解出現(xiàn)；在圖3中，沒(méi)有解；在圖4中，有1解；在圖5中，有1解。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？                                       圖2  

8、0;                              圖3                    &

9、#160;             圖4                                  圖5我們發(fā)現(xiàn)，其角的對(duì)邊由于沒(méi)有

10、穩(wěn)定性，可旋轉(zhuǎn)一周，圓與直線相交有兩個(gè)交點(diǎn)，而這兩個(gè)交點(diǎn)恰好在已知角頂點(diǎn)處的同一方向時(shí)會(huì)出現(xiàn)2解，當(dāng)異向時(shí)或1交點(diǎn)與頂點(diǎn)相交時(shí)有1解，當(dāng)圓和直線沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)無(wú)解；當(dāng)有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即形成全等三角形的定理HL，有唯一解。那么我們假設(shè)此角為，此角已知的鄰邊為a，此角的對(duì)邊為b，可知，當(dāng)ba時(shí)，三角形有唯一解，則可證明全等。當(dāng)90°時(shí)，由大邊對(duì)大角定理，也可得ba則已知兩邊一非夾角時(shí)，對(duì)邊大于已知鄰邊，可證明全等；此角角度90°，可證明全等。其余情況不能證明全等。上面我們總結(jié)了當(dāng)已知三個(gè)條件時(shí)可證明兩三角形全等的條件，其中都與角和邊有關(guān)。當(dāng)已知三角形四個(gè)條件時(shí)，三角形必然全等，所以在

11、題目中一般只會(huì)給出條件可以經(jīng)過(guò)推理找出三個(gè)三角形全等需要具備的條件。如果我們討論的范圍擴(kuò)大，變?yōu)橐话銉扇切螌?duì)應(yīng)邊，角，面積，周長(zhǎng)之間相等對(duì)其證明全等的關(guān)系，那么又需要哪些條件呢？經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，利用三角形性質(zhì)，各種定理，我們可以得出以下的定理（具體證明詳看困難型版本）已知三角形面積，一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)，一組對(duì)應(yīng)角角度相等，兩三角形全等已知三角形面積，兩組對(duì)應(yīng)角角度相等，兩三角形全等已知三角形面積，周長(zhǎng)，一組對(duì)應(yīng)邊邊長(zhǎng)相等，兩三角形全等已知三角形周長(zhǎng)，兩組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等，兩三角形全等已知三角形周長(zhǎng)，一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)，一組非已知對(duì)應(yīng)角角度相等，兩三角形全等已知三角形周長(zhǎng)，兩組對(duì)應(yīng)角角度相等，兩三角形全等。由這些定

12、理，我們就可以由題目的已知進(jìn)行證明三角形全等了。例1：如圖6，ABCD為箏形（對(duì)角線垂直，有兩組或兩組以上鄰邊相等），現(xiàn)在以AB為半徑作一圓，圓心為A，以AB,AD,BC,CD為邊長(zhǎng)向外分別作正方形ABEF，正方形ADGH，正方形BCIJ，正方形CDKL，連接IF,HK,IE,GK。求證：IFEGKH。E,B,D,G四點(diǎn)共圓。                      

13、0;      圖6證明：ABCD為箏形AB=AD,BC=CD,ABC=ADCABEF,ADGH,BCIJ,CDKL都為正方形，邊長(zhǎng)分別為AB,AD,BC,CDFBI=360°-90°-90°-ABCHDK=360°-90°-90°-ADCAE=EF=BF=AB=AD=AG=GH=DHBC=BI=IJ=CJ=CD=CL=DK=KLFBI=HDK，BF=DH，BI=DKBFIDHKIFB=DHK，IF=HKIFE=360°-90°-IFB，GHK=360°-90°-DHKIFE=GHKEF=GHIFEGKHEA=AB=AD=AGE,B,D,G四點(diǎn)共圓在證明全等三角形時(shí)，可以用我們學(xué)過(guò)的一些定理，例如同位角相等，兩直線平行，對(duì)頂角相等等等。題目中一般不會(huì)直接完全給出可證明三角形全等的條件，這時(shí)我們就需要用到這些定理，抓住等量關(guān)系進(jìn)行證明。課后習(xí)題：（第一個(gè)作對(duì)3花，余下作對(duì)2花）如圖7，ABCD為菱形，2AE=BE,2BG=CG,2CH=DH,2FD=AF,CJ=AI，求證：四