圓錐曲線的定點(diǎn)、定值

1、9.11：圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題一、高考目標(biāo) 掌握圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題的解題思路二、重點(diǎn)難點(diǎn)：圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題 第一課時三、知識梳理（一）定點(diǎn)問題1.特取法：取特殊數(shù)值或特殊位置探求出定點(diǎn)，適合做小題；2.分離參數(shù)法求出含參數(shù)的曲線方程；消去多余的參數(shù)，保留一個（或兩個）參數(shù)；分離參數(shù)后令參數(shù)的系數(shù)為0，解方程組求出定點(diǎn)。（二）定值問題1.求解方法（1）特取法：取特殊數(shù)值或特殊位置探求出定值，適合做小題；（2）方程思想：利用動點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的曲線方程、已知條件列出若干方程，再消去相關(guān)量，得到待求量的關(guān)系或值。2.常用結(jié)論（1）過橢圓 (a0, b0) 雙曲線上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜

2、角互補(bǔ)的直線交橢圓雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且;（2）已知橢圓（ab0）雙曲線,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓雙曲線上兩動點(diǎn)，且.;|OP|2+|OQ|2的最大值為; 的最小值是.（3）AB是橢圓雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，四、題型講解 1.定點(diǎn)問題（1）分離參數(shù)法：將動曲線用含參的方程表示，再分離參數(shù)且令其系數(shù)為零，得到方程組，解出定點(diǎn)的坐標(biāo)。例1.在雙曲線的一支上有不同的三點(diǎn),它們與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列求證: (1)是定值;(2)線段的垂直平分線過定點(diǎn).證明: (1)設(shè)三點(diǎn)在雙曲線的右支上,離心率,由得:為定值;(2)在雙曲線上, ,(1)-(2)得:,即,的垂直

3、平分線的方程為,故的垂直平分線過定點(diǎn).例2.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，滿足OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；(2)直線AB經(jīng)過一個定點(diǎn)(3)作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程2.解：(1)設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2), 則y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直線AB的斜率k=, 直線AB的方程為yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直線

4、AB過定點(diǎn)C(2p,0)(3)解法1:設(shè)M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故兩直線的斜率之積為1, 即·= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x¹0)解法2: 由OMAB知點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)和點(diǎn)(2p,0)為直徑的圓(除去原點(diǎn)) 立即可求出。變式訓(xùn)練一：1.已知動直線，求證：點(diǎn)P(-2,2)到該動直線的距離。1.證明：把直線方程化為：，令，解得：x=2,y=-2，即動直線過定點(diǎn)M（2，-2），連PM，則點(diǎn)P(-2,2)到該動直線的距離。2已知拋物線，焦點(diǎn)為，定點(diǎn)，動點(diǎn)是拋物線上的三個點(diǎn)，且滿足試問所在的直線是否過定點(diǎn)，若是

5、，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則說明理由解：設(shè)，則,因為，所以，因為，所以的方程：，由化簡即得：，令則，所以直線AB過定點(diǎn)（1，-4）。 第二課時（2）觀察特取法：利用條件，經(jīng)過觀察分析，只要滿足條件的x,y的值，就是定點(diǎn)的坐標(biāo)例3.已知橢圓方程，過點(diǎn)的動直線l交該橢圓于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，若存在求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：假設(shè)滿足條件的T存在。當(dāng)直線l與X軸平行時，以AB為直徑的圓方程為；當(dāng)直線l與Y軸重合時，以AB為直徑的圓方程為，以上兩圓方程聯(lián)立解得即是滿足條件的必要條件。下面證明其充分性：若存在，對過S點(diǎn)不與坐標(biāo)軸平行的

6、直線設(shè)為，把它代入橢圓方程：，得到：，設(shè)，則有，因為,=，所以,即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T。其定點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，1）。變式訓(xùn)練二：已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。解法一：（1）設(shè)橢圓的方程為。，。橢圓的方程為。（2）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為若，由對稱性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。以下證明對于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實上，由得即，記，則。設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由

7、得，即與重合，這說明，當(dāng)變化時，點(diǎn)恒在定直線上。13分解法二：（2）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實上，由得即，記，則。的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說明，當(dāng)變化時，點(diǎn)恒在定直線上。（3）巧用定義法：結(jié)合圓錐曲線的定義，在運(yùn)動變化中尋求符合定義的不變量。例4.已知P是雙曲線上不同于頂點(diǎn)的右支上任意一點(diǎn)，是雙曲線的左右兩個焦點(diǎn)，試問：三角形的內(nèi)心I是否在一定直線上，若存在，求出直線方程；若不存在，請說明

8、理由。解：設(shè)三角形的內(nèi)切圓與X軸的切點(diǎn)為M，則由雙曲線的定義及切線長定理可知：，所以M也在雙曲線上，即M為雙曲線右頂點(diǎn)，又X軸，所以三角形的內(nèi)心I在一定直線上。變式訓(xùn)練三：以拋物線上任意一點(diǎn)P為圓心，作與Y軸相切的圓，則這些動圓必經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為 解：不難求得Y軸是拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可知，這些圓必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，可以求得F(4,-1)，所以這些動圓必經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,-1)。 第三課時2.定值問題（1）巧“特”結(jié)論：利用特殊值探求結(jié)論，再驗證其充分性；例5.已知橢圓，過左焦點(diǎn)作不垂直與X軸的弦交于橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交X軸于M點(diǎn)，則 的值為 A B. C. D.

9、 解：本題為選擇題，即知此比值為定值，故可用特殊值法。設(shè)AB與X軸重合時，M就是原點(diǎn)，所以AB長為6，MF的長2，故=，答案為B。變式訓(xùn)練四：已知橢圓上任意一點(diǎn)M,是橢圓短軸的兩個端點(diǎn)，作直線分別交X軸于P,Q兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出定值。分析：當(dāng)動點(diǎn)M在長軸的端點(diǎn)時，則P，Q重合于長軸的端點(diǎn)，因此=。再作一般證明即可得為定值為。（2）方程思想：利用動點(diǎn)在曲線上及已知條件，列出方程組，然后消參得到所求的定值。例6.橢圓的一條過焦點(diǎn)的弦被分成兩條線段的長為,求證：為定值.證明:不妨設(shè)為右焦點(diǎn),則分的比是,由定比分點(diǎn)公式得:由焦半徑公式,(2)(3)代入(1)得.變式訓(xùn)練五：已知A（1，1）是橢

10、圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，且滿足.(1)求橢圓的方程（2）設(shè)點(diǎn)B、C是橢圓上的兩個動點(diǎn)，且直線AB、AC的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線BC的斜率是否為定值？并說明理由。解：（1）因為a=2,把A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得：，所以橢圓方程為：。（2）由條件可以得到直線AB、AC的斜率存在且不為0，故設(shè)直線AB的方程為，代入橢圓方程得：，因為，所以，又設(shè)直線BC的方程為，同理得到： ,， 因此得到：，把代入得，所以直線BC的斜率為定值。（3）數(shù)形結(jié)合：有些求定值問題往往可以與平面幾何的一些性質(zhì)相結(jié)合，可以達(dá)到事半功倍的效果例7已知AB是雙曲線過焦點(diǎn)的任意一條弦，以AB為直徑的圓被與相應(yīng)的準(zhǔn)線截得圓弧,求證

11、：的度數(shù)為定值。解：設(shè)AB的中點(diǎn)為P，P、A、B到相應(yīng)的準(zhǔn)線距離分別為，則，（r為以AB為直徑的圓的半徑），所以即的度數(shù)為定值。變式訓(xùn)練六：已知圓，過原點(diǎn)O的動直線交圓于P、Q兩點(diǎn)，則的值為 解：設(shè)OB切于圓于點(diǎn)B,則=.9.11：圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題一、高考目標(biāo) 掌握圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題的解題思路二、重點(diǎn)難點(diǎn)：圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題 第一課時三、知識要點(diǎn)（一）定點(diǎn)問題1.特取法：取特殊數(shù)值或特殊位置探求出定點(diǎn)，適合做小題；2.分離參數(shù)法求出含參數(shù)的曲線方程；消去多余的參數(shù)，保留一個（或兩個）參數(shù)；分離參數(shù)后令參數(shù)的系數(shù)為0，解方程組求出定點(diǎn)。（二）定值問題1.求解方法（1）特取法

12、：取特殊數(shù)值或特殊位置探求出定值，適合做小題；（2）方程思想：利用動點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的曲線方程、已知條件列出若干方程，再消去相關(guān)量，得到待求量的關(guān)系或值。2.常用結(jié)論（1）過橢圓 (a0, b0) 雙曲線上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且;（2）已知橢圓（ab0）雙曲線,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓雙曲線上兩動點(diǎn)，且.;|OP|2+|OQ|2的最大值為; 的最小值是.（3）AB是橢圓雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，四、題型講解 1.定點(diǎn)問題（1）分離參數(shù)法：將動曲線用含參的方程表示，再分離參數(shù)且令其系數(shù)為零，得到方程組，解出定點(diǎn)的坐標(biāo)。例1

13、.在雙曲線的一支上有不同的三點(diǎn),它們與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列。求證: (1)是定值;(2)線段的垂直平分線過定點(diǎn).例2.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，滿足OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；(2)直線AB經(jīng)過一個定點(diǎn)(3)作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程變式訓(xùn)練一：1.已知動直線，求證：點(diǎn)P(-2,2)到該動直線的距離。2已知拋物線，焦點(diǎn)為，定點(diǎn)，動點(diǎn)是拋物線上的三個點(diǎn)，且滿足試問所在的直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則說明理由 第二課時（2）觀察特取法：利用條件，經(jīng)過觀察分析，只要滿足條件的x,y的值，就是定點(diǎn)的坐標(biāo)例3

14、.已知橢圓方程，過點(diǎn)的動直線l交該橢圓于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，若存在求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。變式訓(xùn)練二：已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。（3）巧用定義法：結(jié)合圓錐曲線的定義，在運(yùn)動變化中尋求符合定義的不變量。例4.已知P是雙曲線上不同于頂點(diǎn)的右支上任意一點(diǎn)，是雙曲線的左右兩個焦點(diǎn)，試問：三角形的內(nèi)心I是否在一定直線上，若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由。變式訓(xùn)練三：以拋物線上任意一點(diǎn)P為圓心，作與Y軸相切的圓，則這些動圓必經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為 第三課時2.定值問題（1）巧“特”結(jié)論：利用特殊值探求結(jié)論，再驗證其充分性；例5.已知橢圓，過左焦點(diǎn)作不垂直與X軸的弦交于橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交X軸于M點(diǎn)，則 的值為（） A B. C. D. 變式訓(xùn)練四：已知橢圓上任意一點(diǎn)M,是橢圓短軸的兩個端點(diǎn)，作直線分別交X軸于P,Q兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出定值。（2）方程思想：利用動點(diǎn)在曲線上及已知條件，列出方程組，然后消參得到所求的定值。例6.橢圓的一條過焦點(diǎn)的弦被分成兩條線段的長