第三章 線性算子與線性泛函

1、編輯課件第三章 線性算子與線性泛函 一致有界原理（共鳴定理）及其應(yīng)用 Hahn-Banach定理，非零有界線性算子存在性定理 共軛空間與共軛算子 開映射、逆算子及閉圖形定理 算子譜理論簡(jiǎn)介編輯課件 定義：設(shè)A是距離空間X的子集，若A在X中的任意一個(gè)非空開集中均不稠密（A沒有內(nèi)點(diǎn)），則稱A是稀疏(疏朗)集；稱X是第一綱的，若X可表示成至多可數(shù)的稀疏集的并；不是第一綱的X稱為是第二綱的。 例子：X=有理數(shù)集，定義距離d(x,y)=|x-y|,則X是第一綱的，每個(gè)單點(diǎn)集是X中的疏朗集。 定理1(Baire綱定理)：完備的距離空間是第二綱的。 推論1:歐式空間、Banach空間、Hilbert空間、有

2、界線性算子空間L(X,Y)都是第二綱的。第一節(jié) 共鳴定理及其應(yīng)用編輯課件,XA |B X YxXA x|XA |B X Y 本節(jié)主要涉及有界線性算子的收斂性和一致有界問題。由我們以前的知識(shí)，一般來說，收斂序列都是有界的。： 設(shè) 是賦范線性空間,有界線性算子族,如果滿足條件:,是 中的有界集.問是否為問題中的有界集?第一節(jié) 共鳴定理及其應(yīng)用編輯課件Banach(, )sup|,.sup|.BanachXYTB X YT xxXTf 1927年,波蘭數(shù)學(xué)家（巴拿赫）和Steinhaus(斯帝豪斯)給出的共鳴定理(一致有界定理)回答了這個(gè)問題.這個(gè)定理也是Banach空間理論的基石之一.定理1.(B

3、anach-Steinhaus定理)：設(shè) 是空間，是賦范線性空間，算子族 ;滿足:那么推論1：設(shè) ,nnnXfXxf是Banach空間 上的一列有界線性泛函,如果在 的每點(diǎn) 處有界 那么一致有界.編輯課件編輯課件編輯課件.,(, )Banach (, )|G,( ) (, ),| lim|.nnnnnX YB X YXYTB X YTXx T xTTB X YTT定理2設(shè)都是Banach空間，則在強(qiáng)收斂意義下是 完備的。定理3：設(shè) 是賦范線性空間， 是空間，滿足條件：(1)是有界數(shù)列；(2)在 中的某一稠密子集 中的每個(gè)元素都收斂.則強(qiáng)收斂于某一個(gè)算子且編輯課件共鳴定理的應(yīng)用 1.機(jī)械求積公式

4、的收斂性 2. Lagrange插值公式的發(fā)散性定理：差值多項(xiàng)式作為連續(xù)函數(shù)的近似表達(dá)時(shí)，插值點(diǎn)的無限增多不能更好的逼近插值函數(shù)。 3. Fourier級(jí)數(shù)的發(fā)散性問題：存在連續(xù)的周期函數(shù)，其Fourier級(jí)數(shù)在給定點(diǎn)發(fā)散。編輯課件01001.( )( )()0? , ( )( ):( )bkknak nbkkak nxx t dtA x tatttbnxC a bA x tx t dtni 機(jī)械求積公式的收斂性在函數(shù) (t)在a,b上積分近似計(jì)算中，我們通?？紤]形如：（3）需要討論的是什么條件下，當(dāng)時(shí)，上式的誤差趨于現(xiàn)在可證公式(3)對(duì)每個(gè)連續(xù)函數(shù)都收斂，即 （）（3）當(dāng)且僅當(dāng)以下兩個(gè)條件成

5、立存在常00|;( )kk nMAMii 數(shù)，使得公式（3）對(duì)每個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)都是收斂的。編輯課件Fourier級(jí)數(shù)的發(fā)散性問題法國(guó)科學(xué)家J.-B.-J.傅里葉由于當(dāng)時(shí)工業(yè)上處理金屬的需要，從事熱流動(dòng)的研究。他在題為熱的解析理論一文中，發(fā)展了熱流動(dòng)方程，并指出了任意周期函數(shù)都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴(yán)格的論證，但對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理、工程技術(shù)卻都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，成為傅里葉分析的起源。 在積分變換中，F(xiàn)-變換是大家熟悉的，為讓 符號(hào)與積分的交換，應(yīng)當(dāng)對(duì)F-級(jí)數(shù)(1)的收斂性加以必要的限制,如一致收斂性。因?yàn)榭赡艽嬖诓灰恢率諗康娜羌?jí)數(shù)，而它確實(shí)表示一個(gè)函數(shù) 。 大量的事實(shí)讓

6、人們誤以為：“的傅里葉級(jí)數(shù)一定能收斂于 自身” 編輯課件.2R2| max| ( )|;,()( )0,()(0)R1sin(1/2) |2sin( /2)nnnXxx ttXBanachxXS x ttS xXnsSdss 3 存在以為周期的連續(xù)函數(shù)，其F-級(jí)數(shù)在給定點(diǎn)發(fā)散。證明：用 表示 上以為周期的連續(xù)函數(shù)全體，賦予范數(shù)那么 是一空間。對(duì)每個(gè)其F-級(jí)數(shù)的前n+1項(xiàng)的部分和記為。令即點(diǎn)賦值泛函是的有界線性泛函，計(jì)算其范數(shù)為2120001sin|().sup|.,lim()(0)( )F-0nnnnudunSuxXS xx tt 因此從而由共鳴定理，必有使得不存在；這意味著的級(jí)數(shù)在點(diǎn)是發(fā)散的

7、。編輯課件第二節(jié) Hahn-Banach定理 n維賦范線性空間上的線性泛函與n元數(shù)組一一對(duì)應(yīng)，有著具體的形式。 有限維賦范線性空間上的線性泛函和線性算子都是連續(xù)的，那無窮維的情形呢，是否有非零的連續(xù)線性泛函，如果有，是否足夠多？ 解決該問題的基本的想法之一：將我們熟悉的有限維上的泛函進(jìn)行推廣、延拓。 這節(jié)是考慮的實(shí)賦范線性空間，對(duì)復(fù)的情形，類似結(jié)論都是成立的，不在贅述編輯課件 設(shè)X是實(shí)線性空間，稱X上泛函p是次可加正齊次的，如果滿足 例如：求元素的范數(shù)就是這種泛函 定理定理1.(Hahn-Banach)：設(shè)p是實(shí)線性空間X上的次可加正齊次泛函，f是X的子空間M上的實(shí)線性泛函且 那么存在X上的實(shí)

8、線性泛函F滿足： (1) ()( )( );(2) ()( ),(0, ,).p xyp xp yp axap xax yX( )( )()f mp m mM(1) ( )( )();(2) ( )( )().F mf m mMF xp x xX編輯課件 個(gè)延拓.恰當(dāng)選擇被控制的那一的線性延拓;在擴(kuò)大的定義域上作的定義域;擴(kuò)大 1ff 1111111 ,fMXMXxX MxMXSpan x ,MXXXxy| yM,R1 擴(kuò)大 的定義域 如果如果證明已經(jīng)完成 ,必存在.易知 與線性無關(guān).令,那么,且 .編輯課件 1111111 , .MffxyfycxyXfXf |f2 在擴(kuò)大的定義域上作 的線

9、性延拓令 易證 是上的線性泛函,且. 11111111,fXfxyfycxyXcfxyp xyyM R 3 恰當(dāng)選擇被控制的延拓 在上的線性延拓具有形式: 令. 選擇恰當(dāng)?shù)?使得 ,.編輯課件 111111111 supinfcsupyMyMyMfyp yyMy yM yyMfyfyfyyp yyp yxy - xp yxp y - xp y - xfyp yxfyp y - xfyp yxfyp y - xfy由,我們有,并且.由此可得.這表明.取滿足下面的不等式的 即可1infyMcp yxfy.編輯課件 .MMff |ff xp x ,xXg|fg|gD gg xp x ,xD gM2

10、做出 滿足以下條件的全部延拓; 記這些延拓的全體為 . 那么我們有是上的線性泛函,1212 ,.Zorn,.ggD gD gf f 3 在 上賦序: 則 是一個(gè)半序集由引理知有最大元即為所求編輯課件 其證明：先對(duì)X僅比M多一維處理，再根據(jù)Zorn引理說明存在性。注：F沒有唯一性。 定理2：設(shè)X是實(shí)賦范線性空間，如果X多于一點(diǎn)，則X上必存在非零的連續(xù)線性泛函。 定理3（Banach保范延拓定理）：實(shí)賦范線性空間X的子空間M上的有界線性泛函f可保范延拓為X上的有界線性泛函F。 推論1：設(shè)M是X的真閉子空間， 則存在X上的有界線性泛函F滿足：1xXM111,1|,( )0,inf|:xxFF xxM

11、xmmM編輯課件| | 1|( )| | |,|3|sup|( )|;.( ) | |,1:(1). ( )( ),;(2). ( )( ),.(1)| |(2)| |MMmMMMfMf xfxff mmMp xfxpXXFF xf x xMF xp x xXFfFf的證明：由于 是的有界線性泛函，那么這里令則 是 上的次可加正齊次泛函，由定理 ，存在 上的連續(xù)線性泛函 滿足由知，由定，因此理| |MFf。編輯課件 推論2：設(shè) ，則存在X上的有界線性泛函滿足 注：這表明只要X多有一點(diǎn)，則X上必存在非零的連續(xù)線性泛函。 推論3：設(shè) ，若對(duì)X上任意連續(xù)線性泛函f都有 練習(xí)：1.設(shè)X是實(shí)賦范線性空間

12、， 。 2.設(shè)X是賦范線性空間，如果X*是可分的，那么X也是可分的。11xXx且11( ) | 1F xxF且。0 xX00()0,f xx則0 xX*00| 1,|()|fXff xx若對(duì)任意的滿足都有。證明：。編輯課件第三節(jié) 共軛空間與共軛算子 若X與（X*）*（X的二次對(duì)偶空間）等距同構(gòu)，則稱X是自反的。 例子：Lp( p1)是自反的，L1不是自反的 Ca,b不是自反的（參見哈爾莫斯的 測(cè)度論中的相關(guān)結(jié)論）。 通過嵌入映射，可視X是X*的子空間。 若X是自反的，那么X*也是自反的。編輯課件 定理1：設(shè)X是賦范線性空間，如果X*是可分的，則X是可分的 該定理啟發(fā)我們可以用X*的性質(zhì)來研究X

13、的性質(zhì)，該方向發(fā)展成為局 部凸線性空間理論中的對(duì)偶理論 定義1：設(shè)X,Y是賦范線性空間，B(X,Y)中元素T,Tn滿足：對(duì)任意X中x和Y*中f，數(shù)列f(Tnx)收斂于f(Tx),則稱Tn 弱收斂于T。 注：從定義可看出，算子列的一致收斂可導(dǎo)出強(qiáng)收斂，強(qiáng)收斂可導(dǎo)出弱收斂，反之都是不成立的。 例如后項(xiàng)移位算子S* 編輯課件共軛算子 定義2：設(shè)X、Y是賦范線性空間，T是從X到Y(jié)上的有界線性算子，對(duì)Y*中點(diǎn)f，式f*(x)=f(T(x),定義了X上的一個(gè)有界線性泛函，該對(duì)應(yīng)關(guān)系T*（f）=f*是Y*到X*的算子，稱T*為T的共軛算子。例子：對(duì)實(shí)矩陣A，A*恰好就是A的轉(zhuǎn)置。（P107 3.18） 對(duì)復(fù)

14、矩陣B，B*是B轉(zhuǎn)置后，每個(gè)元素再取復(fù)共軛，即B*是B的Hermit矩陣。編輯課件*1212*11 * *1.(, ),(,),| |2.(),();3.();4.)() ;5.(),XXTT| |.|1TB X YTB YXTTTTTTTTSTT STTTTTTTT共軛算子具有下列性質(zhì)則若 是可逆的，則(記的共軛算子為若視 是的子空間，則可視為 的延拓，且命題。共軛運(yùn)算的性質(zhì)編輯課件 在許多實(shí)際問題中，我們常常用到通過已知條件求未知元的問題，例如解代數(shù)方程，微（積）分方程等等 將之抽象，統(tǒng)一起來研究，就是一般算子方程的求解問題，即考慮相應(yīng)算子的逆算子的存在性問題 如果還要求“解的唯一性，和對(duì)

15、依賴的初始條件是連續(xù)的”，那該問題便歸結(jié)為“尋求連續(xù)的逆算子的存在問題” 這就是我們本節(jié)要介紹的與之密切相關(guān)的一些定理。第五節(jié) 開映射、逆算子及閉圖形定理編輯課件 賦范線性空間上的有界線性算子T是雙射時(shí)，其逆映射是存在的，線性的，是否連續(xù)？與函數(shù)情形是不同的 例：求積分、微分是互逆的過程，積分算子的有界性并保證不了微分算子是無界的線性算子。 定義5.1：設(shè)T是距離空間X到Y(jié)間的映射，若T將開集映為開集，則稱T是開映射。 例：同胚映射T是雙射時(shí)，T是開映射當(dāng)且僅當(dāng)其逆映射是連續(xù)的編輯課件開映射定理 定理1（Banach開映射定理）：設(shè)X,Y是Banach空間，B(X,Y)中元T是滿射，則T是開映

16、射。 證明用到Baire定理，這是本質(zhì)的。 定理2（Banach逆算子定理）：設(shè)X,Y是Banach空間，B(X,Y)中元T是雙射，則T是可逆的。編輯課件11000(0, ),(0, ).BanachBaire(0, )(,)(1.)0,0,(0, )(0,)( .)r0,(0, )(0,/ 2)kkUVXYXUkYTXTUkYYkTUkV y rTUVTUrVr 開映：下面我們總用和 分別表示 和中的球。因?yàn)樗杂捎?是空間，由定理， 是第二綱的，存在 使得在某個(gè)球中稠密。我們將分下面三步予以證明:對(duì)存在使得在射定理的證明中稠密;2 對(duì)任意恒成.(3.)( )GXT GY立設(shè) 是 中任一開集

17、，是 中開集。編輯課件( )(1)11(1)( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )0(0)(0)(0)( )0,1(1,2, )( )0,1,kkkkkixtP t xtPt x tP t x ty txxxP tCiky tC：說明常微分方程解的連續(xù)依賴性。例3. 給定k階線性常微分方程及初逆算值定理其中。根據(jù)常微分方程理論，對(duì)每個(gè)上述微分方程均存在唯一這里解的連續(xù)子定理的依賴性解應(yīng)用。是指當(dāng)左0( )(0)010( )0,1,| max| ( )|;0,1,( )0,1 |max|( )|;0,( )1,( )( ).kkii ky tCyx ttx tCxxttxtxy t

18、t 邊做微小變化時(shí)，相應(yīng)解也有著證明：對(duì)，微小的變化。編輯課件0()(0)00111212111122111112:0,10,1,()( )( )( ),( )1,( )( ).| | (1|),( ),( )( ),( ),|kk iii kiT CCTx tP t xtP txtx tTxPTTy ty tx tx tTxyTxyxTy xTyxx 定義算子其中則是有界的雙射。由逆算子定理，也是有界線性算子。設(shè)對(duì)應(yīng)的解是即。故。于是1111212| | |( )( )TyTyTyyy tx t當(dāng)做。這說微小變化時(shí)，相應(yīng)解也有著微小明：的變化。編輯課件111111,( , ),( ,),|(

19、 , )| |( , )( ,)(,), ( , )(,).(,|X YXYx yx yXYFx yxyx yx yxx yyx yxyXYXYXY判定一個(gè)線性算子是否有界，有時(shí)候是十分困難的。下面的將講的閉圖形（像）定理是一個(gè)有效的方法。：設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間，在上定義線性運(yùn)算:對(duì)令則是一個(gè)賦范線性空間，稱為 與 的乘積賦范線性空間，記為定義2|),( )( ,);3( )XYX YTDXYG Tx Tx xDTG TXYTT或。：設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間, 是到 的算子，稱為映射 的圖像。如果是中的閉集，則稱 是閉算定義子，也稱算子 具有閉圖像。編輯課件000001,limlim,.,Bana

20、ch , , , ,()( )( )3nnnnnX YTDXYTxxxTxyxDyTxX YTDXYTXYC a b DC a bTx tx t：設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間, 是到 的算子，則 是閉算子的充要條件是對(duì)任意點(diǎn)列，若則且:(1)定義域是閉集的連續(xù)線性算子是閉算子。 (2)當(dāng)是空間, 是到 的線性算子，而且是閉算子是， 不一定是連續(xù)的。 令定理注0000,.,.nnnxDTxDxx TxyyTxTTT 由高等數(shù)學(xué)知識(shí)，可知 是線性算子,且,若則因此 是閉算子。但我們知道算子 是無界的，即 不是連續(xù)的。編輯課件,X YTDXYDXTX YTXYTT(閉圖像定理)設(shè)是兩個(gè)Banach空間, 是到 的線性算子，并且是閉算子。如果 是 的閉線性子空間，則 是連續(xù)的。：設(shè)是兩個(gè)Banach空間, 是 到 的線性算子，則 是連續(xù)的充要條件是 是閉算子。閉圖像定理在偏微分方程理論有很多應(yīng)用，因?yàn)閷?duì)于微分算子，要直接驗(yàn)證它的連續(xù)性往往比較困難，但要驗(yàn)證它定理4:推論5練是閉算子卻比較容易。：利用閉圖像定理證明習(xí)逆算子定理。編輯課件第六節(jié) 算子譜理論簡(jiǎn)介 在線性代數(shù)中學(xué)過矩陣的特