2021版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究學(xué)案北師大版必修1

1、4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解y = ax2與y= a(x+ h)2+ k( a2解析依題意可設(shè)f (x) = a(x-2) 1(a*0),又其圖像過點(diǎn)(0,1),4a 1 = 1 ,二 a= .1 2 f(x) = 2( x - 2) - 1.1 2 f (x)=尹2x + 1.1 2答案 f (x)=於-2x+ 1知識點(diǎn)二二次函數(shù)的圖像變換1. 首先將二次函數(shù)的解析式整理成頂點(diǎn)式y(tǒng) = a(x + h)2 + k(a* 0)，再由二次函數(shù)y =x2的圖像經(jīng)過以下的變換得到：(1) 將函數(shù)y= x2的圖像各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y= ax20)及y = ax2

2、 + bx+ c的圖像之間的關(guān)系(重點(diǎn))；2.理解并掌握二次函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱軸 (重點(diǎn))；3.能利用配方法 或圖像法掌握二次函數(shù)的重要性質(zhì)(重、難點(diǎn))；4.會求二次函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值(重、難點(diǎn)).預(yù)習(xí)教材P41 - 47完成以下問題：知識點(diǎn)一二次函數(shù)的定義2形如y = ax + bx+ c(a*0)的函數(shù)叫作二次函數(shù)，其中 a、b、c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、 一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)解析式 y= ax2 + bx+ c(a* 0)稱為二次函數(shù)的一般式，二次函數(shù)的解 析式還有其他兩種形式；頂點(diǎn)式：y = a(x+ h)2+ k(a*0)；零點(diǎn)式：y = a(x-xi)( x

3、-X2)( a*0).說明：所有二次函數(shù)的解析式均有一般式和頂點(diǎn)式，并不是所有二次函數(shù)的解析式均有零點(diǎn)式，只有圖像與 x軸有交點(diǎn)的二次函數(shù)才有零點(diǎn)式.【預(yù)習(xí)評價】1. 函數(shù)y= x2 + 2x-2的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .解析 y = x + 2x 2= (x + 1)2 3,故所求頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一 1, 3).答案(1,- 3)2 .二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)(0,1)，對稱軸為 x = 2，最小值為一1，那么它的解析式是的圖像.(2) 將函數(shù)y = ax2的圖像向左(h>0)或向右(h<0)平移| h|個單位得到y(tǒng) = a(x + h)2的圖 像.2 一 2(3) 將函數(shù)y = a(x +

4、h)的圖像向上(k>0)或向下(k<0)平移| k|個單位得到 y= a(x + h) + k的圖像.2. 一般地，二次函數(shù) y = a(x+ h)2+ k(a 0), a_決定了二次函數(shù)圖像的開口大小和方向；h決定了二次函數(shù)圖像的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移，k決定了二次函數(shù)圖像的上下平移，而且“ k正上移，k負(fù)下移.【預(yù)習(xí)評價】2 2. 一 .1. y = x和y = 2(x+ 1) + 3的圖像之間有什么關(guān)系？提示 y = x2的圖像各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y= 2x2的圖像；再把y = 2x2的圖像向左平移1個單位，再上移 3個單位，得y = 2(x + 1)2

5、+ 3的圖像.2函數(shù)y= 3x2x + 2的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移 2個單位長度，所得 圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式是 .解析 函數(shù)y= 3x2 x + 2的圖像向左平移1個單位長度，得函數(shù)y = 3(x+ 1)2-(x+ 1) + 2的圖像，再向下平移 2個單位長度，得函數(shù) y = 3(x + 1)2 (x+ 1) + 2 2的圖像，即所 得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式是 y = 3x2 + 5x + 2.答案 y = 3x2 + 5x+ 2知識點(diǎn)三二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)a>0a<0圖像:/-I1/A .ifH定義域x R值域4ac b -km4a ，4ac b2，4a單調(diào)性在m,呂

6、上遞減，2ab在，+m上遞增2a在m, 2a上遞增，b在h，+m上遞減2a圖像特點(diǎn)2bb 4ac b對稱軸：x= 2a；頂點(diǎn)：2a，4a【預(yù)習(xí)評價】1. 函數(shù)y= 2x+ 1在1,2上的最大值是()A. 3B. 4D. 1C. 5解析 因?yàn)閥= 2X+ 1為增函數(shù)，所以y = 2X+ 1在1,2上遞增，所以ymax= 2X 2+ 1= 5.答案 C2. 函數(shù) f (x) = x2 4x + 3, x 1,4的最小值為 .解析 因?yàn)閒(x)在1,2上是減函數(shù)，在2,4上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值為f(2) =1.答案 1譚堂互動:題型創(chuàng)如竝棵題型一求二次函數(shù)的解析式【例1】二次函數(shù)f (x)

7、滿足f (2) = 1, f( 1) = 1，且f(x)的最大值為8,求二次函數(shù)的解析式.解 法一 利用二次函數(shù)的一般式.設(shè)f (x) = ax2 + bx + c(a0)，由題意得4a+ 2b+ c= 1,a b+ c = 1,4ac b24a=8,a= 4,解得b = 4,c = 7.故所求二次函數(shù)的解析式為f (x) = 4x2 + 4x + 7.法二利用二次函數(shù)的兩根式.由f (x) + 1= 0的兩根為X1= 2, X2= 1,故可設(shè) f (x) + 1= a(x 2)( x + 1)( a*0), 即 f (x) = ax2 ax2a 1(a*0).24a 2a+1 a又函數(shù)有最大

8、值8,所以一=&4a解得a= 4.故所求二次函數(shù)的解析式為f ( x) = 4x2 + 4x + 7.法三利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.2設(shè) f (x) = a(x+ m + n(a*0).12 f(2) = f( 1),拋物線的對稱軸為1即m=歹又 f(x)的最大值為1 f (x) = a x - f(2) = 1 , a 2-f 2f(2) = 2 4X 2+ c = c 4, f(1) = 1 4X 1 c= c 3, f(4)> f(1)> f(2).答案 A規(guī)律方法對稱軸是二次函數(shù)的一個重要性質(zhì)，一般地函數(shù)關(guān)于x = a對稱，有以下幾+ 8 = - 1,解得 a=- 4.

9、1 22f(x) =- 4 x § + 8= 4x + 4x+ 7.故所求二次函數(shù)的解析式為f (x) =- 4x2 + 4x + 7.規(guī)律方法求二次函數(shù)的解析式，應(yīng)根據(jù)條件的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用解析式的形式，選取最正確方案，利用待定系數(shù)法求解.2 .(1) 一般式：y = ax + bx+ c( a, b, c為常數(shù)，且 a*0).當(dāng)拋物線上任意三點(diǎn)時，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為一般式，然后列出三元一次方程組并求解.2(2) 頂點(diǎn)式：y = a(x+ h) + k(a, h, k 為常數(shù)，且 a*0).當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上另一點(diǎn)時，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式.(3) 兩根式：y =

10、 a(x- xi)( x X2)( a, xi, X2是常數(shù)，且 a*0).當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為兩根式.【訓(xùn)練1】二次函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸是直線x=- 1,并且經(jīng)過點(diǎn)(1,13)和(2,28)，求二次函數(shù)f(x)的解析式.解 設(shè) f (x) = a(x+ 1) + k(a*0),由題意得 f (1) = 13, f (2) = 28,4 a k k 13那么有 k , 解得a= 3, k = 1,9a+ k= 28,所以 f(x) = 3( x 1)2+ 1,即 f (x) = 3x2+ 6x+ 4.題型二二次函數(shù)的對稱性【例2 如果函數(shù)f (x)

11、 = x2+ bx + c關(guān)于x = 2對稱，那么()A. f (2)< f (1)< f(4)B. f(1)< f(2)< f (4)C. f (2)< f (4)< f(1)D. f(4)< f(2)< f (1)解析 法一 Tf (x) = x2+ bx c關(guān)于x= 2對稱，又拋物線開口方向向上， 由該二次函 數(shù)的特征可 知，自變 量離對稱軸越 遠(yuǎn)，函數(shù) 值越大，又4 2>|1 2|>2 2，故有 f(4)> f(1)>f(2).法二 / f (x) = x + bx c 關(guān)于 x = 2 對稱，2- b= 4,又

12、f(4) = 4 一4X 4+ c= c,種等價說法: f (a+ x) = f (a x) ? f(x)關(guān)于 x = a 對稱； f (x) = f (2 a x)? f (x)關(guān)于 x = a 對稱；(3) f (x) = f (nx)(其中n= 2a) ? f (x)關(guān)于 x= a對稱.【訓(xùn)練2】二次函數(shù)f(x) = x2+ ax對任意x R,總有f(1 x) = f (1 + x)，那么實(shí)數(shù)a解析 對任意x R,總有f (1 x) = f (1 + x),1 x + 1 + x 函數(shù)f (x)的對稱軸是x=2= 1 ,“ a 那么2= 1 , a= 2.答案 2題型三二次函數(shù)的單調(diào)性【

13、例3】函數(shù)y= x2+ bx+ c在區(qū)間(一g, 1)上單調(diào)遞減，那么 b的取值范圍是()A. b< 2B. b> 2C. b> 2D. b< 22bb解析/ f (x) = x + bx+ c的對稱軸為x= 2，由題意得一2?1，二bw 2.答案 A規(guī)律方法 二次函數(shù)的單調(diào)性取決于兩點(diǎn)：圖像的開口方向；對稱軸的位置.在解題時可借助圖像進(jìn)行分析.【訓(xùn)練3】函數(shù)f (x) = x2 + (a+ 1)x + 1在1,1上為單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a的取值范圍是.a+ 1a + 1解析 由題意得 一2 W 1，或一2 ?1,得a?l或aw 3.答案(一g, 3 U 1 , +)典

14、例遷移題型四閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值【例4】函數(shù)f (x) = x2 4x 4.假設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?,4，求函數(shù)的最值.解f (x) = (x 2)2 8開口向上，對稱軸為x = 2，所以當(dāng)x 3,4時，f(x)為增函數(shù), 最小值為f (3) = 7,最大值為f (4) = 4.【遷移1】(變換條件)典例中將定義域“ 3,4 改為“ 3,4 ，其他條件不變， 求f (x)的最值.解f(x) = (x 2)2 8在3,2上是減函數(shù)，在2,4上是增函數(shù)，所以最小值為f (2)=8.又因?yàn)閒 ( 3) = 17, f (4) = 4.所以最大值為17.【遷移2】(改變問法)典例中函數(shù)不變， 將問題變?yōu)椋?/p>

15、假設(shè)函數(shù)f(x) = x2 4x 4在(一8, 1上單調(diào)，求f(X)的最值.解 因?yàn)閒 (x)為開口向上的拋物線，對稱軸為x = 2,所以f (x)在(一8, 1上單調(diào)遞減.所以 f (x) min= f (1) = 12 4X 1 4= 7 , f(x)無最大值.綜上，f (x)的最小值為一7.【遷移3】(變換條件、改變問法)將本例變?yōu)椋汉瘮?shù)f(x)=2小x + 2x+ ax，假設(shè)對任意的x 1 ,+8), f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù) a的取值范圍.解 法一 f (x)>0對x 1 ,+8)恒成立，等價于x2 + 2x+ a>0對x 1 ,+8)恒成立.設(shè) y = x2

16、+ 2x + a, x 1 ,+8)，貝y y = (x + 1)2 + a 1 在1 ,+8)上是增函數(shù)，從而ymin = 3+ a.于是當(dāng)且僅當(dāng) ymin= 3+ a>0,即a> 3時，f (x)>0對x 1 ,+8)恒成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一3,+8 ).2 2法二 f (x)>0對x 1 ,+8)恒成立，等價于 x + 2x+ a>0對x恒成立，即a> x 2x對x?1恒成立.令口= x 2x = (x+ 1) 2 + 1,其在1 ,+8 )上是減函數(shù)，所以當(dāng) x= 1時，口 max=3.因此 a> 3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3,+8).

17、規(guī)律方法求二次函數(shù)f (x) = ax2 + bx+ c(a>0)在區(qū)間m n上的最值的類型bb(1) 假設(shè)對稱軸x = 丁在區(qū)間m n內(nèi)，那么最小值為f 丁，最大值為f(m , f(n)中2a2ab較大者(或區(qū)間端點(diǎn) m n中與x=亦距離較遠(yuǎn)的一個對應(yīng)的函數(shù)值為最大值)b(2) 假設(shè)2a<m那么f (x)在m n上是增函數(shù),最大值為f (n),最小值為f(m .b(3) 假設(shè)2a>n ,那么f (x)在m n上是減函數(shù)，最大值為f(m,最小值為f (n).丨課童反聞I白寸反咄啲偵效課堂達(dá)標(biāo)1. 一元二次函數(shù) y= x2 + 2x + 4,那么函數(shù)()A.對稱軸為x= 1,最

18、大值為3B. 對稱軸為x= 1,最大值為5C. 對稱軸為x= 1,最大值為5D. 對稱軸為x= 1,最小值為3解析 由y = x + 2x + 4= (x 1) + 5，知對稱軸為 x = 1,最大值為5.答案 C2. 函數(shù)f(x) = x + mx+ 1的圖像關(guān)于直線 x= 1對稱，那么()A. m= 2B. m= 2C. m= 1D. n= 1解析 函數(shù)f (x) = x + mx+1的圖像對稱軸為 x= ，且只有一條對稱軸，所以一 2= 1,即 n= 2.答案 A23. 函數(shù)y= 2x + x為增函數(shù)的區(qū)間是 .2 1 2 1 1解析 函數(shù)y = 2x2 + x = 2 x 2+的圖像的

19、對稱軸是直線x =;,圖像的開口向4841下，所以函數(shù)值在對稱軸 x=4的左邊是增加的.答案 g, 44. 函數(shù)f (x) = 2x? 6x + 1在區(qū)間一 1,1上的最小值是 ，最大值是 .3 2 7解析 f (x) = 2 x 2 2在1,1上為減少的，.當(dāng) x = 1 時，f (x)min= 3;當(dāng) x=1 時，f ( X) max= 9 .答案 395. 試求函數(shù)y= 2x2+ 2, x N*的最小值.解 因?yàn)閤 N*，所以x2> 1,所以y = 2x2 + 2>4,即卩y = 2x2 + 2在x N上的最小值為4,此時x= 1 .課堂小結(jié)1. 畫二次函數(shù)的圖像，抓住拋物線的特征“三點(diǎn)一線一開口 .“三點(diǎn)中有一個點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)：“一線是指對稱軸這條直線：“一開口是指拋物線的開口