復(fù)變函數(shù)練習(xí)題習(xí)題41

1、習(xí)題4.16判斷下列復(fù)數(shù)列的收斂性，且當(dāng)收斂時(shí)求出其極限，其中.（2）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以由4.1節(jié)定理1知，復(fù)數(shù)列收斂，且注：數(shù)列沒有絕對(duì)收斂！級(jí)數(shù)才有絕對(duì)收斂?。?）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以復(fù)數(shù)列發(fā)散.7.判別下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和收斂性.（1）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，此級(jí)數(shù)通項(xiàng)的模不趨向于零，所以由4.1節(jié)定理4的推論知此級(jí)數(shù)發(fā)散.（2）解：因?yàn)橥?xiàng)取模后的級(jí)數(shù)所以該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而也收斂.注：通項(xiàng)的模趨向于零不能得到絕對(duì)收斂！該級(jí)數(shù)的虛部級(jí)數(shù)為，而不是，虛部級(jí)數(shù)不包括虛數(shù)單位i.（3） 解：因?yàn)槠鋵?shí)部級(jí)數(shù)和虛部級(jí)數(shù)均為發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)然也不絕對(duì)收斂.注：通項(xiàng)趨向于零不能得到級(jí)數(shù)收斂！例如

2、：但調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.8.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂圓的中心和收斂半徑.（2）解：顯然該冪級(jí)數(shù)的收斂圓的中心z0=i.令，則由求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的檢比法（4.1節(jié)定理7）知所以該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（3）解：顯然該冪級(jí)數(shù)的收斂圓的中心z0=-i.令得由求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的檢比法（4.1節(jié)定理7）可求出上式右端冪級(jí)數(shù)的收斂半徑因?yàn)橛谑莾缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧磮A域所以原冪級(jí)數(shù)的收斂半徑注：此題，而是，所以不能直接用求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的檢比法和檢根法，否則會(huì)得出收斂半徑的錯(cuò)誤結(jié)論!（5）解：顯然該冪級(jí)數(shù)的收斂圓的中心z0=2i.令，則由求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的檢根法（4.1節(jié)定理8）知所以該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑10.證明冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑相等或后者更大.證明：當(dāng)冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)絕對(duì)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，即收斂.由于則由級(jí)數(shù)的比較判別法知收斂，即絕對(duì)收斂，從而冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)也絕對(duì)收斂.這表明冪級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂域包含冪級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂域，所以冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑相等或后者更大.另證：因?yàn)椋詢缂?jí)數(shù)的絕對(duì)收斂