高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題

1、高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題考點(diǎn)自測(cè)1函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)答案B解析yx2ln x，yx(x>0)令y0，得0<x1，即遞減區(qū)間為(0,1故選B.2若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于()A2 B3C6 D9答案D解析f(x)12x22ax2b，4a296b>0，又x1是極值點(diǎn)，f(1)122a2b0，即ab6，ab9，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)“”成立，ab的最大值為9，故選D.3函數(shù)f(x)x33x1，若對(duì)于區(qū)間3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，則

2、實(shí)數(shù)t的最小值是()A20 B18 C3 D0答案A解析因?yàn)閒(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x±1，可知f(x)在x±1處取得極值又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在區(qū)間3,2上f(x)max1，f(x)min19.由題設(shè)知在區(qū)間3,2上f(x)maxf(x)mint，從而t20，所以t的最小值是20.4已知函數(shù)f(x)在1，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案e，)解析f(x)，因?yàn)閒(x)在1，)上為減函數(shù)，故f(x)0在1，)上恒成立，即ln a1ln x在1，)上恒成立設(shè)(x)1ln x，(x)max1，故ln a1，a

3、e.5(2013·安徽)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.若f(x1)x1<x2，則關(guān)于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)答案3解析f(x)3x22axb；由已知x1，x2是方程3x22axb0的不同兩根，當(dāng)f(x1)x1<x2時(shí)，作yx1，yx2與f(x)x3ax2bxc有三個(gè)不同交點(diǎn)即方程3(f(x)22af(x)b0有三個(gè)不同實(shí)根題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex (xR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，求a

4、的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0，即(x22)ex>0，因?yàn)閑x>0，所以x22>0，解得<x<.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，所以f(x)0對(duì)x(1,1)都成立因?yàn)閒(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0對(duì)x(1,1)都成立因?yàn)閑x>0，所以x2(a2)xa0對(duì)x(1,1)都成立，即a(x1)對(duì)x(1,1)都成立令y(x1)，則y1>0.所以y(x1)在

5、(1,1)上單調(diào)遞增，所以y<(11).即a.因此a的取值范圍為a.思維升華(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等問(wèn)題，最終歸結(jié)到判斷f(x)的符號(hào)問(wèn)題上，而f(x)>0或f(x)<0，最終可轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次或一元二次不等式問(wèn)題(2)若已知f(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問(wèn)題求解已知函數(shù)f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)(f(x)x3)·ex，若函數(shù)g(x)在x3，2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2xc，得f(x)3x22a

6、x1.當(dāng)x時(shí)，得af3×22a×1，解之，得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc.則f(x)3x22x13(x1)，列表如下：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)和(1，)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.(3)函數(shù)g(x)(f(x)x3)·ex(x2xc)·ex，有g(shù)(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在x3,2上單調(diào)遞增，所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立只要h(2)0，解得c11，所以c的取值范圍是11，)題型二利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題例2已知f

7、(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函數(shù)f(x)在t，t2(t>0)上的最小值；(2)對(duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：對(duì)一切x(0，)，都有l(wèi)n x>成立思維點(diǎn)撥(1)求f(x)，討論參數(shù)t求最小值；(2)分離a，利用求最值得a的取值范圍；(3)尋求所證不等式和題中函數(shù)f(x)的聯(lián)系，充分利用(1)中所求最值(1)解由f(x)xln x，x>0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)0<t<<t2

8、，即0<t<時(shí)，f(x)minf()；當(dāng)t<t2，即t時(shí)，f(x)在t，t2上單調(diào)遞增，f(x)minf(t)tln t.所以f(x)min(2)解x(0，)，有2xln xx2ax3，則a2ln xx，設(shè)h(x)2ln xx(x>0)，則h(x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4.因?yàn)閷?duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)證明問(wèn)題等價(jià)于證明xln x>(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，當(dāng)且僅

9、當(dāng)x時(shí)取到，設(shè)m(x)(x(0，)，則m(x)，易知m(x)maxm(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取到從而對(duì)一切x(0，)，都有l(wèi)n x>成立思維升華(1)恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問(wèn)題進(jìn)行求解，若不能分離參數(shù)，可以將參數(shù)看成常數(shù)直接求解(2)證明不等式，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題設(shè)函數(shù)f(x)xexx(x1)2.(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2x2恒成立，求a的取值范圍解(1)a1，f(x)xexx(x1)2xexx2x2，f(x)(ex1)(x1)，當(dāng)1<x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x<1或x>0時(shí)，f(x)>

10、0，f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減，在(，1)，(0，)上單調(diào)遞增(2)由f(x)x2x2，得x(exx)0，即要滿足exx，當(dāng)x0時(shí)，顯然成立；當(dāng)x>0時(shí)，即，記g(x)，則g(x)，易知g(x)的最小值為g(1)e，e，得a2(e1)綜上所述，a的取值范圍是(，2e2題型三利用導(dǎo)數(shù)研究方程解或圖象交點(diǎn)問(wèn)題例3已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)討論函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)g(x)在區(qū)間，e上有兩個(gè)不等解，求a的取值范圍解(1)F(x)ax22ln x，其定義域?yàn)?0，)，所以F(x)2ax (x>0)當(dāng)a>0時(shí)，由ax

11、21>0，得x>.由ax21<0，得0<x<.故當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)<0 (x>0)恒成立故當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)在(0，)上單調(diào)遞減(2)原式等價(jià)于方程a(x)在區(qū)間，e上有兩個(gè)不等解由(x)易知，(x)在(，)上為增函數(shù)，在(，e)上為減函數(shù)，則(x)max()，而(e)<()所以(x)min(e)，如圖可知(x)a有兩個(gè)不等解時(shí)需a<.即f(x)g(x)在，e上有兩個(gè)不等解時(shí)a的取值范圍為a<.思維升華對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的

12、單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在，e上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x)2x.x，e，當(dāng)g(x)0時(shí)，x1.當(dāng)<x<1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)1<x<e時(shí)，g(x)<0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g(

13、)4e2<0，則g(e)<g()，g(x)在，e上的最小值是g(e)g(x)在，e上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得1<m2，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,2.(時(shí)間：80分鐘)1已知函數(shù)f(x)ax3bxc在點(diǎn)x2處取得極值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在3,3上的最小值解(1)因?yàn)閒(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在點(diǎn)x2處取得極值c16，故有即化簡(jiǎn)得解得(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(，2)上為增函數(shù)；當(dāng)

14、x(2,2)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(2,2)上為減函數(shù)；當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(2，)上為增函數(shù)由此可知f(x)在x2處取得極大值f(2)16c，f(x)在x2處取得極小值f(2)c16.由題設(shè)條件知16c28，解得c12.此時(shí)f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值為f(2)4.2已知函數(shù)f(x)ax3x2bx(其中常數(shù)a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值解(1)由題意得f(x)3ax22xb，因此g(x)f

15、(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)g(x)，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，從而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表達(dá)式為f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，則當(dāng)x<或x>時(shí)，g(x)<0，從而g(x)在區(qū)間(， )，(，)上是減函數(shù)；當(dāng)<x<時(shí)，g(x)>0，從而g(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)由上述討論知，g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值只能在x1，2時(shí)取得，而

16、g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在區(qū)間1,2上的最大值為g()，最小值g(2).3已知函數(shù)f(x)x2axln x(aR)(1)當(dāng)a3時(shí)，求函數(shù)f(x)在，2上的最大值和最小值；(2)當(dāng)函數(shù)f(x)在(，2)上單調(diào)時(shí)，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)2x3，令f(x)0，解得x或1.當(dāng)x(0，)(1，)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(0，)和(1，)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)上僅有極大值點(diǎn)x1，故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，故函數(shù)f(x)在，2上的最大值是f(1)2.又f(2)f()(2ln

17、 2)(ln 2)2ln 2<0，故f(2)<f()，故函數(shù)在，2上的最小值為f(2)2ln 2.(2)f(x)2xa，令g(x)2x，則g(x)2，則函數(shù)g(x)在(，)上單調(diào)遞減，在(，2)上單調(diào)遞增，由于g()3，g(2)，g()2，故函數(shù)g(x)在(，2)的值域?yàn)?，)若要f(x)0在(，2)上恒成立，即a2x在(，2)上恒成立，只要a2；若要f(x)0在(，2)上恒成立，即a2x在(，2)上恒成立，只要a，綜上所述，a的取值范圍是(，2，)4已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2時(shí)，求yf(x)和yg(x)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)a為何值時(shí)，yf(x)和yg(x)的公

18、共點(diǎn)個(gè)數(shù)恰為兩個(gè)解(1)a2時(shí)，由得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)令yx3x2x2，求導(dǎo)得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得極值點(diǎn)分別在1和處取得，且極大值、極小值都是負(fù)值所以yx3x2x20的解只有一個(gè)即yf(x)與yg(x)的公共點(diǎn)只有一個(gè)(2)由得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，令h(x)x3x2x，聯(lián)立對(duì)h(x)求導(dǎo)可以得到極值點(diǎn)分別在1和處的草圖，如圖所示，h(1)1，h()，當(dāng)ah(1)1時(shí)，ya與yh(x)僅有一個(gè)公共點(diǎn)(因?yàn)?1,1)點(diǎn)不在yh(x)曲線上)，故a時(shí)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)5某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件售價(jià)為x元(6<x<11)，年銷售為u萬(wàn)件，若已知u與(x)2成正比，且售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬(wàn)件(1)求年銷售利潤(rùn)y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大，并求出最大年利潤(rùn)解(1)設(shè)uk(x)2，售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬(wàn)件，28k(10)2，解得k2.u2(x)22x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6<x