初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題06有理數(shù)的計(jì)算

1、專題06有理數(shù)的計(jì)算閱讀與思考在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大 的不同：首先，有理數(shù)計(jì)算每一步要確定符號(hào)；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算，也就是通常說(shuō)的符號(hào)演算.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合， 這不但要求我們能正確地算出結(jié)果， 而且要善于 觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將推理與計(jì)算相結(jié)合， 靈活選用算法和技巧，提高計(jì)算的速度. 有理 數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有：1 利用運(yùn)算律.2 以符代數(shù).3 裂項(xiàng)相消.4 分解相約.5 巧用公式等.例題與

2、求解【例1】 已知 m, n互為相反數(shù)，a , b互為負(fù)倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于3，則x3-(1 + m + n + ab)x2 + (m + n)x200 1+ ( ab)2002的值等于(湖北省黃岡市競(jìng)賽試題)解題思路：利用互為相反數(shù)、互為倒數(shù)的兩個(gè)有理數(shù)的特征計(jì)算.【例2】已知整數(shù)a,b,c,d滿足abed = 25，且aAbned，那么a + b +|c+d等于()A. 0B. 10 C. 2 D. 12(江蘇省競(jìng)賽試題) 解題思路：解題的關(guān)鍵是把 25表示成4個(gè)不同的整數(shù)的積的形式.【例3】計(jì)算:1 1 1(1) 1 ；1+2 1+2+31+2 + 3+ +100(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題

3、)(2) 7 72 ' 73 7 ' 71998 ;(江蘇省泰州市奧校競(jìng)賽試題)(3)11 -25 3丄-42 6 121920 5丄一 6勺7丄-昇9丄3042567290解題思路：對(duì)于（1）,若先計(jì)算每個(gè)分母值，則掩蓋問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，不妨先從考察一般情形入手；對(duì)于（2），由于相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是7,考慮用字母表示和式；（3）中裂項(xiàng)相消，簡(jiǎn)化計(jì)算.【例4】m,n都是正整數(shù)，并且 a=（1 -丄）（1丄）（1）（1 ）（1 -丄）（1丄）,2 233mm1 1B=(i=)(i T(i=)(i ：)(i-)(i ) nm +1n 十1(1)證明：A, B =-2m2n1若A-

4、B ，求m和n的值.26解題思路：（1）對(duì)題中已知式子進(jìn)行變形. 體分析求解.（“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題）（2 ）把（1 ）中證明得到的式子代入，再具【例5】在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求設(shè)計(jì)了如圖，所示的幾何圖形.1111+一 +一 +一 +2 22 23241班的值（結(jié)果用n表示），（1 ）請(qǐng)你用這個(gè)幾何圖形求2 22丄丄23 24 4?的值.2n（2）請(qǐng)你用圖，在設(shè)計(jì)一個(gè)能求1A2 22.丄丄?32 42 n的值的幾何圖形.（遼寧省大連市中考試題）解題思路：求原式的值有不冋的解題方法，二剖分圖形面積是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵.【例6】記，令稱Tn為ai,a2an這列數(shù)的“理想數(shù)”，已知naa2,a5

5、oo的“理想數(shù)”為2004求8,342,7500的“理想數(shù)”.（安徽省中考試題）1解題思路：根據(jù)題意可以理解為 Sn為各項(xiàng)和，Tn為各項(xiàng)和的和乘以 一n能力訓(xùn)練A級(jí)2 2011 20121 若x, y互為相反數(shù)，m,n互為倒數(shù).a = 1 , a -（x y） （-m n）的值為（湖北省武漢市調(diào)考試題）2 若 M -(-1)2-1 (-1)'-22 (-1) 13 計(jì)算：(1) 13汽55漢77漢9（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）;11997 1999(2) (0.25 4 "-8 j _2+(-2f + (-6帯-g 1 =I 3丿11114.將1997減去它的一，再減去余下的，再

6、減去余下的，再減去余下的，依次3 451類推，直至最后減去余下的一,最后的答案是 1997（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）5 右圖是一個(gè)由六個(gè)正方體組合而成的幾何體，每個(gè)小正方體的六個(gè)面上都分別寫(xiě)著-1 ,2, 3, - 4, 5, 6六個(gè)數(shù)字，那么圖中所有看不見(jiàn)的面上的數(shù)字和是 （湖北省仙桃市中考試題）2?l"幾 / 3 / 3 /-6/3247廠bc - ac6.如果有理數(shù)a,b,c滿足關(guān)系式a : b ：0 ：c,那么代數(shù)式的值（）ab c（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）x- yy-zz- x7.已知有理數(shù)x,y,z兩兩不相等，則，中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）y-zz-xx-yA.1個(gè) B.2個(gè) C.

7、3個(gè) D. 0個(gè)或2個(gè)（重慶市競(jìng)賽試題）1898 a2 + 99b2&若a與（-b）互為相反數(shù)，則=（）1997abA. 0B. 1C. 1D. 1997（重慶市競(jìng)賽試題）200120022003, 2003 上9 .如果（a + b）= -1 , （a-b）= 1，則 a + b 的值是（）A. 2B. 1C. 0D. -1（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）10. 若a,b,c,d是互為不相等的整數(shù)，且 abcd = 9，貝U a + b + c + d等于（）A. 0B. 4C. 8D.無(wú)法確定1111. 把1- , 3.7, 6 , 2.9, 4.6分別填在圖中五個(gè) O內(nèi)，再在每個(gè)中填上和

8、它相連的三52個(gè)O中的數(shù)的平均數(shù)，再把三個(gè)中的平均數(shù)填在中.找出一種填法，使中的數(shù)盡可能小，并求這個(gè)數(shù).（“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題）12 .已知a, b,c都不等于零，且a b c abcia + |b + + jObc的最大值為 m，最小值為 n，求1998(m+n+1)的值.B級(jí)1 1313513971.計(jì)算：一 + (- + -) + (- +-+-) + ?+ (一 + 一+?+一)=2 44666989898(“五羊杯”競(jìng)賽試題)2 .計(jì)算：2-22 -23 -24 -25 -26 -27 -28 -29 + 210 =.1 X2 X4 + 2X4 X8 + ?+ n?2n?4n

9、 23 .計(jì)算：(1X3X9 + 2 X6 X8 + ?+ n?3n?9n)4 據(jù)美國(guó)詹姆斯馬丁的測(cè)算，在近十年，人類的知識(shí)總量已達(dá)到每三年翻一翻，至U2020年甚至要達(dá)每73翻番空前速度，因此，基礎(chǔ)教育任務(wù)已不是“教會(huì)一切人一切知識(shí)，而是 讓一切人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”.已知2000年底，人類知識(shí)總量 a，假入從2000年底2009年底每3年翻一翻；從2009 年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻.（1） 2009年底人類知識(shí)總量是： ;（2） 2019年底人類知識(shí)總量是： ;（3） 2020年按365天計(jì)算，2020年底類知識(shí)總量會(huì)是 .（北京市順義區(qū)中考試題）2002 2001

10、5 你能比較2001 和2002的大小嗎?為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先寫(xiě)出它的一般形式，即比較nn+1與（n + 1）n的大小（n是自然數(shù)），然后我們從分析 n=1, n=2, n=3中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論（1 ）通過(guò)計(jì)算，比較下列各組中兩數(shù)的大小:（在橫線上填寫(xiě)“”“V” 12_21， 23_32; 34_43 ； 45_54; 56_65 ?（2）從第（1 ）題的結(jié)果中，經(jīng)過(guò)歸納，可以猜想出n 與（n +1）的大小關(guān)系是 ?（3）根據(jù)以上歸納.猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩數(shù)的大小 2001200220022001 :.（福建省龍巖市中考試題）6. 有2009個(gè)數(shù)排成一列，其中任

11、意相鄰的三個(gè)數(shù)中，中間的數(shù)總等于前后兩數(shù)的和.若第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)是1,則這個(gè)2009個(gè)數(shù)的和是（）A. 2 B. 1C. 0 D. 2（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南省試題）7 .如果+ + & +打=那么誥的值為（）A. 1 B. 1 C.±1D.不確定（河北省競(jìng)賽試題）&三進(jìn)位制數(shù)201可用十進(jìn)制數(shù)表示為 2 X32 + 0 X31 + 1 = 2 X9 + 0 +1 = 19 ;二進(jìn)制數(shù)1011可用十進(jìn)制法表示為1 X23 + 0 x22 +1 X21 +1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 .前者按3的幕降幕排列,后者按2的幕降幕排列，現(xiàn)有三進(jìn)位制數(shù)a =

12、 221，二進(jìn)位制數(shù)b = 10111，則a與b的大小關(guān)系為（）.A a > b B. a = bc. a < b D.不能確定（重慶市競(jìng)賽試題）9.如果有理數(shù)a,b,c,d滿足a + b > c + d，則()A. a -1 + b + 1 > c + dB. a2 + b2 > c2 + d2C. a + b > c + dD. a + b > c + d（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）10.有1998個(gè)互不相等的有理數(shù)，每1997個(gè)的和都是分母為3998的既約真分?jǐn)?shù)，則這個(gè)1998個(gè)有理數(shù)的和為（）999997A.B.199719979981998999

13、D.-1998（學(xué)習(xí)報(bào)公開(kāi)賽試題）11.觀測(cè)下列各式:31221 = 1 = X1 X2 ,43312213 + 23 = 9 = _ X22 X32,433312213 + 23 + 33 = 36 = 一 X32 X42413 + 23 + 33 + 43 = 100 = 1 X42 X524回答下面的問(wèn)題:(1)猜想 13 + 23 + 33 +?+ (n-1)3 + n3 =（直接寫(xiě)出你的結(jié)果）（2）利用你得到的（1 ）中的結(jié)論，計(jì)算13 + 23 + 33 + ?+ 993 +1003的值.(3)計(jì)算 113 +123 +?+ 993 + 1003 的值; 23 + 43 + 63

14、+ ?+ 983 + 1003 的值.專題06有理數(shù)的計(jì)算例128或-26例 2 D 提示：abcd=5X 1x(-1 ) x( -5 ), a=-5, b=1, c=-1 , d=-5.例3(1)型提示：1=亠=2丄一丄.1011+2+3*-+ n n(n +1) n(n +1)5 n + 1 丿271999一7提示：設(shè) s=7 727- -71998，則 7s=772 73 川卷71999)-5 -15 原 丄7+丄20304256(1) A= 1< m人2人3丿m1 111111111 _,9=1+1-十一+ + =2-=12 23348991010 =101 2 m134 m 1

15、 m 1=2 3m 23m 2mn十1同理B=2n由 A-B=2mn 112n 2m12n=丄得I-126 m n13 m=13-13 13，又T m , n 均為正整數(shù)， 13+n 為 13X13 的因數(shù)，13+n=132 13 n 13 n- n156, m=12.例51()原式=1-_, (2)21 1j2$英1日例6由題意知Tn= 1 © ai a21亠印 a2 a3廣 亠印a2，an丨，即nTnha-i n -1 a2 亠 in -3 a3 亠 亠 2an-an 1n_1T500500a1 - 499a2 498a3 亠亠 2a499 a500500 500a ： 499a

16、2 ' 498a3 2a499 asoo =2004 x 500.8 ，a1，a2，a5 0 的“理想數(shù)1一 501 8 500a1499a2498a3 亠 亠2a499501'a500x501501 8 2004 500 1=2008.=a1.2提示：原式=122011-0 +1-22.2提示：M-1 +一 2，-2 +19983.（ 1）；（2）-859974.1提示aa習(xí)'aaa1-1-22丿3<26丿4解得M=2.7.B 提示:_ 2012-2 =1+1=2.a a=a -設(shè) a=1997a1997 19965.-138.B9.D11.6.B10.A不妨設(shè)

17、x>y>z.提示：設(shè)O內(nèi)從右到左填的數(shù)分別為a1， a2 ，a3 ， a4a5則內(nèi)填的數(shù)為6 2a2 3a3 2a4 a5要使中填的數(shù)盡可能小，則a? =1丄，a25，a4分別為2，9，3,7,而剩下的兩個(gè)為ai，a5 .12.1998 提示：X=1 時(shí),m=4;X = -1 時(shí)，n-4.1.612.5提示：倒敘相加2.6 提示：21-2n=2n3644. (1) 23 a (2) 213a (3) 218 a7295. (1)略 (2)當(dāng) n<3 時(shí)，nn+ <(n +1 $ ;當(dāng) n>3 時(shí)，nn+ >(n +1(3) >001-00076. A提示：先寫(xiě)出前面一些數(shù)：1 , - 1 , - 2, - 1 , 1, 2, 1 , - 1,，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)每 6個(gè)數(shù)為一次循環(huán)，又 2009 = 334X6+ 5而每一組中 1 +( 1) + ( 2) + ( 1