雙曲線教學(xué)設(shè)計(jì)教案

1、   教學(xué)準(zhǔn)備 1.   教學(xué)目標(biāo) 1 知識(shí)與技能 1 理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問題。2 能根據(jù)已知條件利用定義或待定發(fā)系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡(jiǎn)無理方程的常用的方法。3 進(jìn)一步感受曲線方程的概念，了解建立曲線方程的基本方法.了解借助信息技術(shù)探究動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾何畫板的制作或操作方法。2過程與方法 1提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力。2通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究 ，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用.3培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力、觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力。3

2、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1親身經(jīng)歷雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)美的熏陶。2通過主動(dòng)探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。3養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和契而不舍的鉆研精神.通過自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)參與、積極探究的學(xué)習(xí)過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。2.   教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn) 重點(diǎn)：通過類比、提出猜想進(jìn)而操作確認(rèn)，獲得雙曲線的定義并推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。難點(diǎn)：1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。2綜合應(yīng)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題。3.   教學(xué)用具 多媒體、木板、拉鏈等4

3、.   標(biāo)簽    教學(xué)過程 教學(xué)過程設(shè)計(jì)  1 舊知回顧、引入新課【師】同學(xué)們好。從今天我們開始進(jìn)入新一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程?！景鍟?.3.1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【師】請(qǐng)同學(xué)們回憶一下前幾節(jié)課的知識(shí)？【板書】    橢圓的定義？    橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？    橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)？    橢圓知識(shí)的考查方式？【生】橢圓的定義是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢

4、圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為m時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集?！旧繖E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)（分焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸兩種情況）：【生】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)有范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等內(nèi)容?！旧繖E圓知識(shí)的考查方式有兩種方式：給方程題和求方程題。常見延伸問題有焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)半徑、焦點(diǎn)三角形、直線與曲線的交點(diǎn)、直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式、圓錐曲線的最值、定值及過定點(diǎn)等難點(diǎn)問題。給方程題：較大分母是a2,較小分母是b2,焦點(diǎn)所在軸與含a2項(xiàng)所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,繼而依次寫出頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等。求方程題：根據(jù)待定系數(shù)法就是確定a2與b2和焦點(diǎn)所在軸?！編煛肯旅嫖?/p>

5、們研究一種我們初中曾經(jīng)學(xué)過的“新”的曲線。（反比例函數(shù)的圖像就是雙曲線，但是坐標(biāo)系建立方式不同，方程形式也不同）【師】考慮以下問題，思考后作答：?jiǎn)栴}：如果把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線？即“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”是什么？閱讀教材P5255，回答下列問題：雙曲線的定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、應(yīng)用?！旧啃〗M合作，思考、交流，得出結(jié)論。（1）小組合作1取一條拉鏈；2如圖把它固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2；3 拉動(dòng)拉鏈（M）。思考：拉鏈運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？觀察AB兩圖探究雙曲線的定義如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如

6、圖(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a由可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a  上面兩條曲線合起來叫做雙曲線?！編煛扛鶕?jù)以上分析，試給雙曲線下一個(gè)完整的定義？【生】文字描述：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)。兩個(gè)定點(diǎn)間的距離|F1F2|=2c 叫做焦距。符號(hào)描述：| |MF1|-|MF2| | = 2a（2a<2c）。圖形：【師】請(qǐng)同學(xué)們利用搜集的知識(shí)說一說雙曲線的歷史起源和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用?！旧课艺f雙曲線的歷史起源：2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研

7、究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；用平行圓錐的軸的平面截取,可得到雙曲線的一邊;以圓錐頂點(diǎn)做對(duì)稱圓錐,則可得到雙曲線1 。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實(shí)上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果?！旧课艺f雙曲線的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用：雙曲線在實(shí)際中的應(yīng)用有通風(fēng)塔，冷卻塔，埃菲爾鐵塔，廣州塔等?！編煛砍踔袑W(xué)過的反比例函數(shù)

8、的圖像就是一種特殊的雙曲線，叫做等軸雙曲線，以其漸近線為坐標(biāo)系建立方程，得到的函數(shù)解析式就是。在教師的啟發(fā)下，師生共同完成幾種特殊情形的探究?！編煛吭倏紤]以下問題，思考后作答:（1）|MF1|-|MF2|=2a表示雙曲線的哪一支？【生】右支?！編煛浚?）|MF2|-|MF1|=2a表示雙曲線的哪一支？【生】左支。【師】（3）若2a=2c,則軌跡是什么？【生】分別以F1、F2為端點(diǎn)方向向外的兩條射線F1P、F2Q?！編煛浚?）若2a>2c,則軌跡是什么？【生】無軌跡?！編煛浚?）若2a=0,則軌跡是什么？【生】此時(shí)|MF1|=|MF2|，軌跡是線段F1F2的垂直平分線?！編煛糠抡諜E圓建立坐

9、標(biāo)系的方法，請(qǐng)建立雙曲線的方程。【生】建系設(shè)點(diǎn)。設(shè)M（x , y）,雙曲線的焦距為2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)，常數(shù)=2a雙曲線就是集合： P=M |MF1|-|MF2| = 2a 。叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上，焦點(diǎn)是F1(-c,0),F2(c,0)，這里c2=a2+b2?！編煛空?qǐng)同學(xué)們嘗試將焦點(diǎn)所在軸設(shè)為y軸，過焦點(diǎn)連線的垂直平分線為x軸，方程會(huì)變成怎樣？【生】和橢圓的方程焦點(diǎn)在y軸的變化一樣，方程中的x、y位置互換！方程變?yōu)?。【師】好，誰來總結(jié)一下？【生】雙曲線有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：分別是焦點(diǎn)在x軸上時(shí)和焦點(diǎn)在y軸上時(shí)?！編煛坑懻撘幌耡、b有

10、沒有必然的大小關(guān)系？【生】雙曲線中的a、b沒有必然的大小關(guān)系，方程右邊為1時(shí)，左邊被減數(shù)的分母是a2。2 新知介紹1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【師】于是，我們可以得到雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。文字描述：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。符號(hào)描述和圖形：（如右圖）助記：(橢圓到雙曲線)“和”變“差”，一字之差，天地大變，從有限變無限，從看整個(gè)到看不全，a、c大小互換，還好焦點(diǎn)坐標(biāo)沒變、三對(duì)稱沒變。【師】請(qǐng)將雙曲線與橢圓對(duì)比記憶。 2雙曲線非標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)化【師】下面我們做一些練習(xí)！求出下列雙曲線的a2、b2，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)。  &

11、#160;   【生】（1）a216    b29，焦點(diǎn)F（±5，0）          （2）a29     b216，焦點(diǎn)F（±5，0）【師】以上答案有問題么?【生】第二個(gè)方程有問題，方程右邊不是1，而是1.【師】有什么辦法么？【生】方程兩邊同時(shí)乘以1就可以了?！編煛浚?）的正確答案變了么？【生】正確答案是（2）a216   b29，焦點(diǎn)F（0，±5）【師】對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要標(biāo)準(zhǔn)化才可以提取相關(guān)信息。 

12、60;    非標(biāo)準(zhǔn)方程的陷阱及對(duì)應(yīng)措施：（注意到就不會(huì)出錯(cuò)）1、方程右邊不為1：兩邊同除以該數(shù)使右邊為1（如練習(xí)1、3、5）2、方程左邊不標(biāo)準(zhǔn)。   （1）位置不標(biāo)準(zhǔn)：被減數(shù)與減數(shù)位置互換，（MN型寫為N+M型）   （2）系數(shù)不標(biāo)準(zhǔn)：沒有分母（分母為1）或分母為分?jǐn)?shù)形式不恰當(dāng)整理【生】（3）、（4）、（5）都是非標(biāo)準(zhǔn)方程，先標(biāo)準(zhǔn)化再提取信息。   （3）兩邊同時(shí)除以225，得到標(biāo)準(zhǔn)方程，a225， b29，焦點(diǎn)F（0，±）   （4）左邊分母標(biāo)準(zhǔn)化，a21  b

13、2，焦點(diǎn)F（±，0）   （5）兩邊同時(shí)除以5,得，位置和系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，得3雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用問題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程能解決什么問題？【生】由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內(nèi)母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。應(yīng)用于通風(fēng)塔，冷卻塔、地標(biāo)建筑等建筑設(shè)計(jì)。造型優(yōu)美，功效顯著！既輕巧又堅(jiān)固。生活中和軍事上可以用于定位。4例題處理【師】下面我們來處理書上的例題?！旧烤毩?xí)并討論?！纠?】已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：

14、因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，2a = 6,2c=10，a = 3,  c = 5.b2 = 52-32 =16.所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【拓展探究】已知兩定點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|6.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解：|F1F2|10，|PF1|-|PF2|6，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支.兩焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2 =52-32 =16.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為【師】請(qǐng)大家總結(jié)求雙曲線方程的基本步驟。【生】1.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確

15、定三項(xiàng)內(nèi)容：焦點(diǎn)所在軸（方程二選一）、a2、b2.          2.現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）,通過限制方程中的x的取值范圍實(shí)現(xiàn).【師】補(bǔ)充一點(diǎn)，還有一種可能，焦點(diǎn)所在軸不確定時(shí)可能兩種情況都成立，需分情況討論?！纠?】已知A,B兩地相距800 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s,且聲速為340 m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.【分析】首先根據(jù)題意,判斷軌跡的形狀.由聲速及A，B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差,可知A，B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差為定值. 這樣，爆炸點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸

16、點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上.解: 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則|PA|-|PB|340x2=680，即 2a=680，a=340.又|AB|800，即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =16000011560044400.炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡(雙曲線的一支)方程為(注：課本上只是x>0,本設(shè)計(jì)更精確)【應(yīng)用提升】1.若在A,B兩地同時(shí)聽到炮彈爆炸聲,則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是什么?解: 爆炸點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線.2.根據(jù)兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一炮彈

17、爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)在某條曲線上，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置. 而現(xiàn)實(shí)生活中為了安全，我們最關(guān)心的是炮彈爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，怎樣才能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置呢?解:再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用B，C（或A，C）兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.【例3】如果方程表示雙曲線，求m的取值范圍.解：由【應(yīng)用提升】如果方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，求m的取值范圍.由例題，從m的取值中選取適合的范圍即有【拓展探究】已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相

18、外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程解：【師】引導(dǎo)學(xué)生分析條件與結(jié)論，認(rèn)識(shí)到解題關(guān)鍵是確認(rèn)已知條件中的隱藏信息。再次強(qiáng)調(diào)：1、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定三項(xiàng)內(nèi)容：焦點(diǎn)所在軸（方程二選一）、a2、b2.2、焦點(diǎn)所在軸不確定時(shí)可能兩種情況都成立，需分情況討論。3、現(xiàn)實(shí)應(yīng)用題中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）注意相應(yīng)自變量x的取值會(huì)發(fā)生變化。【強(qiáng)化練習(xí)】已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。解：在ABC中，|BC|=10，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，又因c=5，a=3，則b2=16，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為。5小結(jié)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【師】現(xiàn)在我們來總

19、結(jié)一下，雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程?！景鍟?PPT】【雙曲線的定義】平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。（1）當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a表示雙曲線的右支。（2）|MF2|-|MF1|=2a表示雙曲線的左支。（3）若2a=2c,則軌跡是分別以F1、F2為端點(diǎn)方向向外的兩條射線F1P、F2Q。（4）若2a>2c,則無軌跡。（5）若2a=0,則軌跡是線段F1F2的垂直平分線。【雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】有兩個(gè)：分別是焦點(diǎn)在x軸上時(shí)和焦點(diǎn)在y軸上時(shí)。【考查方式】給方程題與求方程題給方程題一般涉及方程的標(biāo)準(zhǔn)化：對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要標(biāo)準(zhǔn)化才可以提取相關(guān)

20、信息。非標(biāo)準(zhǔn)方程的陷阱及對(duì)應(yīng)措施：（注意到就不會(huì)出錯(cuò)）1.方程右邊不為1：兩邊同除以該數(shù)使右邊為1（如練習(xí)1、3、5）2.方程左邊不標(biāo)準(zhǔn)。  （1）位置不標(biāo)準(zhǔn)：被減數(shù)與減數(shù)位置互換，（MN型寫為N+M型）  （2）系數(shù)不標(biāo)準(zhǔn)：沒有分母（分母為1）或分母為分?jǐn)?shù)形式不恰當(dāng)整理求方程題：一般用待定系數(shù)法：3.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定三項(xiàng)內(nèi)容：焦點(diǎn)所在軸（方程二選一）、a2、b2.4.焦點(diǎn)所在軸不確定時(shí)可能兩種情況都成立，需分情況討論。5.現(xiàn)實(shí)應(yīng)用題中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）注意相應(yīng)自變量x的取值會(huì)發(fā)生變化。【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)撥】1.與橢圓相關(guān)知識(shí)混淆，誤認(rèn)為一定有a>b或仍

21、然用a2=b2+c2來求相關(guān)值。2.忽略非標(biāo)準(zhǔn)方程的存在，錯(cuò)誤提取相關(guān)數(shù)據(jù)。3.該分情況討論的沒有分情況討論。答案不完整。4、忽略問題的實(shí)際意義將雙曲線的一支確定為兩支。課堂小結(jié)（投影，給出知識(shí)脈絡(luò)圖）    1. 雙曲線的定義    2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程    3. 利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題3 復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置1課堂練習(xí)一、填空題1.a=4，b=3 ,焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是          

22、0;                   .2.焦點(diǎn)為（0, -6）,（0，6）,經(jīng)過點(diǎn)（2，-5）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是            .3.設(shè)雙曲線上的點(diǎn)P到(5,0)的距離是15,則P到(-5,0)的距離是       

23、0;  .                      .4.如果方程表示雙曲線，則m的取值范圍是          .二、選擇題5設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則點(diǎn)P到x軸的距離(   )A1     B    C2    D6P為雙曲線為上一點(diǎn)，若F是一個(gè)焦點(diǎn)，以PF為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是(   )A內(nèi)切    B外切   C內(nèi)切或外切    D無公共點(diǎn)或相交7已知兩定點(diǎn)F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn) P 滿