二次根式知識(shí)點(diǎn)+例題分析+難題拓展+測試(共30頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x>0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1、   二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)

2、大于或等于零即可。2、  二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時(shí)，沒有意義。 例2當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例3當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。例4(1)已知y=+5，求的值(

3、2)若+=0，求a2004+b2004的值知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)1（） 文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，. 例1 計(jì)算 1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2例2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)2文字語言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。注：1、化簡時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a

4、的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡。 例1 化簡 （1） （2） （3） （4）例2 填空：當(dāng)a0時(shí)，=_；當(dāng)a<0時(shí)，=_，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題（1）若=a，則a可以是什么數(shù)？（2）若=-a，則a是什么數(shù)？ （3）>a，則a是什么數(shù)？例3當(dāng)x>2，化簡-知識(shí)點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的， ，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開

5、方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而.知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的乘除1、 乘法·（a0，b0） 反過來：=·（a0，b0）2、除法=（a0，b>0） 反過來，=（a0，b>0） （思考：b的取值與a相同嗎？為什么？不相同，因?yàn)閎在分母，所以不能為0） 例1計(jì)算 （1）4× （2）× （3）× （4）× 例2 化簡（1） （2） （3） （4） 例3判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正： （1） （2）×=4××=4×=4=8 例4計(jì)算：（1） （2） （3） （4） 例5化簡： （

6、1） （2） （3） （4）例6已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值3、最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：（1）被開方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式；（2）被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式（熟記20以內(nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)系，當(dāng)被開方數(shù)是整式時(shí)要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個(gè)因式的指數(shù)是否是2（或2的倍數(shù)），若是則說明含有能開方的因式，則不滿足條件，就不是最簡二次根式）例1把下列二次根式化為最簡二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化簡最簡二次根式的方法：(1) 把被開方數(shù)(或根號(hào)下的代數(shù)式)化成積的形式，即分解因式；(2) 化去根號(hào)內(nèi)的分母（或分母中的根號(hào)），即分母有理化；

7、(3) 將根號(hào)內(nèi)能開得盡方的因數(shù)(或因式)開出來（此步需要特別注意的是：開到根號(hào)外的時(shí)候要帶絕對(duì)值，注意符號(hào)問題）5.有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類： 與；              與；與；       與    說明：利用有理化因式的特點(diǎn)可以將分母有理化13、同類二次根式：被開方數(shù)相同的（最簡）二次根式叫同類二次根式。 判斷是否是同類二次根式時(shí)務(wù)必將各個(gè)根式

8、都化為最簡二次根式。如與知識(shí)點(diǎn)八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。 例1計(jì)算（1）+ （2）+ 例2計(jì)算（1）3-9+3 （2）（+）+（-）例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值2、二次根式的混合運(yùn)算：先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再乘方（開方），再乘除，再加減3、二次根式的比較：（1）若，則有；（2）若，則有   （3）將兩個(gè)根式都平方，比較平方后的大小，對(duì)應(yīng)平方前的大小例4比較3與4的大

9、小 【典型例題】1、 概念與性質(zhì) 例1、下列各式1），其中是二次根式的是_（填序號(hào)）例2、求下列二次根式中字母的取值范圍（1）；（2）例3、 在根式1) ，最簡二次根式是（ ）A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)例4、已知：例5、已知數(shù)a，b，若=ba，則 (   )A. a>b        B. a<b    C. ab           D. ab2

10、、二次根式的化簡與計(jì)算例1. 將根號(hào)外的a移到根號(hào)內(nèi)，得 (   )A. ；   B. ；      C. ；      D. 例2. 把（ab）化成最簡二次根式例3、計(jì)算：例4、先化簡，再求值： ，其中a=，b= 例5、如圖，實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置，化簡 ：3、比較數(shù)值（1）、根式變形法當(dāng)時(shí)，如果，則；如果，則。例1、 比較與的大小。（2）、平方法當(dāng)時(shí)，如果，則；如果，則。例2、比較與的大小。（3）、分母有理化法通過分母有理化，利用分子的大小來比較。例3、

11、比較與的大小。（4）、分子有理化法通過分子有理化，利用分母的大小來比較。例4、比較與的大小。（5）、倒數(shù)法例5、比較與的大小。 （6）、作差比較法在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：；例6、比較與的大小。 4、規(guī)律性問題例1. 觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：  ， 驗(yàn)證：； 驗(yàn)證:.（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n2，且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程.例3、已知a>b>0，a+b=6，則的值為（ ）A B2 C D 例4、甲、乙兩個(gè)同學(xué)化簡 時(shí)，分別作了如下變形： 甲：=； 

12、    乙：=。 其中（  ）A. 甲、乙都正確    B. 甲、乙都不正確 C. 只有甲正確          D. 只有乙正確課堂練習(xí)：1. 使式子有意義的條件是 。2. 當(dāng)時(shí)，有意義。3. 若有意義，則的取值范圍是 。4. 當(dāng)時(shí)，是二次根式。5. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。6. 若，則的取值范圍是 。7. 已知，則的取值范圍是 。8. 化簡：的結(jié)果是 。9. 當(dāng)時(shí)，。10. 把的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)等于 。11. 使等式

13、成立的條件是 。12. 若與互為相反數(shù)，則。13. 在式子中，二次根式有（ ）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 15. 若，則等于（ ）A. B. C. D. 16. 若，則（ ）A. B. C. D. 17. 若，則化簡后為（ ）A. B. C. D. 18. 能使等式成立的的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 19. 計(jì)算：的值是（ ）A. 0 B. C. D. 或21. 若，求的值。22. 當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。24. 已知，求的值。25. 已知為實(shí)數(shù)，且，求的值。26. 化簡： 二

14、次根式的乘除1. 當(dāng)，時(shí)，。2. 若和都是最簡二次根式，則。3. 計(jì)算：。4. 計(jì)算：。5. 長方形的寬為，面積為，則長方形的長約為 （精確到0.01）。6. 下列各式不是最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（ ） A. B. C. D. 8. 對(duì)于所有實(shí)數(shù)，下列等式總能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 和的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 不能確定10. 對(duì)于二次根式，以下說法中不正確的是（ ）A. 它是一個(gè)非負(fù)數(shù) B. 它是一個(gè)無理數(shù)C. 它是最簡二次根式 D. 它的最小值為311. 計(jì)算： 21.3 二次根式的加減1.

15、下列根式中，與是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面說法正確的是（ ） A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式 B. 與是同類二次根式 C. 與不是同類二次根式 D. 同類二次根式是根指數(shù)為2的根式3. 與不是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，則化簡的結(jié)果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，則的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ） A. B. C. 1 D. 38. 下列式子中正確的是（ ） A. B

16、. C. D. 9. 在中，與是同類二次根式的是 。10.若最簡二次根式與是同類二次根式，則。11. 一個(gè)三角形的三邊長分別為，則它的周長是 cm。12. 若最簡二次根式與是同類二次根式，則。13. 已知，則。14. 已知，則。15. 。16. 計(jì)算：. . . . 17. 計(jì)算及化簡：. . . . 18. 已知：，求的值。19. 已知：，求的值。20. 已知的值。一、選擇題（每題2分，共20分）1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果是二次根式，那么應(yīng)滿足的條件是（ ） A. B. C. D. 3. 當(dāng)x=3時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義的是（ ） A. B.

17、 C. D. 4. 化簡二次根式得（ ） A. B. C. 18 D. 65. 等式成立的條件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式計(jì)算正確的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，則等于（ ） A. B. C. D. 8. 化簡等于（ ） A. B. C. D. 9. 等式成立的條件是（ ） A. B. C. D. 且10. 當(dāng)時(shí)，化簡的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 二、填空題（每題3分，共24分）11. 如果是二次根式，則的取值范圍是 。12. 若，則代數(shù)式= 。13. 化簡= ，= ，= 。14. 計(jì)算= 。15. 已知，則 。16. 若與是同類二次根式，則= 。1

18、7. 成立的條件是 。18. 若，則= 。三、解答題(共56分)19. 分別指出取哪些實(shí)數(shù)時(shí)，式子有意義。（每小題3分，共6分）（1）； （2）；20. 計(jì)算（每小題4分，共16分）（1）； （2）（3） （4）21. 已知，計(jì)算的值。（5分）22. 已知實(shí)數(shù)滿足，求的值。（5分）23. 若，求代數(shù)式的值。（6分）24. 已知求的值。（6分）25. 已知，求的值。（6分）綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題11表示二次根式的條件是_12使有意義的x的取值范圍是_13已知，則xy的平方根為_14當(dāng)x=2時(shí)，_二、選擇題15下列各式中，x的取值范圍是x2的是( )ABCD16若，則xy的值是( )A7B5C

19、3D7三、解答題17計(jì)算下列各式：(1)(2)(3)(4)18當(dāng)a=2，b=1，c=1時(shí)，求代數(shù)式的值拓廣、探究、思考19已知數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：的結(jié)果是：_20已知ABC的三邊長a，b，c均為整數(shù)，且a和b滿足試求ABC的c邊的長綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題9定義運(yùn)算“”的運(yùn)算法則為：則(26)6=_10已知矩形的長為，寬為，則面積為_cm211比較大小：(1)_；(2)_；(3)_二、選擇題12若成立，則a，b滿足的條件是( )Aa0且b0Ba0且b0Ca0且b0Da，b異號(hào)13把根號(hào)外的因式移進(jìn)根號(hào)內(nèi)，結(jié)果等于( )ABCD三、解答題14計(jì)算：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_15若(xy2)2與互為相反數(shù)，求(xy)x的值拓廣、探究、思考16化簡：(1)_；(2)_綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題7化簡二次根式：(1)_(2)_(3)_8計(jì)算下列各式，使得結(jié)果的分母中不含有二次根式：(1)_(2)_(3)_(4)_9已知?jiǎng)t_；_(結(jié)果精確到0001)二、選擇題10已知，則a與b的關(guān)系為( )Aa=bBab=1Ca=bDab=111下列各式中，最簡二次根式是( )ABCD三、解答題12計(jì)算：(1)(