點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系典型習(xí)題

1、§1.2 點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系【基礎(chǔ)回顧】一、三個(gè)公理和三條推論公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。公理2、如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在同一條直線上。這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論1：經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。二、平行和垂直位置關(guān)系的判斷方法1

2、、兩直線平行的判定：（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。2、兩直線垂直的判定：（1）勾股定理（2）如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說兩條直線互相垂直；（3）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面上所有的直線；（4）如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條（5）三垂線定理：在平面內(nèi)的一

3、條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（6）三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。3、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定定理：如果不在平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；（2）面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行。4、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。5、兩

4、個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。（2）定義法：即證兩個(gè)相交平面的二面角為直角；6、兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。三、異面直線所成角（1）范圍：；（2）求法：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。四、直線和平面所成角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。（

5、2）范圍：；（3）求法：作出直線在平面上的射影，將直線與平面的夾角轉(zhuǎn)化為平面角來求；（4）特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。六、二面角：（1）平面角的三要素：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；三垂線法：過其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：過一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：；（4）二面角的求法：轉(zhuǎn)化為求平面角；面積射影法：

6、利用面積射影公式，其中為平面角的大小。對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）。七、空間距離的求法（立體幾何中角和距離的計(jì)算，要遵循“一作，二證，三計(jì)算”的原則）（1）異面直線的距離：直接找公垂線段而求之；轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行。轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過兩直線分別作相互平行的兩個(gè)平面。（2）點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解。（3）點(diǎn)到平面的距離：垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；等價(jià)轉(zhuǎn)移法。（4）直線

7、與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。（5）兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。（6）球面距離（球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度）：求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離的步驟：計(jì)算線段AB的長(zhǎng)；計(jì)算球心角AOB的弧度數(shù)；用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)。【常見題型】題型一：點(diǎn)共線和共面問題【例1】如圖正方體中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、A1C1與EF的交點(diǎn). （1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若A1C與面DBFE交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.【例2】已知直線a/b/c，直線d與

8、a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面.題型二：求異面直線所成角【例1】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是AD、AA1的中點(diǎn).（1）求直線AB1和CC1所成的角的大?。唬?）求直線AB1和EF所成的角的大小.【例2】已知空間邊邊形ABCD各邊長(zhǎng)與對(duì)角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小. 題型三：直線與平面平行的位置關(guān)系【例4】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF平面PEC【例5】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC、C1D1的中點(diǎn). 求證：EF平面BB1D1D. ABC D E

9、F GM O 【例6】如圖，已知、分別是四面體 的棱、的中點(diǎn)，求證：平 面. 【例7】經(jīng)過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求證：E1EB1B【例8】如圖，求證：.題型四：平面與平面的位置關(guān)系【例1】如右圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD. 【例2】已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面MNQ平面PBC. 【例3】直四棱柱中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱

10、，M、N分別為A1B1、A1D1的中點(diǎn)，E、F分別是B1C1、C1D1的中點(diǎn). （1）求證：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN與平面EFDB的距離. 【例4】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P.（1）求證：APEF；（2）求證：平面APE平面APF.【例6】如圖, 在空間四邊形ABCD中， 分別是的中點(diǎn)，求證：平面平面. 【例7】如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)，求證：【例4】三棱錐中，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足為O，求證：O為底面ABC的內(nèi)心.題型一：點(diǎn)共線和共

11、面問題【例1】如圖正方體中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、A1C1與EF的交點(diǎn). （1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若A1C與面DBFE交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.證明：（1） 正方體中，.又 中，E、F為中點(diǎn)， . , 即D、B、F、E四點(diǎn)共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三點(diǎn)共線【例2】已知直線a/b/c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面.證明：因?yàn)閍/b，由公理2的推論，存在平面，使得.又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，.假設(shè)，則, 在平面內(nèi)過點(diǎn)C作，因?yàn)閎/c，則，此

12、與矛盾. 故直線.綜上述，a、b、c、d四線共面.點(diǎn)評(píng)：證明一個(gè)圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件. 此例拓展的證明先構(gòu)建出一個(gè)平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就是證明問題的一種反證法的思路.題型二：求異面直線所成角【例1】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是AD、AA1的中點(diǎn).（1）求直線AB1和CC1所成的角的大??；（2）求直線AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如圖，連結(jié)DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的銳角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45°， AB1 和CC

13、1所成的角是45°.（2）如圖，連結(jié)DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直線AB1和EF所成的角. A1DC1是等邊三角形， A1DC1=60º，即直線AB1和EF所成的角是60º.【例2】已知空間邊邊形ABCD各邊長(zhǎng)與對(duì)角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小. 解：分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P、M、N連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PNAB，PMCD，于是MPN就是異面直線AB和CD成的角（如圖所示）.連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MP

14、N=90°.異面直線AB、CD成90°角.題型三：直線與平面平行的位置關(guān)系【例4】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF平面PEC證明：設(shè)PC的中點(diǎn)為G，連接EG、FG. F為PD中點(diǎn)， GFCD且GF=CD. ABCD， AB=CD， E為AB中點(diǎn)， GFAE， GF=AE， 四邊形AEGF為平行四邊形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例5】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC、C1D1的中點(diǎn). 求證：EF平面BB1D1D. 證明：連接AC交BD于O，連接OE，則OED

15、C， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F為D1C1的中點(diǎn)， OED1F， OE=D1F， 四邊形D1FEO為平行四邊形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， EF平面BB1D1D.ABC D E F GM O 【例6】如圖，已知、分別是四面體 的棱、的中點(diǎn)，求證：平 面. 證明：如右圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，在中，、分別是、中點(diǎn)， ，為中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，在中，、為、中點(diǎn)， ，又平面，平面， 平面.點(diǎn)評(píng)：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了. 注意適當(dāng)添加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用.【例7】經(jīng)過正方體ABCD-A

16、1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求證：E1EB1B證明： ， .又 ， .則.【例8】如圖，求證：.ABCD證明：連結(jié)，直線和可以確定一個(gè)平面，記為， 又， 四邊形為平行四邊形， .題型四：平面與平面的位置關(guān)系【例1】如右圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD. 證明：連結(jié)B1D1，P、N分別是D1C1、B1C1的中點(diǎn)， PNB1D1. 又B1D1BD，PNBD. 又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD. 同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】已

17、知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面MNQ平面PBC. 證明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD為平行四邊形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC.由MQNQ=Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.點(diǎn)評(píng)：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個(gè)平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行. 一般證“面面平面

18、”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行.【例4】直四棱柱中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱，M、N分別為A1B1、A1D1的中點(diǎn)，E、F分別是B1C1、C1D1的中點(diǎn). （1）求證：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN與平面EFDB的距離. 證：（1）連接,分別交MN、EF于P、Q. 連接AC交BD于O，連接AP、OQ.由已知可得， .由已知可得，且. , . 平面AMN平面EFDB.解：（2）過作平面AMN與平面EFDB的垂線，垂足為H、H，易得.由, 根據(jù), 則 ，解得. 所以，平面AMN與平面EFDB的距離為.點(diǎn)評(píng)：第（1）問證面面平行，轉(zhuǎn)化途徑為“線線平行線面平行面面平行”. 第（2）問求面面距離，巧妙將中間兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為平面另一側(cè)某點(diǎn)到平面距離的比例，然后利用等體積法求距離. 等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想在本題中十分突出，我們可以用同樣的轉(zhuǎn)化思維，將此例中的兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到平面ABC的距離.【例5】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P.（1）求證：APEF；（2）求證：平面APE平面APF.證明：（1）如右圖，